8.5.3平面与平面平行的判定 课件（共16张PPT）

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8.5.3平面与平面平行的判定
平面与平面平行的判定
知识点　平面与平面平行的判定定理
1.文字语言:
如果一个平面内的　　　　　　　　与
另一个平面平行,那么这两个平面平行.
图形语言:如图8-5-23所示.
符号语言:a β,b β,a∩b=P,a∥α,b∥α β∥α.
两条相交直线
2.利用判定定理证明两个平面平行必须具备的条件:
(1)一个平面内有两条直线平行于另一个平面;
(2)这两条直线必须相交.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. (　　)
(2)若平面α内的两条不平行直线都平行于平面β,则平面α与平面β平行. (　　)
(3)如果一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. (　　)
√
√
2.要证明矩形ABCD所在平面平行于平面α,在四条边所在直线AB,BC,CD,DA中
选择两条直线,证明它们与平面α平行即可,则不能同时选择的两条直线有哪些
解:根据平面与平面平行的判定定理知,所选的两条直线必须相交,而AB∥CD,
BC∥AD,故不能同时选择的直线有AB和CD,BC和AD.
面面平行的判定定理解读
(1)平面与平面平行的判定定理可简述为“若线面平行,则面面平行”.
(2)面面平行的判定定理包含三个条件:一内一交一平行,这三个条
件缺一不可.
例1 给出下列四个说法:
①若平面α内的两条直线分别与平面β平行,则平面α与平面β平行;
②若平面α内有无数条直线分别与平面β平行,则平面α与平面β平行;
③平行于同一条直线的两个平面平行;
④若两个平面分别经过两条平行直线,则这两个平面平行.其中正确说法的个数是　　　.
[解析] ①错误,因为平面α内这两条直线不一定相交,故不能判定α与β平行;②错误,平面α内这无数条直线可能互相平行,即不能找到两条相交直线与β平行,故不能判定α与β平行;③错误,这两个平面也可能相交;④错误,这两个平面也可能相交.
探究点一　对平面与平面平行的判定定理的理解
探究点二　平面与平面平行的判定
[探索] 当平面与平面的交点个数满足什么条件时,才能保证平面与平面平行
解:当平面与平面的交点个数为0时,才能保证平面与平面平行.
例2 如图8-5-24所示,在长方体ABCD -A1B1C1D1中,
AB=BC=4,BB1=2,点E,F,M分别为C1D1,A1D1,
B1C1的中点,若过点M的平面与平面DEF平行,且与长方体的面相交,则交线围成的几何图形的面积为 (　　)
A.6 B.6
C.12 D.24
A
[解析] 如图,设N为A1B1的中点,连接MN,AN,AC,CM,NE,A1C1,则EN∥A1D1∥AD且EN=A1D1=AD,所以四边形
ANED为平行四边形,所以DE∥AN,因为DE 平面ACMN,AN 平面ACMN,所以DE∥平面ACMN.由题意得
EF∥MN,因为EF 平面ACMN,MN 平面ACMN,所以EF∥平面ACMN,又DE∩EF=E,所以平面ACMN∥平面
DEF,故四边形MNAC为交线围成的几何图形.由题意
知四边形MNAC为等腰梯形,且MN=AC=2,过M作MP⊥
AC于点P,可得MC==2,PC==,则MP=
=,所以梯形MNAC的面积为×(2+4)×=6.故选A.
例3 如图8-5-25所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是BC与B1C1的中点.求证:平面A1EB∥平面ADC1.
证明:由棱柱的性质知,B1C1∥BC,B1C1=BC,
因为D,E分别为BC,B1C1的中点,所以C1E∥DB,C1E=DB,所以四边形C1DBE为平行四边形,所以EB∥C1D,
又C1D 平面ADC1,EB 平面ADC1,所以EB∥平面ADC1.
连接DE,易知EB1∥BD,EB1=BD,
所以四边形EDBB1为平行四边形,则ED∥B1B,ED=B1B.
因为A1A∥B1B,A1A=B1B,所以A1A∥ED,A1A=ED,所以四边形A1ADE为平行
四边形,所以A1E∥AD,
又AD 平面ADC1,A1E 平面ADC1,所以A1E∥平面ADC1.
因为A1E∩EB=E,所以平面A1EB∥平面ADC1.
变式 如图8-5-26,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,E,F,G,H分别是BC,CC1,B1C1,BB1
的中点.求证:平面A1GH∥平面AEF.
证明:连接BC1.因为E,F,G,H分别是BC,CC1,B1C1,BB1的中点,所以GH∥BC1,
EF∥BC1,所以GH∥EF,又EF 平面AEF,GH 平面AEF,所以GH∥平面AEF.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为G,E分别为B1C1,BC的中点,所以A1G∥AE,
又AE 平面AEF,A1G 平面AEF,所以A1G∥平面AEF.因为A1G∩GH=G,
所以平面A1GH∥平面AEF.
[素养小结]
(1)要证明两个平面平行,只需在其中一个平面内找到两条相交直线,证明这两
条相交直线平行于另一个平面.
(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循先找后作的原则,即先在一
个平面内找到与另一个平面平行的两条相交直线,若找不到再作辅助线.
祝同学们：
学习愉快，
梦想成真！