登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
浙江省杭州市下城区2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试卷
一、选择题（共10小题）
1．（2022九下·下城开学考）下列事件为必然事件的是（ ）
A．明天要下雨 B．a是实数，|a|≥0
C．﹣3＜﹣4 D．打开电视机，正在播放新闻
2．（2021九上·滨江期末）若2a＝3b，则 ＝（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
3．（2022九下·下城开学考）下列两个图形一定是相似图形的是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．等腰三角形 D．等边三角形
4．（2021九上·滨江期末）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2022九下·下城开学考）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九下·下城开学考）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.若 ＝ ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021九上·滨江期末）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则BC的值为（ ）
A．3﹣ B．1+ C． ﹣1 D． ﹣2
8．（2021九上·鄞州期末）直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
9．（2022九下·下城开学考）二次函数y＝ax2+（1﹣a）x+4﹣2a的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．与y轴交点的纵坐标小于4
B．对称轴在直线x＝0.5左侧
C．与x轴正半轴交点的横坐标小于2
D．抛物线一定经过两个定点
10．（2022九下·下城开学考）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，若∠BAC＝∠BDC，则下列结论中正确的是（ ）
① ；②△ABE与△DCE的周长比 ；③∠ADE＝∠ABC；④S△ABE S△DCE＝S△ADE S△BCE.
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（共6小题）
11．（2022九下·下城开学考）已知△ABC∽△DEF，相似比为3，则它们的周长之比是 .
12．（2022九下·下城开学考）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有颜色不同），其中3个是红球，1个是黑球，从中任意摸出一个球，是黑球的概率为 .
13．（2022九下·下城开学考）若扇形的面积为24π，圆心角为216°，则它的弧长是 .
14．（2022九下·下城开学考）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y＝ （x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，a），B（x2，a），C（x3，a），其中a为常数，令ω＝x1+x2+x3，则ω的值为 .
15．（2022九下·下城开学考）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH＝ .
16．（2022九下·下城开学考）如图，点A是抛物线y＝ x2上不与原点O重合的动点，AB⊥x轴于点B，过点B作OA的垂线并延长交y轴于点C，连结AC，则线段OC的长是 ，AC的最小值是 .
三、解答题（共7小题）
17．（2021九上·滨江期末）在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球，若摸到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，摸到一个黄球奖励一个“莲莲”.一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，求得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率.
18．（2021九上·滨江期末）设二次函数y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0），部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 …
（1）试判断该函数图象的开口方向.
（2）当x＝4时，求函数y的值.
（3）根据你的解题经验，直接写出ax2+bx﹣3＜﹣3的解.
19．（2021九上·滨江期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B.
（1）证明：△ADB∽△AED.
（2）若AE＝3，AD＝5，求AB的长.
20．（2022九下·下城开学考）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为 的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC.
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD＝2，AC＝ ，求AB的长.
21．（2022九下·下城开学考）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）.
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
22．（2022九下·下城开学考）已知二次函数y＝x2+2bx+c
（1）若b＝c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；
（2）若b＝c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值.
23．（2022九下·下城开学考）已知，如图，⊙O中两条弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD.
（1）求证： ；
（2）若∠AEC＝80°，求∠A的度数；
（3）过点B作BH⊥AD于点H，交CD于点G，若AE＝2BE，求证：EG＝GD.
答案解析部分
1．【答案】B
【考点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、明天要下雨，这是随机事件，故A选项不符合题意；
B、a是实数，|a|≥0，这是必然事件，故B选项符合题意；
C、﹣3＜﹣4，这是不可能事件，故C选项不符合题意；
D、打开电视机，正在播放新闻，这是随机事件，故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件；利用绝对值的性质可对B作出判断；利用两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可对C作出判断；利用随机事件的定义可对A，D作出判断.
2．【答案】A
【考点】比的性质
【解析】【解答】解：∵2a＝3b，
∴ ＝ .
故答案为：A.
【分析】根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积进行解答.
3．【答案】D
【考点】相似图形
【解析】【解答】解：A、两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意；
B、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意；
C、两等腰三角形不一定相似，故此选项不符合题意；
D、两个等边三角形的对应边的比相等，对应角一定相等，故两个等边三角形一定相似，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用相似多边形的判定：所有的对应边成比例，且所有的对应角分别相等的两个多边形相似，可对A，B作出判断；利用相似三角形的判定定理及等腰三角形的性质，可对C，D作出判断.
4．【答案】B
【考点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设正多边形的边数为n，
由题意可得： ＝72°，
∴n＝5.
故答案为：B.
【分析】设正多边形的边数为n，根据周角除以边数=圆心角的度数即可求出多边形的边数.
5．【答案】D
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，
∴cosB＝ ＝ ＝ ，
故答案为：D.
【分析】利用在直角三角形中，∠B的余弦=∠B的邻边：斜边，代入计算可求出结果.
6．【答案】B
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵l1∥l2∥l3，
∴ ＝ ＝ .
故答案为：B.
【分析】利用已知条件可求出AB与AC的比值，再利用平行线分线段成比例定理，可求出ED与DF的比值.
7．【答案】A
【考点】黄金分割；线段的计算
【解析】【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝2，
∴AC＝ AB＝ ﹣1，
∴BC＝AB﹣AC＝3﹣ .
故答案为：A.
【分析】根据黄金分割的概念可得AC＝AB，将AB=2代入求出AC的值，然后根据BC＝AB-AC进行计算.
8．【答案】B
【考点】正方形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，
则∠CDI=∠C=∠CFI=90°，ID=IF=1，
∴四边形CDIF是正方形，
∴CD=CF=1，
由切线长定理得：AD=AE，BE=BF，CF=CD，
∵直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，
∴AB=6=AE+BE=BF+AD，
即△ABC的周长是AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=6+1+1+6=14.
故答案为：B.
【分析】⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，易得四边形CDIF是正方形，根据正方形的性质得CD=CF=1，由切线长定理得：AD=AE，BE=BF，CF=CD，根据外接圆与内切圆的半径可得AB=6=AE+BE=BF+AD，据此不难求出△ABC的周长.
9．【答案】D
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由图象知，抛物线开口向下，
∴a＜0，
令x＝0，则y＝4﹣2a＞4，
∴抛物线与y轴的交点大于4，
故A选项错误；
二次函数的对称轴为x＝ ，
∵a＜0，
∴ ＞ ，
故对称轴在x＝0.5右侧，
故B选项错误；
取a＝﹣1，抛物线为y＝﹣x2+2x+6，
其与x轴正半轴的交点为：
x＝ ＝1+ ＞2，
故C选项错误；
y＝ax2+（1﹣a）x+4﹣2a＝a（x2﹣x﹣2）+x+4，
令x2﹣x﹣2＝0，
解得：x＝2或x＝﹣1，
当x＝2时，y＝6，
当x＝﹣1时，y＝3，
∴抛物线经过点（2，6）和（﹣1，3）两个定点，
故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】观察图象可知抛物线的开口向下，可得到a＜0，抛物线与y轴的交点坐标为（0，4-2a），可知4﹣2a＞4，可对A作出判断；利用函数解析式可得到抛物线的对称轴为直线x ，可对B作出判断；取x=-1，可求出方程的解，根据方程的解，可对C作出判断；将函数解析式转化为y＝a（x2﹣x﹣2）+x+4，令x2﹣x﹣2＝0，解方程求出x的值，然后求出当x=2和当x=-1时y的值，可得到抛物线经过的两个定点，可对D作出判断.
10．【答案】C
【考点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵∠BAC＝∠BDC，∠AEB＝∠DEC，
∴△AEB∽△DEC，
∴ ，故①正确；
②∵△AEB∽△DEC，
∴△ABE与△DCE的周长比 ，故②正确；
③∵∠BAC＝∠BDC，
∴A，B，C，D共圆，
∴∠ADE＝∠ACB，
如果∠ADE＝∠ABC，
则∠ABC＝∠ACB，
但这两个角不一定相等，故③错误；
④假设S△ABE S△DCE＝S△ADE S△BCE.
∴ ，
∵△ABE和△ADE共高，
∴ ＝ ，
∵△BCE和△DCE共高，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，故④正确.
∴结论中正确的是①②④，
故答案为：C.
【分析】图形中隐含对顶角相等，利用有两组分别相等的两三角形相似，可证得△AEB∽△DEC，利用相似三角形的对应边成比例，可对①作出判断；利用相似三角形的周长比等于对应边之比，可对②作出判断；利用∠BAC＝∠BDC，可知点A，B，C，D共圆，利用圆周角定理可知∠ADE＝∠ACB，若∠ADE＝∠ABC，可得到∠ABC＝∠ACB，这两个角不一定相等，可对③作出判断；利用△ABE和△ADE共高，△BCE和△DCE共高，可证得 ＝ ， ＝ ，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的个数.
11．【答案】3
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3，
∴它们的周长之比为3，
故答案为：3.
【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比，可得答案.
12．【答案】
【考点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：因为袋子中共有4个球，其中黑球只有1个，
所以从中任意摸出一个球，是黑球的概率为 ，
故答案为： .
【分析】利用题意可知一共有4种结果数，但黑球只有1个，由此可求出从中任意摸出一个球是黑球的概率.
13．【答案】 π
【考点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径为R，弧长为l，
∵扇形的面积为24π，圆心角为216°，
∴ ＝24π，
解得：R＝2 （负数舍去），
∴ ×l＝24π，
解得：l＝ π，
即它的弧长是 π，
故答案为： π.
【分析】利用扇形的面积公式可求出此扇形的半径，再利用扇形的面积= lR，可求出其弧长.
14．【答案】
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设A（x1，a），B（x2，a）在二次函数y＝x2的图象上，
∵二次函数y＝x2的图象关于y轴对称，
∴当y＝a时，x1、x2关于y轴对称，所以x1+x2＝0，
∵C（x3，a）在反比例函数的图象上，
∴当y＝a时，x3＝ ，
因此ω＝x1+x2+x3＝ .
故答案为： .
【分析】观察点的坐标可知三个点的纵坐标都是a，因此设A（x1，a），B（x2，a）在二次函数y＝x2的图象上，利用二次函数的对称性可知x1+x2＝0，点C在反比例函数图象上，可得到x3＝ ，即可求出ω的值.
15．【答案】
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：在BD上截取BE＝CH，连接CO，OE，
∵∠ACB＝90°，CH⊥BD，
∴∠ACB=∠CHD=90°，
又∵AC＝BC＝3，CD＝1，∠CDB=∠BDC
∴BD＝ ，△CDH∽△BDC，
∴ ，∠DCH＝∠CBD，
∴CH＝ ，
∵△ACB是等腰直角三角形，点O是AB中点，
∴AO＝OB＝OC，∠A＝∠ACO＝∠BCO＝∠ABC＝45°，
∴∠OCH+∠DCH＝45°，∠ABD+∠DBC＝45°，
∵∠DCH＝∠CBD，
∴∠OCH＝∠ABD，
在△CHO与△BEO中，
，
∴△CHO≌△BEO，
∴OE＝OH，∠BOE＝∠HOC，
∵OC⊥BO，
∴∠EOH＝90°，
即△HOE是等腰直角三角形，
∵EH＝BD﹣DH﹣CH＝ ﹣ ﹣ ＝ ，
∴OH＝EH× ＝ ，
故答案为： .
【分析】在BD上截取BE＝CH，连接CO，OE，利用勾股定理求出BD的长，再证△CDH∽△BDC，由相似三角形的对应边成比例可求CH的长；利用等腰直角三角形的性质得∠OCH＝∠ABD，OC=OB，利用SAS证明△CHO≌△BEO，利用全等三角形的性质可得到OE＝OH，∠BOE＝∠HOC，从而可证得△OEH是等腰直角三角形，同时可求出EH的长；然后利用解直角三角形求出OH的长.
16．【答案】8；
【考点】二次函数的最值；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点A（a， a2），则点B坐标为（a，0），
∴OB＝|a|，AB＝ a2，
∵∠AOB+∠OBC＝90°，∠OBC+∠BCO＝90°，
∴∠AOB＝∠BCO，
∴△AOB∽△BCO，
∴ ，
∴OB2＝CO AB，即a2＝ a2 CO，
解得CO＝8，
∴C（0，8），
∵AC2＝（xc﹣xA）2+（yC﹣yA）2＝a2+ a4﹣2a2+64＝ （a4﹣64a2）+64＝ （a2﹣32）2+48，
∴当a2＝32时，AC2＝48为最小值，即AC＝4 .
故答案为：8，4 .
【分析】设点A（a， a2），由AB⊥x轴可表示出点B坐标，同时可表示出OB，AB的长；利用余角的性质得∠AOB＝∠BCO，利用有两组角分别相等的两三角形相似，可证得△AOB∽△BCO，利用相似三角形的对应边成比例可求出CO的长，即可得到点C的坐标；利用点A，C的坐标可表示出AC2与a的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出AC的最小值.
17．【答案】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的结果有2种，
∴得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率为 ＝ .
【考点】列表法与树状图法
【解析】【分析】画出树状图，找出总情况数以及得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的结果数，然后利用概率公式进行计算.
18．【答案】（1）解：∵图象经过（0，﹣3），（2，﹣3），
∴图象对称轴为直线x＝ ＝1，
由表格可得，x＜1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线图象开口向上
（2）解：∵（﹣2，5）关于直线x＝1的对称点是（4，5），
∴x＝4时，函数y的值为5
（3）解：∵抛物线开口向上，且经过点（0，﹣3），（2，﹣3），
∴当0＜x＜2时，ax2+bx﹣3＜﹣3，
故ax2+bx﹣3＜﹣3的解为0＜x＜2.
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）求出点（0，-3）、（2，-3）的中点坐标可得对称轴，根据表格可知： x＜1时，y随x的增大而减小， 据此可得a的正负，进而确定出图象的开口方向；
（2）易得 （-2，5）关于直线x＝1的对称点是（4，5）， 据此可得x=4对应的函数值；
（3）易得当0＜x＜2时，ax2+bx-3＜-3， 据此解答.
19．【答案】（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD.
∵∠ADE＝∠B，
∴△ADB∽△AED
（2）解：∵△ADB∽△AED，
∴ ，
∵AE＝3，AD＝5，
∴ ，
∴AB＝ .
【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BAD＝∠EAD，然后结合相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据相似三角形的性质进行计算即可得到AB的长.
20．【答案】（1）解：相切，连接OC，
∵C为 的中点，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠ACO，
∴∠2＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴直线CD与⊙O相切；
（2）解：方法1：连接CE，
∵AD＝2，AC＝ ，
∵∠ADC＝90°，
∴CD＝ ＝ ，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD2＝AD DE，
∴DE＝1，
∴CE＝ ＝ ，
∵C为 的中点，
∴BC＝CE＝ ，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝ ＝3.
方法2：∵∠DCA＝∠B，
易得△ADC∽△ACB，
∴ ，
∴AB＝3.
【考点】圆心角、弧、弦的关系；切线的判定；相交弦定理
【解析】【分析】（1）连接OC，利用等弧所对的圆周角相等得∠1=∠2，利用等边对等角得∠1＝∠ACO，由此可推出∠2＝∠ACO，利用平行线的判定定理可得到AD∥OC，结合已知条件可证得OC⊥CD，然后利用切线的判定定理可证得结论；
（2）方法1：连接CE，利用勾股定理求出CD的长，利用切割线定理可求出DE的长，利用勾股定理求出CE的长，再利用等弧所对的弦相等可求出BC的长，然后利用勾股定理求出AB的长；方法2：利用有两组角分别相等的两三角形相似，可证得△ADC∽△ACB，利用相似三角形的对应边成比例可求出AB的长.
21．【答案】（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，
∴ME＝BE，MG=GN.
∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMND＝2S矩形MEFN，
∴AM＝2ME，
∴AE＝3BE；
（2）解：∵篱笆总长为100m，
∴2AB+GH+3BC＝100，
即 ，
∴ .
设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，
则 ，
∵ ，
∴B E＝10﹣ x＞0，
解得x＜ ，
∴ （0＜x＜ ）.
【考点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由四块矩形花圃面积相等得S矩形AMND＝2S矩形MEFN，ME＝BE，MG=GN，则AM=GH=2ME，由此可证得结论；
（2）利用篱笆总长为100m，可得到2AB+GH+3BC＝100，可用含BC的代数式表示出AB的长， 设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，可得到y与x之间的函数解析式，同时求出x的取值范围.
22．【答案】（1）解：由y＝1得 x2+2bx+c＝1，
∴x2+2bx+c﹣1＝0
∵△＝4b2﹣4b+4＝（2b﹣1）2+3＞0，
则存在两个实数，使得相应的y＝1；
（2）解：由b＝c﹣2，则抛物线可化为y＝x2+2bx+b+2，其对称轴为直线x＝﹣b，
①当x＝﹣b≤﹣2时，则有抛物线在x＝﹣2时取最小值为﹣3，此时
﹣3＝（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2，解得b＝3；
②当x＝﹣b≥2时，则有抛物线在x＝2时取最小值为﹣3，此时
﹣3＝22+2×2b+b+2，解得b＝﹣ ，不合题意，舍去，
③当﹣2＜﹣b＜2时，则 ＝﹣3，化简得：b2﹣b﹣5＝0，解得：b1＝ （不合题意，舍去），b2＝ .
综上：b＝3或 .
【考点】二次函数的最值；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将y=1代入函数解析式，可得到x2+2bx+c﹣1＝0，再证明b2-4ac＞0，即可作出判断；
（2）将b＝c﹣2代入函数解析式，可得到y＝x2+2bx+b+2，同时可求出抛物线的对称轴为直线x=-b； 再分情况讨论：当x＝﹣b≤﹣2时，则有抛物线在x＝﹣2时取最小值为﹣3；当x＝﹣b≥2时，则有抛物线在x＝2时取最小值为﹣3；当﹣2＜﹣b＜2时，分别求出符合题意的b的值.
23．【答案】（1）证明：∵AB＝CD，
∴ ＝ ，
∴ ﹣ ＝ ﹣ ，
∴ ＝ ；
（2）解：∵ ，
∴∠A＝∠D，
∴∠A＝ ∠AEC＝40°；
（3）证明：如图，
∵∠A＝∠D，
∴AE＝DE，
∵AE＝2BE，
∴DE＝2BE，
∵BH⊥AD，
∴∠AHB＝90°，
∴∠A+∠ABH＝90°，∠D+∠DGH＝90°，
∵∠A＝∠D，∠DGH＝∠BGE，
∴∠ABH＝∠BGE，
∴BE＝EG，
∵DE＝EG+GD＝2BE，
∴EG＝GD.
【考点】等腰三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用AB=CD，可证得 ＝ ，利用公共弧BC，可证得结论；
（2）利用等弧所对圆周角相等可证得∠A＝∠D，利用三角形的内角和定理可求出∠A的度数；
（3）利用等角对等边可证得AE=DE，结合已知可得到DE=2BE，利用余角的性质及对顶角相等可证得∠ABH＝∠BGE，利用等角对等边可证得BE=EG，根据DE＝EG+GD＝2BE，可证得结论.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
浙江省杭州市下城区2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试卷
一、选择题（共10小题）
1．（2022九下·下城开学考）下列事件为必然事件的是（ ）
A．明天要下雨 B．a是实数，|a|≥0
C．﹣3＜﹣4 D．打开电视机，正在播放新闻
【答案】B
【考点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、明天要下雨，这是随机事件，故A选项不符合题意；
B、a是实数，|a|≥0，这是必然事件，故B选项符合题意；
C、﹣3＜﹣4，这是不可能事件，故C选项不符合题意；
D、打开电视机，正在播放新闻，这是随机事件，故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件；利用绝对值的性质可对B作出判断；利用两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可对C作出判断；利用随机事件的定义可对A，D作出判断.
2．（2021九上·滨江期末）若2a＝3b，则 ＝（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【答案】A
【考点】比的性质
【解析】【解答】解：∵2a＝3b，
∴ ＝ .
故答案为：A.
【分析】根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积进行解答.
3．（2022九下·下城开学考）下列两个图形一定是相似图形的是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】D
【考点】相似图形
【解析】【解答】解：A、两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意；
B、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意；
C、两等腰三角形不一定相似，故此选项不符合题意；
D、两个等边三角形的对应边的比相等，对应角一定相等，故两个等边三角形一定相似，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用相似多边形的判定：所有的对应边成比例，且所有的对应角分别相等的两个多边形相似，可对A，B作出判断；利用相似三角形的判定定理及等腰三角形的性质，可对C，D作出判断.
4．（2021九上·滨江期末）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【考点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设正多边形的边数为n，
由题意可得： ＝72°，
∴n＝5.
故答案为：B.
【分析】设正多边形的边数为n，根据周角除以边数=圆心角的度数即可求出多边形的边数.
5．（2022九下·下城开学考）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，
∴cosB＝ ＝ ＝ ，
故答案为：D.
【分析】利用在直角三角形中，∠B的余弦=∠B的邻边：斜边，代入计算可求出结果.
6．（2022九下·下城开学考）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.若 ＝ ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵l1∥l2∥l3，
∴ ＝ ＝ .
故答案为：B.
【分析】利用已知条件可求出AB与AC的比值，再利用平行线分线段成比例定理，可求出ED与DF的比值.
7．（2021九上·滨江期末）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则BC的值为（ ）
A．3﹣ B．1+ C． ﹣1 D． ﹣2
【答案】A
【考点】黄金分割；线段的计算
【解析】【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝2，
∴AC＝ AB＝ ﹣1，
∴BC＝AB﹣AC＝3﹣ .
故答案为：A.
【分析】根据黄金分割的概念可得AC＝AB，将AB=2代入求出AC的值，然后根据BC＝AB-AC进行计算.
8．（2021九上·鄞州期末）直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【考点】正方形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，
则∠CDI=∠C=∠CFI=90°，ID=IF=1，
∴四边形CDIF是正方形，
∴CD=CF=1，
由切线长定理得：AD=AE，BE=BF，CF=CD，
∵直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，
∴AB=6=AE+BE=BF+AD，
即△ABC的周长是AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=6+1+1+6=14.
故答案为：B.
【分析】⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，易得四边形CDIF是正方形，根据正方形的性质得CD=CF=1，由切线长定理得：AD=AE，BE=BF，CF=CD，根据外接圆与内切圆的半径可得AB=6=AE+BE=BF+AD，据此不难求出△ABC的周长.
9．（2022九下·下城开学考）二次函数y＝ax2+（1﹣a）x+4﹣2a的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．与y轴交点的纵坐标小于4
B．对称轴在直线x＝0.5左侧
C．与x轴正半轴交点的横坐标小于2
D．抛物线一定经过两个定点
【答案】D
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由图象知，抛物线开口向下，
∴a＜0，
令x＝0，则y＝4﹣2a＞4，
∴抛物线与y轴的交点大于4，
故A选项错误；
二次函数的对称轴为x＝ ，
∵a＜0，
∴ ＞ ，
故对称轴在x＝0.5右侧，
故B选项错误；
取a＝﹣1，抛物线为y＝﹣x2+2x+6，
其与x轴正半轴的交点为：
x＝ ＝1+ ＞2，
故C选项错误；
y＝ax2+（1﹣a）x+4﹣2a＝a（x2﹣x﹣2）+x+4，
令x2﹣x﹣2＝0，
解得：x＝2或x＝﹣1，
当x＝2时，y＝6，
当x＝﹣1时，y＝3，
∴抛物线经过点（2，6）和（﹣1，3）两个定点，
故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】观察图象可知抛物线的开口向下，可得到a＜0，抛物线与y轴的交点坐标为（0，4-2a），可知4﹣2a＞4，可对A作出判断；利用函数解析式可得到抛物线的对称轴为直线x ，可对B作出判断；取x=-1，可求出方程的解，根据方程的解，可对C作出判断；将函数解析式转化为y＝a（x2﹣x﹣2）+x+4，令x2﹣x﹣2＝0，解方程求出x的值，然后求出当x=2和当x=-1时y的值，可得到抛物线经过的两个定点，可对D作出判断.
10．（2022九下·下城开学考）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，若∠BAC＝∠BDC，则下列结论中正确的是（ ）
① ；②△ABE与△DCE的周长比 ；③∠ADE＝∠ABC；④S△ABE S△DCE＝S△ADE S△BCE.
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【考点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵∠BAC＝∠BDC，∠AEB＝∠DEC，
∴△AEB∽△DEC，
∴ ，故①正确；
②∵△AEB∽△DEC，
∴△ABE与△DCE的周长比 ，故②正确；
③∵∠BAC＝∠BDC，
∴A，B，C，D共圆，
∴∠ADE＝∠ACB，
如果∠ADE＝∠ABC，
则∠ABC＝∠ACB，
但这两个角不一定相等，故③错误；
④假设S△ABE S△DCE＝S△ADE S△BCE.
∴ ，
∵△ABE和△ADE共高，
∴ ＝ ，
∵△BCE和△DCE共高，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，故④正确.
∴结论中正确的是①②④，
故答案为：C.
【分析】图形中隐含对顶角相等，利用有两组分别相等的两三角形相似，可证得△AEB∽△DEC，利用相似三角形的对应边成比例，可对①作出判断；利用相似三角形的周长比等于对应边之比，可对②作出判断；利用∠BAC＝∠BDC，可知点A，B，C，D共圆，利用圆周角定理可知∠ADE＝∠ACB，若∠ADE＝∠ABC，可得到∠ABC＝∠ACB，这两个角不一定相等，可对③作出判断；利用△ABE和△ADE共高，△BCE和△DCE共高，可证得 ＝ ， ＝ ，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题（共6小题）
11．（2022九下·下城开学考）已知△ABC∽△DEF，相似比为3，则它们的周长之比是 .
【答案】3
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3，
∴它们的周长之比为3，
故答案为：3.
【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比，可得答案.
12．（2022九下·下城开学考）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有颜色不同），其中3个是红球，1个是黑球，从中任意摸出一个球，是黑球的概率为 .
【答案】
【考点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：因为袋子中共有4个球，其中黑球只有1个，
所以从中任意摸出一个球，是黑球的概率为 ，
故答案为： .
【分析】利用题意可知一共有4种结果数，但黑球只有1个，由此可求出从中任意摸出一个球是黑球的概率.
13．（2022九下·下城开学考）若扇形的面积为24π，圆心角为216°，则它的弧长是 .
【答案】 π
【考点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径为R，弧长为l，
∵扇形的面积为24π，圆心角为216°，
∴ ＝24π，
解得：R＝2 （负数舍去），
∴ ×l＝24π，
解得：l＝ π，
即它的弧长是 π，
故答案为： π.
【分析】利用扇形的面积公式可求出此扇形的半径，再利用扇形的面积= lR，可求出其弧长.
14．（2022九下·下城开学考）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y＝ （x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，a），B（x2，a），C（x3，a），其中a为常数，令ω＝x1+x2+x3，则ω的值为 .
【答案】
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设A（x1，a），B（x2，a）在二次函数y＝x2的图象上，
∵二次函数y＝x2的图象关于y轴对称，
∴当y＝a时，x1、x2关于y轴对称，所以x1+x2＝0，
∵C（x3，a）在反比例函数的图象上，
∴当y＝a时，x3＝ ，
因此ω＝x1+x2+x3＝ .
故答案为： .
【分析】观察点的坐标可知三个点的纵坐标都是a，因此设A（x1，a），B（x2，a）在二次函数y＝x2的图象上，利用二次函数的对称性可知x1+x2＝0，点C在反比例函数图象上，可得到x3＝ ，即可求出ω的值.
15．（2022九下·下城开学考）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH＝ .
【答案】
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：在BD上截取BE＝CH，连接CO，OE，
∵∠ACB＝90°，CH⊥BD，
∴∠ACB=∠CHD=90°，
又∵AC＝BC＝3，CD＝1，∠CDB=∠BDC
∴BD＝ ，△CDH∽△BDC，
∴ ，∠DCH＝∠CBD，
∴CH＝ ，
∵△ACB是等腰直角三角形，点O是AB中点，
∴AO＝OB＝OC，∠A＝∠ACO＝∠BCO＝∠ABC＝45°，
∴∠OCH+∠DCH＝45°，∠ABD+∠DBC＝45°，
∵∠DCH＝∠CBD，
∴∠OCH＝∠ABD，
在△CHO与△BEO中，
，
∴△CHO≌△BEO，
∴OE＝OH，∠BOE＝∠HOC，
∵OC⊥BO，
∴∠EOH＝90°，
即△HOE是等腰直角三角形，
∵EH＝BD﹣DH﹣CH＝ ﹣ ﹣ ＝ ，
∴OH＝EH× ＝ ，
故答案为： .
【分析】在BD上截取BE＝CH，连接CO，OE，利用勾股定理求出BD的长，再证△CDH∽△BDC，由相似三角形的对应边成比例可求CH的长；利用等腰直角三角形的性质得∠OCH＝∠ABD，OC=OB，利用SAS证明△CHO≌△BEO，利用全等三角形的性质可得到OE＝OH，∠BOE＝∠HOC，从而可证得△OEH是等腰直角三角形，同时可求出EH的长；然后利用解直角三角形求出OH的长.
16．（2022九下·下城开学考）如图，点A是抛物线y＝ x2上不与原点O重合的动点，AB⊥x轴于点B，过点B作OA的垂线并延长交y轴于点C，连结AC，则线段OC的长是 ，AC的最小值是 .
【答案】8；
【考点】二次函数的最值；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点A（a， a2），则点B坐标为（a，0），
∴OB＝|a|，AB＝ a2，
∵∠AOB+∠OBC＝90°，∠OBC+∠BCO＝90°，
∴∠AOB＝∠BCO，
∴△AOB∽△BCO，
∴ ，
∴OB2＝CO AB，即a2＝ a2 CO，
解得CO＝8，
∴C（0，8），
∵AC2＝（xc﹣xA）2+（yC﹣yA）2＝a2+ a4﹣2a2+64＝ （a4﹣64a2）+64＝ （a2﹣32）2+48，
∴当a2＝32时，AC2＝48为最小值，即AC＝4 .
故答案为：8，4 .
【分析】设点A（a， a2），由AB⊥x轴可表示出点B坐标，同时可表示出OB，AB的长；利用余角的性质得∠AOB＝∠BCO，利用有两组角分别相等的两三角形相似，可证得△AOB∽△BCO，利用相似三角形的对应边成比例可求出CO的长，即可得到点C的坐标；利用点A，C的坐标可表示出AC2与a的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出AC的最小值.
三、解答题（共7小题）
17．（2021九上·滨江期末）在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球，若摸到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，摸到一个黄球奖励一个“莲莲”.一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，求得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率.
【答案】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的结果有2种，
∴得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率为 ＝ .
【考点】列表法与树状图法
【解析】【分析】画出树状图，找出总情况数以及得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的结果数，然后利用概率公式进行计算.
18．（2021九上·滨江期末）设二次函数y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0），部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 …
（1）试判断该函数图象的开口方向.
（2）当x＝4时，求函数y的值.
（3）根据你的解题经验，直接写出ax2+bx﹣3＜﹣3的解.
【答案】（1）解：∵图象经过（0，﹣3），（2，﹣3），
∴图象对称轴为直线x＝ ＝1，
由表格可得，x＜1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线图象开口向上
（2）解：∵（﹣2，5）关于直线x＝1的对称点是（4，5），
∴x＝4时，函数y的值为5
（3）解：∵抛物线开口向上，且经过点（0，﹣3），（2，﹣3），
∴当0＜x＜2时，ax2+bx﹣3＜﹣3，
故ax2+bx﹣3＜﹣3的解为0＜x＜2.
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）求出点（0，-3）、（2，-3）的中点坐标可得对称轴，根据表格可知： x＜1时，y随x的增大而减小， 据此可得a的正负，进而确定出图象的开口方向；
（2）易得 （-2，5）关于直线x＝1的对称点是（4，5）， 据此可得x=4对应的函数值；
（3）易得当0＜x＜2时，ax2+bx-3＜-3， 据此解答.
19．（2021九上·滨江期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B.
（1）证明：△ADB∽△AED.
（2）若AE＝3，AD＝5，求AB的长.
【答案】（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD.
∵∠ADE＝∠B，
∴△ADB∽△AED
（2）解：∵△ADB∽△AED，
∴ ，
∵AE＝3，AD＝5，
∴ ，
∴AB＝ .
【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BAD＝∠EAD，然后结合相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据相似三角形的性质进行计算即可得到AB的长.
20．（2022九下·下城开学考）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为 的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC.
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD＝2，AC＝ ，求AB的长.
【答案】（1）解：相切，连接OC，
∵C为 的中点，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠ACO，
∴∠2＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴直线CD与⊙O相切；
（2）解：方法1：连接CE，
∵AD＝2，AC＝ ，
∵∠ADC＝90°，
∴CD＝ ＝ ，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD2＝AD DE，
∴DE＝1，
∴CE＝ ＝ ，
∵C为 的中点，
∴BC＝CE＝ ，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝ ＝3.
方法2：∵∠DCA＝∠B，
易得△ADC∽△ACB，
∴ ，
∴AB＝3.
【考点】圆心角、弧、弦的关系；切线的判定；相交弦定理
【解析】【分析】（1）连接OC，利用等弧所对的圆周角相等得∠1=∠2，利用等边对等角得∠1＝∠ACO，由此可推出∠2＝∠ACO，利用平行线的判定定理可得到AD∥OC，结合已知条件可证得OC⊥CD，然后利用切线的判定定理可证得结论；
（2）方法1：连接CE，利用勾股定理求出CD的长，利用切割线定理可求出DE的长，利用勾股定理求出CE的长，再利用等弧所对的弦相等可求出BC的长，然后利用勾股定理求出AB的长；方法2：利用有两组角分别相等的两三角形相似，可证得△ADC∽△ACB，利用相似三角形的对应边成比例可求出AB的长.
21．（2022九下·下城开学考）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）.
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
【答案】（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，
∴ME＝BE，MG=GN.
∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMND＝2S矩形MEFN，
∴AM＝2ME，
∴AE＝3BE；
（2）解：∵篱笆总长为100m，
∴2AB+GH+3BC＝100，
即 ，
∴ .
设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，
则 ，
∵ ，
∴B E＝10﹣ x＞0，
解得x＜ ，
∴ （0＜x＜ ）.
【考点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由四块矩形花圃面积相等得S矩形AMND＝2S矩形MEFN，ME＝BE，MG=GN，则AM=GH=2ME，由此可证得结论；
（2）利用篱笆总长为100m，可得到2AB+GH+3BC＝100，可用含BC的代数式表示出AB的长， 设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，可得到y与x之间的函数解析式，同时求出x的取值范围.
22．（2022九下·下城开学考）已知二次函数y＝x2+2bx+c
（1）若b＝c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；
（2）若b＝c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值.
【答案】（1）解：由y＝1得 x2+2bx+c＝1，
∴x2+2bx+c﹣1＝0
∵△＝4b2﹣4b+4＝（2b﹣1）2+3＞0，
则存在两个实数，使得相应的y＝1；
（2）解：由b＝c﹣2，则抛物线可化为y＝x2+2bx+b+2，其对称轴为直线x＝﹣b，
①当x＝﹣b≤﹣2时，则有抛物线在x＝﹣2时取最小值为﹣3，此时
﹣3＝（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2，解得b＝3；
②当x＝﹣b≥2时，则有抛物线在x＝2时取最小值为﹣3，此时
﹣3＝22+2×2b+b+2，解得b＝﹣ ，不合题意，舍去，
③当﹣2＜﹣b＜2时，则 ＝﹣3，化简得：b2﹣b﹣5＝0，解得：b1＝ （不合题意，舍去），b2＝ .
综上：b＝3或 .
【考点】二次函数的最值；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将y=1代入函数解析式，可得到x2+2bx+c﹣1＝0，再证明b2-4ac＞0，即可作出判断；
（2）将b＝c﹣2代入函数解析式，可得到y＝x2+2bx+b+2，同时可求出抛物线的对称轴为直线x=-b； 再分情况讨论：当x＝﹣b≤﹣2时，则有抛物线在x＝﹣2时取最小值为﹣3；当x＝﹣b≥2时，则有抛物线在x＝2时取最小值为﹣3；当﹣2＜﹣b＜2时，分别求出符合题意的b的值.
23．（2022九下·下城开学考）已知，如图，⊙O中两条弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD.
（1）求证： ；
（2）若∠AEC＝80°，求∠A的度数；
（3）过点B作BH⊥AD于点H，交CD于点G，若AE＝2BE，求证：EG＝GD.
【答案】（1）证明：∵AB＝CD，
∴ ＝ ，
∴ ﹣ ＝ ﹣ ，
∴ ＝ ；
（2）解：∵ ，
∴∠A＝∠D，
∴∠A＝ ∠AEC＝40°；
（3）证明：如图，
∵∠A＝∠D，
∴AE＝DE，
∵AE＝2BE，
∴DE＝2BE，
∵BH⊥AD，
∴∠AHB＝90°，
∴∠A+∠ABH＝90°，∠D+∠DGH＝90°，
∵∠A＝∠D，∠DGH＝∠BGE，
∴∠ABH＝∠BGE，
∴BE＝EG，
∵DE＝EG+GD＝2BE，
∴EG＝GD.
【考点】等腰三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用AB=CD，可证得 ＝ ，利用公共弧BC，可证得结论；
（2）利用等弧所对圆周角相等可证得∠A＝∠D，利用三角形的内角和定理可求出∠A的度数；
（3）利用等角对等边可证得AE=DE，结合已知可得到DE=2BE，利用余角的性质及对顶角相等可证得∠ABH＝∠BGE，利用等角对等边可证得BE=EG，根据DE＝EG+GD＝2BE，可证得结论.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
