北京版八年级数学上册《12.12 勾股定理的逆定理》教学设计(表格式)

教学基本信息
课题 勾股定理的逆定理
教学目标及重难点
教学目标1.经历实验、观察、猜想、验证、证明、探索勾股定理的逆定理的过程，体验数形结合、从特殊到一般的数学思想. 2.掌握勾股定理的逆定理，对比发现该定理与勾股定理之间的互逆关系，理解三角形三边的等量关系与三角形形状（直角三角形）之间相互影响.3.在探索勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列富有探索性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探索精神.教学重难点掌握勾股定理的逆定理，对比发现该定理与勾股定理之间的互逆关系，理解三角形三边的等量关系与三角形形状（直角三角形）之间相互影响.
教学过程
教学阶段 教师活动 学生活动 设置意图 技术应用 时间安排
复习引入 【回忆】如何判定一个三角形为直角三角形，你有什么方法？ 预案：1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形.2.判定方法：有两个锐角互余的三角形是直角三角形.【总结】这两种方法都是从角的角度判定一个三角形为直角三角形的.【思考】能否从三角形三边之间的等量关系判定一个三角形为直角三角形？本节课我们继续学习“直角三角形的判定”.（板书课题） 学生说一说 通过回忆判定三角形为直角三角形的方法引出课题. 课件 2′
创设情境 【问题】大约在公元前2700年，当时的生产工具很落后，测量技术也不是很高明.可是，古埃及人却建成了世界文明的大大小小七十多座金字塔.这些金字塔的塔基都是正方形，其中最大的一座塔基是边长为2300多米的正方形，然而，那时并没有直角三角板，更没有任何先进的测量仪器.这的确是个谜！你能猜出金字塔塔基的正方形的每个直角，古埃及人究竟是怎么确定的吗？要解开这个谜，还是让我们先从一个小实验开始吧.PPT演示：古埃及金字塔，让学生猜测它的塔基可能的形状，教师演示剖开塔基的截面，显示它的形状，正方形的形状得到认同，从而引出本节课探索问题：公元前2700年，古埃及人就已经知道在建筑中应用直角的知识，那么你知道古埃及人究竟是怎么确定直角的吗？ 学生思考. 创设情境，使学生产生求知欲，激发学生的兴趣. 课件 3′
新知探索 （一）动手实验，发现猜想【工具】12根牙签（每根牙签的长为1）、直角三角板、量角器.【任务】用牙签摆一个边长为3、4、5的三角形.【步骤】说一说实验步骤预案一：（1）先摆3根牙签（BC长为3）；（2）再顺次摆4根牙签（AC长为4）；（3）最后调整位置，摆5根牙签（AB长为5），使得可以组成三角形.预案二：（1）利用直角三角形的两条直角边，沿着水平与竖直方向，先摆两根牙签；（2）贴着这两条直角边，分别摆3根牙签（B’C’长为3），摆4根牙签（B’C’长为4）;（3）最后联结端点B’与A’，则A’B’长为5.追问：为什么第三条边长为5，如何得到的？预案：借助了直角三角板的直角，所以我们做的三角形为直角三角形，由勾股定理计算得第三条边长为5.【观察、思考】观察不同方法得到的这两个三角形，你有什么发现？启发：（1）认识预案一中的三角形.这个三角形是什么形状？你是如何知道的？（观察、度量角度）你能否证明？（2）认识这两个三角形的关系.(全等)追问:如何证明？已知、求证、图形分别是什么？ 已知：在△ABC中，，，，在△ABC中，，，.求证：△≌△.证明：在△ABC中，，∴.∵，，∴（勾股定理）.在△和△中，∵∴△≌△（SSS）.【思考】既然我们已经能够证明这两个三角形全等，那么你能证明△ABC为直角三角形吗？预案：学生利用全等三角形性质证明.教师继续板书.∴.【结论】边长为3、4、5的三角形为直角三角形.【猜想】当一个三角形的三条边满足怎样的等量关系，这个三角形才可能是直角三角形.☆我的猜想： 预案：在一个三角形中，如果两条较短边的平方和等于较长边的平方，那么这个三角形为直角三角形.（二）画板演示、验证猜想【几何画板演示】当边长变为任意正数，且满足较短边的平方和等于较长边的平方，学生观察三角形形状是否发生变化.（三）说理论证、证明猜想【思考】已知：在△ABC中，，，，且.求证：.证明：作△，使，，.∴.∵，∴.∴.在△和△中，∵∴△≌△（SSS）.∴.【思考】除了上述构造直角三角形的方法，还可以怎么构造？预案(一)：作△，使，，.用勾股定理证明，再证明全等解决问题.预案(二)：作△，使，，.用勾股定理证明，再证明全等解决问题.【总结】对比这三种证法都需要构造直角三角形，然后利用全等证明猜想.★（四）语言表述，归纳定理文字语言:在三角形中，如果两条较短边的平方和等于较短边的平方，那么这个三角形为直角三角形.符号语言：在△ABC中,三边为、、.∵，∴.（△ABC为直角三角形）（五）对比发现，理解定理【对比】我们刚才证明的定理与勾股定理有什么区别与联系，给这个定理命名.定理文字语言图形语言符号语言联系勾股定理 定理【思考】这两个定理的作用分别是什么？勾股定理：已知直角三角形两条边的长度计算第三边的长.勾股定理的逆定理：从三边的数量关系判断一个三角形为直角三角形.【总结】无论哪一个定理都说明三角形的形状与三边的等量关系相互影响，与边的长短无关. 学生先独立思考尝试，再组内交流，组间派代表展示.学生观察、思考、发现两个三角形的关系，师生一起写出已知、求证，画出图形，一生讲解证明.学生思考、发现猜想.教师画板演示，学生观察.一生叙述已知、求证.教师启发学生分析辅助线作法，共同作图、讨论、证明.学生代表展示.师生共同归纳定理.学生填表，交流，给定理命名. 通过学生动手操作，观察、分析、猜想，合作交流，人人参与活动，体验并感悟“图形”和“数量”之间的相互联系.通过观察不同方法认识图形，发现图形之间的联系，从而证明特殊情况.由实验的结论学生发现猜想，同时质疑边长改变但是关系不变，三角形的形状是否发生改变.几何画板演示验证猜想，进一步加深学生的感性认识.培养学生学数学的严谨性和科学性，提高他们的逻辑推理能力，使学生活动的兴奋点有动手操作向理性说理转变.通过不同做法的交流，训练学生解题的灵活性，培养学生发散思维.培养学生对于几何定理三种语言的表述能力.通过对比加深对于定理的理解，防止混淆. 学案 5′7′2′2′6′5′3′5′
新知应用 答疑解惑：同学们经过前面的学习，你知道古埃及认识如何确定直角的吗？古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，用这种方法确定直角，你知道这是为什么吗？ 独立思考、一生解答. 照应开头解开金字塔塔基之谜，巩固定理. 学案 2′
归纳总结 1.通过本节课的学习，一个三角形的三边在数量上满足怎样的关系时，这个三角形是直角三角形？2.判定一个三角形为直角三角形都有哪些方法？3.回顾“勾股定理的逆定理”的探索过程用到什么数学思想？ 学生代表总结 培养学生归纳总结能力及解题后的反思能力. 课件 2′
分层作业 基础题：书上第119 页习题12-5基础第3题.综合题：已知：在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的长分别为2、2、2、2，且AB⊥BC，求∠BAD的度数．提高题：已知：a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2，(m、n为正整数，m＞n).试判定由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形，为什么？ 1.2题必做，3题选作. 通过分层作业，是不同的学生在数学学习上有不同的收获. 学案 1′
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