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北师版八年级下册数学6.3 三角形的中位线教学设计
课题 6.3 三角形的中位线 单元 第六单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.理解并能够说出三角形的中位线的定义.2.理解并能够说出三角形中位线的性质定理,能够证明这个定理,且能够应用这个定理解决有关的问题.3.经历探索三角形中位线性质定理的证明过程,体会转化的思想方法,进一步发展学生操作、观察、归纳、推理的能力.
重点 三角形中位线的性质定理的理解和证明,并能应用它解决有关的问题.
难点 三角形中位线的性质定理的证明(辅助线的添加方法)及熟练应用.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 如图所示，A，B两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后步测出AC，BC的中点M，N，并步测出MN的长，由此他就知道了A，B间的距离.你知道其中的道理吗 【思考】如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，下面我们一起来利用平行四边形来研究三角形的某些问题. 学生由实际问题思考怎样测量A，B间的距离。学生思考怎样将三角形蛋糕分成四个全等的三角形。 通过教材中这个现实的生活情境,引入三角形中位线的定义和性质.激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。
讲授新课 三角形中位线的定义连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 .如图，在△ABC中，点D，E 分别为AB，AC 边上的中点，连接DE，则DE即为△ABC 的一条中位线.思考1 一个三角形有几条中位线？一个三角形有三条中位线思考2 三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？中位线是连接三角形两边中点的线段；中线是连接三角形的顶点与其对边中点的线段.你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？从上述做法中，你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？你能通过画图测量一下吗？(1)画图：画△ABC及△ABC的中位线DE.(D，E分别在AB，AC上)(2)度量：用量角器测角度：∠ADE= ，∠B= ；用直尺测长度：DE= ，BC= . (3)结论：DE与BC的位置关系：DE BC； DE与BC的数量关系：DE BC.(4)猜想：三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.怎样证明呢？已知：如图(1)，DE是△ABC的中位线.求证：DE∥BC，DE＝BC.分析：将DE延长一倍后，将证明DE=BC转化为证明延长后的线段与BC相等，又E是AC中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用其性质进行证明。证明：如图，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF.在△ADE和△CFE中，∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE，∴△ADE≌△CFE.∴∠A＝∠ECF，AD＝CF.∴CF∥AB.∵BD＝AD，∴CF＝BD.∴四边形DBCF是平行四边形∴ DF∥BC，DF＝BC.∴DE∥BC，DE＝BC.总结归纳三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.数学语言：∵ 在△ABC中，DE是中位线，∴DE∥BC，DE＝BC.【拓展提高】1.一个三角形有三条中位线，这三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形;2.每个小三角形的周长都是原三角形周长的 ;3.每个小三角形的面积都是原三角形面积的 .【做一做】已知三角形的各边长分别为8cm，10cm和12cm，求以各边中点为顶点的三角形的周长.解：以各边中点为顶点的三角形的三边就是原三角形的三条中位线，长度分别为4，5，6，故周长为4+5+6=15（cm）.议一议如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论，并与同伴交流.已知：如图，在四边形ABCD中， E，F，G，H分别为AB，BC， CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.证明：连接AC.∵ EF是△ABC的中位线，∴ EF∥AC ，EF=AC.同理HG∥AC ，HG= AC.∴ EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形.【总结归纳】中点四边形的定义：依次连接任意四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形．拓展：不管四边形的形状怎样改变，中点四边形始终是平行四边形． 学生在教师的引导下得出三角形中位线的定义，并区分与三角形中线的区别。学生通过看课本内容，思考通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形。学生通过画图的方式探究三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系。学生在教师的引导下证明三角形的中位线与第三边的关系。学生总结归纳三角形的中位线定理。学生根据已有知识解决问题。学生小组合作，探究中点四边形的定义。 在教学中运用探究式教学模式，不仅使学生体验教学再创造的思维过程，而且还培养了学生的创造意识和科学精神。引导学生主动将三角形与平行四边形建立联系,从而发现三角形中位线定理的证明思路.此活动既是对将要探究的三角形中位线性质的一个铺垫,又渗透了转化的思想方法——将对三角形中位线性质的研究转化为对平行四边形性质的研究.通过严密的几何证明将三角形中位线定理进行证明,由感性到理性,使学生经历定理的探究过程,积累数学活动的经验.充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。通过解决问题，学生能够运用已学知识解决问题，这样能提高学生解决问题兴趣。学生分组讨论交流合作，训练学生以严谨的科学态度研究问题，解决问题，同时也培养了学生的合作精神，体现新课改中由教为中心向学为中心的转变。
课堂练习 1.如图，在△ABC中，DE是中位线.(1)若∠AED=60 ,∠A=50 ，则∠C= 60 ， ∠B= 70 . 若DE=3,则BC=6. 2.如图，□ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE 的周长为（ A ）.A.15 B.18 C.21 D.243.如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，点F分别是BM，CM的中点，若EF＝6，则AM的长为____8____．4.如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DF，EF，BF.(1)求证：四边形BEFD是平行四边形；证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DF∥BC，EF∥AB.∴四边形BEFD是平行四边形．(2)若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．解：∵∠AFB＝90°，F是AC的中点，∴BC＝AB＝6.∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DF＝BE＝BC＝3，EF＝BD＝AB＝3.∴四边形BEFD的周长为3×4＝12.5.【中考·广州】在△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE.若∠C＝68°，则∠AED＝( B )A.22° B.68° C.96° D.112°6.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则□ABCD的周长等于____16____． 学生做练习，教师订正。 通过各种形式的练习，进一步提高学生学习兴趣，使 学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
课堂小结 本节课你学到了什么？1.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.3.顺次连接四边形各边的中点所成的四边形是平行四边形. 引导学生回顾已学知识，通过一系列问题进行总结评估 课堂上以由教师引导，学生回顾的方式进行总结，目的是充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。
板书 课题：6.3 三角形的中位线一、三角形中位线的定义和性质二、议一议
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6.3 三角形的中位线
北师版 八年级下册
新知导入
如图所示，A，B两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后步测出AC，BC的中点M，N，并步测出MN的长，由此他就知道了A，B间的距离.
C
M
N
B
A
你知道其中的道理吗
新知导入
【思考】如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？
我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，下面我们一起来利用平行四边形来研究三角形的某些问题.
新知讲解
如图，在△ABC中，点D，E 分别为AB，AC 边上的中点，连接DE，则DE即为△ABC 的一条中位线.
A
B
C
D
E
三角形中位线的定义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 .
新知讲解
一个三角形有三条中位线
中线是连接三角形的顶点与其对边中点的线段.
中位线是连接三角形两边中点的线段；
思考1 一个三角形有几条中位线？
思考2 三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？
新知讲解
你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？
你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？
新知讲解
从上述做法中，你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样
的关系？
你能通过画图测量一下吗？
(1)画图：画△ABC及△ABC的中位线DE.(D，E分别在AB，AC上)
(2)度量：用量角器测角度：∠ADE= ，∠B= ；用直尺测长度：DE= ，BC= .
(3)结论：DE与BC的位置关系：DE BC；
DE与BC的数量关系：DE BC.
新知讲解
从上述做法中，你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样
的关系？
(4)猜想：
三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
怎样证明呢？
新知讲解
已知：如图(1)，DE是△ABC的中位线.
求证：DE∥BC，DE＝ BC.
分析：将DE延长一倍后，将证明DE= BC转化为证明延长后的线段与BC相等，又E是AC中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用其性质进行证明。
新知讲解
已知：如图(1)，DE是△ABC的中位线.
求证：DE∥BC，DE＝ BC.
证明：如图，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE，
∴△ADE≌△CFE.
∴∠A＝∠ECF，AD＝CF.
∴CF∥AB.
新知讲解
已知：如图(1)，DE是△ABC的中位线.
求证：DE∥BC，DE＝ BC.
∵BD＝AD，∴CF＝BD.
∴四边形DBCF是平行四边形
∴ DF∥BC，DF＝BC.
∴DE∥BC，DE＝ BC.
新知讲解
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
总结归纳
数学语言：
∵ 在△ABC中，DE是中位线，
∴DE∥BC，DE＝ BC.
新知讲解
【拓展提高】
1.一个三角形有三条中位线，这三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形;
2.每个小三角形的周长都是原三角形周长的 ;
3.每个小三角形的面积都是原三角形面积的 .
新知讲解
【做一做】已知三角形的各边长分别为8cm，10cm和12cm，
求以各边中点为顶点的三角形的周长.
解：以各边中点为顶点的三角形的三边就是原三角形的三条中位线，长度分别为4，5，6，故周长为4+5+6=15（cm）.
新知讲解
议一议
如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论，并与同伴交流.
新知讲解
已知：如图，在四边形ABCD中， E，F，G，H分别为AB，BC， CD，DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：连接AC.
∵ EF是△ABC的中位线，
∴ EF∥AC ，EF= AC.
同理HG∥AC ，HG= AC.
∴ EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
新知讲解
【总结归纳】
中点四边形的定义：
依次连接任意四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形．
拓展：
不管四边形的形状怎样改变，中点四边形始终是平行四边形．
课堂练习
1.如图，在△ABC中，DE是中位线.
(1)若∠AED=60 ， ∠A=50 ，则∠C= ， ∠B= .
(2)若DE=3， 则BC= .
60
70
6
2.如图，□ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE 的周长为（ ）.
A.15
B.18
C.21
D.24
课堂练习
A
C
D
B
O
E
A
课堂练习
8
3.如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，点F分别是BM，CM的中点，若EF＝6，则AM的长为________．
拓展提高
4.如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DF，EF，BF.
(1)求证：四边形BEFD是平行四边形；
证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DF∥BC，EF∥AB.
∴四边形BEFD是平行四边形．
拓展提高
4.如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DF，EF，BF.
(2)若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．
5.【中考·广州】在△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE. 若∠C＝68°，则∠AED＝( )
A.22°
B.68°
C.96°
D.112°
中考链接
B
中考链接
16
6.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则□ABCD的周长等于________．
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
3.顺次连接四边形各边的中点所成的四边形是平行四边形.
板书设计
课题：6.3 三角形的中位线
教师板演区
学生展示区
一、三角形中位线的定义和性质
二、议一议
作业布置
课本 P152 练习题
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