(共30张PPT)
6.4.1 多边形的内角和
北师版 八年级下册
新知导入
请同学们回忆一下，三角形的内角和是多少度
三角形内角和是180°.
还记得我们是怎么验证这一结论的吗？
新知导入
方法一：通过具体的测量，可知三角形的内角和为180°.
拼法一
拼法二
方法二：剪拼法.
新知讲解
（1）上图中广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？
新知讲解
想一想：任意四边形的内角和等于多少度？
你是怎样得到的？
A
B
C
D
如图，连接AC，
四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.
新知讲解
（2）你能按照上面的方法求出五边形的内角和吗？
五边形的内角和为
180°×3 = 540°
你还有别的方法吗？
新知讲解
在五边形内任取一点，则五边形的内角和为：
5×180°-360°=540°.
五边形的内角和
你还有别的方法吗？
新知讲解
如图所示，在五边形外任取一点，则五边形的内角和为：
4×180°-180°=540°
五边形的内角和
新知讲解
想一想：六边形能分成多少个三角形？n 边形呢？你能确定 n 边形的内角和吗？（n 是大于或等于 3 的自然数）
新知讲解
多边形
的边数 图 形 从一个顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形的
内角和
3
4
5
6
…… …… …… …… ……
n
(n-2)×180°
4× 180°
2× 180°
3× 180°
1× 180°
0
1
1
2
2
3
3
4
n－3
n－2
你能将下表补充完整吗？
新知讲解
总结归纳
多边形的内角和：一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n -3)
条对角线，它们将n边形分为（n - 2)个三角形，
n边形的内角和等于180°×(n -2).
新知讲解
【做一做】
1.一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2.一个多边形的内角和为1440°，则它是 边形.
C
十
新知讲解
多边形内角和的三点注意
(1)多边形的内角和是指n个内角的度数之和.
(2)多边形的内角和为(n-2)·180°，且内角和为180°的整数倍.
(3)由多边形的边数可以求出其内角和，由多边形的内角和也可以求出多边形的边数.
【拓展提高】
新知讲解
【例1】如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C=180°.
∠B 与∠D有怎样的关系
解：∵ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D
＝(4－2)×180°＝360°，
∴∠B＋∠D
＝360°－(∠A＋∠C)
＝360°－180°
＝180°.
如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.
新知讲解
【想一想】
正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？
正三角形的内角为=60°.
正四边形的内角为=90°.
正五边形的内角为=108°.
正六边形的内角为=120°.
正八边形的内角为=135°.
正n边形的每个内角的度数为
新知讲解
【做一做】小彬求出一个正多边形的一个内角为145°. 他的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内角？如果不正确，请说明理由.
解：不正确．
理由：假设是正n边形，由多边形的内角和定理，得(n－2)×180°＝n×145°，解得n＝ ，不是整数，所以不正确．
新知讲解
【议一议】剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角 这个多边形的内角和是多少度
新知讲解
剪的位置不同，剩下的多边形的形状也不同，多边形的内角和也不同，需分类讨论.
①纸片剩下5个角时，得到的五边形的内角和为(5-2)×180°=540°.
②纸片剩下4个角时，得到的四边形的内角和为(4-2)×180°=360°.
③纸片剩下3个角时，得到的三角形的内角和为180°.
【议一议】剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角 这个多边形的内角和是多少度
课堂练习
D
1.已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是( )
A.五边形
B.六边形
C.七边形
D.八边形
2.如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是( )
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
课堂练习
B
3.一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是( )
A.27
B.35
C.44
D.56
课堂练习
C
课堂练习
4.已知一个五边形的五个内角的度数的比是13∶11∶9∶7∶5，求这五个内角中的最大角和最小角.
解：设这五个内角的度数分别为13x°，11x°，9x°，7x°，5x°.
∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°，
∴13x+11x+9x+7x+5x=540.
解得x=12.
∴最大角为13x°=156°，最小角为5x°=60°.
拓展提高
解：如图，连接BE.
∵∠COD＝∠BOE，
∴∠OBE＋∠OEB＝∠C＋∠D.
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠FED＋∠F
＝∠A＋∠ABC＋∠OBE＋∠OEB＋∠FED＋∠F
＝∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F＝360°.
5.如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
6.【中考·铜仁】如图为长方形ABCD，一条直线将该长方形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a＋b不可能是( )
A.360°
B.540°
C.630°
D.720°
中考链接
C
7.【中考·广安】如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则∠AFE＝________度．
中考链接
72
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.n边形的内角和等于(n-2)·180°.
2.正n边形的每个内角的度数为
3.四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.
板书设计
课题：6.4.1 多边形的内角和
教师板演区
学生展示区
一、多边形的内角和
二、正多边形的内角和
三、例题讲解
作业布置
课本 P155 练习题
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北师版八年级下册数学6.4.1 多边形的内角和教学设计
课题 6.4.1 多边形的内角和 单元 第六单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.掌握多边形内角和定理,进一步了解转化的数学思想.2.掌握多边形的外角和都等于360°.3.能够综合应用多边形的内角和、外角和定理解决有关问题.4.经历质疑、猜想、归纳等活动,发展学生的合情推理能力,积累数学活动的经验,在探索中学会与人合作,学会交流自己的思想和方法.
重点 多边形内角和、外角和定理的探索和应用.
难点 多边形内角和公式的推导;转化的数学思想方法的渗透.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 请同学们回忆一下，三角形的内角和是多少度 三角形内角和是180°.还记得我们是怎么验证这一结论的吗？方法一：通过具体的测量，可知三角形的内角和为180°.方法二：剪拼法.拼法一拼法二 学生复习回忆三角形的内角和。通过教师课件演示，总结三角形内角和的验证方法。 通过复习三角形的内角和以及三角形的内角和的验证，为后面学习多边形的内角和做铺垫。
讲授新课 （1）上图中广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？想一想：任意四边形的内角和等于多少度？你是怎样得到的？方法1：如图，连接AC，四边形被分为两个三角形，所以四边形ABCD内角和为180°×2=360°.（2）你能按照上面的方法求出五边形的内角和吗？五边形的内角和为180°×3 = 540°你还有别的方法吗？在五边形内任取一点，则五边形的内角和为：5×180°-360°=540°.如图所示，在五边形外任取一点，则五边形的内角和为：4×180°-180°=540°想一想：六边形能分成多少个三角形？n 边形呢？你能确定 n 边形的内角和吗？（n 是大于或等于 3 的自然数）你能将下表补充完整吗？总结归纳多边形的内角和：一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n -3)条对角线，它们将n边形分为（n - 2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n -2).【做一做】1.一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是( C )A.4 B.5 C.6 D.72.一个多边形的内角和为1440°，则它是 十边形. 【拓展提高】多边形内角和的三点注意(1)多边形的内角和是指n个内角的度数之和.(2)多边形的内角和为(n-2)·180°，且内角和为180°的整数倍.(3)由多边形的边数可以求出其内角和，由多边形的内角和也可以求出多边形的边数.【例1】如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C=180°.∠B 与∠D有怎样的关系 解：∵ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝(4－2)×180°＝360°，∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝360°－180°＝180°.如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.【想一想】正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？正三角形的内角为=60°.正四边形的内角为=90°.正五边形的内角为=108°.正六边形的内角为=120°.正八边形的内角为=135°.正n边形的每个内角的度数为【做一做】小彬求出一个正多边形的一个内角为145°. 他的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内角？如果不正确，请说明理由.解：不正确．理由：假设是正n边形，由多边形的内角和定理，得(n－2)×180°＝n×145°，解得n＝，不是整数，所以不正确．【议一议】剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角 这个多边形的内角和是多少度 剪的位置不同，剩下的多边形的形状也不同，多边形的内角和也不同，需分类讨论.①纸片剩下5个角时，得到的五边形的内角和为(5-2)×180°=540°.②纸片剩下4个角时，得到的四边形的内角和为(4-2)×180°=360°.③纸片剩下3个角时，得到的三角形的内角和为180°. 学生分组,利用度量和拼角的方法验证四边形的内角和,为多边形内角和的探索奠定基础.学生思考用不同的方法探究五边形的内角和。学生根据上面的探究方法得出六边形、八边形的内角和。学生填表。学生解决问题。学生根据所学内容解决课本问题。学生利用内角和公式求出正多边形内角的度数。 学生先通过度量、拼角两种方法,猜想得出四边形的内角和是360°,然后引导学生利用分割的方法,将四边形分割成两个三角形来得到四边形的内角和,进一步渗透类比、转化的数学思想.留给学生充足的时间讨论、交流,寻求多种不同的分割方法来得出五边形的内角和.这既符合新课程教学理念,又符合学生的认知规律和年龄特征,同时渗透转化思想.在数学学习中,培养学生善于总结规律是培养数学能力的一项重要内容,这样不仅使学生把本节课所学的知识形成一个完整的知识体系,而且进一步理解了多边形的内角和公式中的(n-2)的来历,更有利于培养学生善于归纳、总结的数学习惯和能力.处理例题时要让学生充分参与分析,鼓励学生主动地表达和交流,在交流中发展合乎逻辑的思考和有条理的表达能力.通过求正多边形的内角,不仅巩固了多边形内角和公式的应用,还进一步理解了正多边形的定义.引导学生在探究实践的过程中,真正理解和掌握数学的知识、技能和思想方法,增强空间观念及数学思考能力的培养,并获得数学活动经验.
课堂练习 1.已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是( D )A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形2.如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是( B )A.①② B.①③ C.②④ D.③④3.一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是( C )A.27 B.35 C.44 D.564.已知一个五边形的五个内角的度数的比是13∶11∶9∶7∶5，求这五个内角中的最大角和最小角.解：设这五个内角的度数分别为13x°，11x°，9x°，7x°，5x°.∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°，∴13x+11x+9x+7x+5x=540. 解得x=12.∴最大角为13x°=156°，最小角为5x°=60°.5.如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．解：如图，连接BE.∵∠COD＝∠BOE，∴∠OBE＋∠OEB＝∠C＋∠D.∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠FED＋∠F＝∠A＋∠ABC＋∠OBE＋∠OEB＋∠FED＋∠F＝∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F＝360°.6.【中考·铜仁】如图为长方形ABCD，一条直线将该长方形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a＋b不可能是( C )A.360° B.540° C.630° D.720°7.【中考·广安】如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则∠AFE＝___72__度． 学生做练习，教师订正答案。 通过各种形式的练习，进一步提高学生学习兴趣，使 学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
课堂小结 本节课你学到了什么？1.n边形的内角和等于(n-2)·180°.2.正n边形的每个内角的度数为 3.四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补. 学生在教师的引导下总结归纳。 充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。
板书 课题：6.4.1 多边形的内角和一、多边形的内角和二、正多边形的内角和三、例题讲解
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