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北师版八年级下册数学6.4.2 多边形的外角和教学设计
课题 6.4.2 多边形的外角和 单元 第六单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.理解并能够说出多边形的外角和定理,且能够证明它.2.能够综合应用多边形的内角和、外角和定理解决有关的问题.3.经历多边形的外角和定理的探究过程,进一步体会转化的数学思想.4.在解题中感受生活中数学的妙处,体验数学的探索性和创造性.
重点 多边形外角和定理的探索和应用它解决有关的问题.
难点 在定理的推导和定理的应用中,对数学转化思想的体验和吸收.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 填空从n边形的一个顶点出发可以引 条对角线，它们把n边形分成 个三角形. 2.从一个n边形的一个顶点出发可以引5条对角线，则n= . 3.多边形的内角和公式： 。4.正八边形的每一个内角为： . 学生根据上节课所学内容填空。 多边形的外角和是在多边形内角和基础上推导出来的,所以复习整理多边形内角和知识是很必要的.
讲授新课 如图 ，小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步．（1）小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角．这些角是多边形的内角吗？多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。n边形有n个外角（2）小刚每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？它们的和是多少？ ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的结果吗？在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.【思考】问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？互补问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？5×180°=900°问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？ 五边形外角和=5个平角－五边形内角和=5×180°－(5－2) × 180°=360 °结论：五边形的外角和等于360°.【想一想】如果广场的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样 六边形外角和=6个平角－六边形内角和=6×180°－(6－2) × 180°=360 °八边形外角和=8个平角－八边形内角和=8×180°－(8－2) × 180°=360 °你能得到什么结论？猜想证明：n边形外角和=n个平角-n边形内角和= n×180 °－(n－2) × 180°=360 °n边形的外角和等于360°.与边数无关【拓展提升】多边形的内(外)角和与边数间的关系：(1)多边形的内角与边数有关，且随着边数的增加而增加．(2)多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少无关，其作用是：①已知正多边形外角的度数，求正多边形的边数；②已知正多边形的边数，求各相等外角的度数．【例2】一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是（n-2）·180 ° ，外角和等于 360 ° ．根据题意，得（n-2）·180 ° = 3×360 ° ．解得 n=8.所以，这个多边形是八边形． 学生观察图片，区分标出的角与内角的区别。学生总结多边形的外角定义。学生探究五边形外角和。学生根据五边形的外角和探究六边形、八边形以及n边形的外角和定理。学生总结n边形外角和定理。根据所学知识做例题。 利用生活情境,设计问题,激发学生的兴趣和积极性,同时给学生一定的思考空间.对概念的分析和归纳,培养学生的口头表达能力和语言组织能力,同时渗透类比思想.通过问题的解决和延伸,引发学生自主思考,由特殊到一般,培养学生解决问题的逻辑思维能力,也为多边形外角和的得出做好铺垫.学生分组讨论交流合作，训练学生以严谨的科学态度研究问题，解决问题，同时也培养了学生的合作精神，体现新课改中由教为中心向学为中心的转变。在教学中运用探究式教学模式，不仅使学生体验教学再创造的思维过程，培养了学生的创造意识和科学精神。
课堂练习 1.正十边形的外角和为( B )A.180° B.360° C.720° D.1 440°2.已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( B )A.12 B.10 C.8 D.63.若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为( C )A.45° B.60° C.72° D.90°4.一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，求该多边形的对角线的条数。解：设该多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝360°×2＋180°，解得n＝7.七边形有14条对角线．5.(1)如图①，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1＋∠2等于( C ) A．90° B．135° C．270° D．315°(2)如图②，已知在△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成了四边形，∠1＋∠2＝220°；(3)根据(1)与(2)的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是∠1＋∠2＝180°＋∠A；(4)如图③，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图所示的形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系，并说明理由．解：∠1＋∠2＝2∠A.理由如下：∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF.∴∠1＝180°－2∠AFE，∠2＝180°－2∠AEF.∴∠1＋∠2＝360°－2(∠AFE＋∠AEF)．又∵∠AFE＋∠AEF＝180°－∠A，∴∠1＋∠2＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A.6.【中考·十堰】如图，小华从点A出发，沿直线前进10 m后向左转24°，再沿直线前进10 m，又向左转24°……照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走的路程是( B )A.140 m B.150 mC.160 m D.240 m 学生做练习，教师订正答案。 通过各种形式的练习，进一步提高学生学习兴趣，使 学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
课堂小结 本节课你学到了什么？1.多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.2.在每个顶点处取这个多边形的一个外角,它们的和叫做这个多边形的外角和.3.多边形的外角和都等于360°. 引导学生回顾已学知识，通过一系列问题进行总结评估 充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。
板书 课题：6.4.2 多边形的外角和一、多边形的外角和二、例题讲解
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6.4.2 多边形的外角和
北师版 八年级下册
新知导入
1.从n边形的一个顶点出发可以引 条对角线，
它们把n边形分成 个三角形.
2.从一个n边形的一个顶点出发可以引5条对角线，则n= .
3.多边形的内角和公式： .
4.正八边形的每一个内角为： .
（n-3）
（n-2）
8
（n-2）×180°
135°
新知讲解
如图 ，小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步．
（1）小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角．
这些角是多边形的内角吗？
新知讲解
多边形的外角：
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。
n边形有n个外角
新知讲解
（2）小刚每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？它们的和是多少？
1+ 2+ 3+ 4+ 5
你能求出 1+ 2+ 3+ 4+ 5的结果吗？
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
新知讲解
【思考】
问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
互补
5×180°=900°
新知讲解
结论：五边形的外角和等于360°.
问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
五边形外角和
=5个平角－五边形内角和
=5×180°－(5－2) × 180°
=360 °
新知讲解
【想一想】
如果广场的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样
六边形外角和
=6个平角－六边形内角和
=6×180°－(6－2) × 180°
=360 °
八边形外角和
=8个平角－八边形内角和
=8×180°－(8－2) × 180°
=360 °
你能得到什么结论？
新知讲解
=360 °
猜想证明：
n边形外角和
=n个平角-n边形内角和
= n×180 °－(n－2) × 180°
n边形的外角和等于360°.
与边数无关
新知讲解
【拓展提升】
多边形的内(外)角和与边数间的关系：
(1)多边形的内角与边数有关，且随着边数的增加而增加．
(2)多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少无关，其作用是：
①已知正多边形外角的度数，求正多边形的边数；
②已知正多边形的边数，求各相等外角的度数．
新知讲解
【例2】一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是（n-2）·180 ° ，
外角和等于 360 ° ．
根据题意，得（n-2）·180 ° = 3×360 ° ．
解得 n=8.
所以，这个多边形是八边形．
课堂练习
1.正十边形的外角和为( )
A.180° B.360° C.720° D.1 440°
B
2.已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( )
A.12 B.10 C.8 D.6
B
3.若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为( )
A.45° B.60° C.72° D.90°
C
课堂练习
4.一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，求该多边形的对角线的条数。
解：设该多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝360°×2＋180°，
解得n＝7.
七边形有14条对角线．
5.(1)如图①，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1＋∠2等于( )
A．90° B．135°
C．270° D．315°
(2)如图②，已知在△ABC中，
∠A＝40°，剪去∠A后成了
四边形，∠1＋∠2＝________；
拓展提高
C
220°
解：∠1＋∠2＝2∠A.理由如下：
∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF.
∴∠1＝180°－2∠AFE，∠2＝180°－2∠AEF.
∴∠1＋∠2＝360°－2(∠AFE＋∠AEF)．
又∵∠AFE＋∠AEF＝180°－∠A，
∴∠1＋∠2＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A.
(3)根据(1)与(2)的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是________________________；
(4)如图③，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图所示的形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系，并说明理由．
拓展提高
∠1＋∠2＝180°＋∠A
6.【中考·十堰】如图，小华从点A出发，沿直线前进10 m后向左转24°，再沿直线前进10 m，又向左转24°……照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走的路程是( )
A.140 m
B.150 m
C.160 m
D.240 m
中考链接
B
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.
2.在每个顶点处取这个多边形的一个外角,它们的和叫做这个多边形的外角和.
3.多边形的外角和都等于360°.
板书设计
课题：6.4.2 多边形的外角和
教师板演区
学生展示区
一、多边形的外角和
二、例题讲解
作业布置
课本 P157 练习题
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