(共13张PPT)
数学 七年级下册 北师版
第二章 相交线与平行线
2 探索直线平行的条件
第2课时 利用内错角、同旁内角判定两直线平行
1．(4分)如图，已知射线BA，BC被直线EF所截，图中的∠1与∠2是( )
A．对顶角 B．同位角
C．内错角 D．同旁内角
2．(4分)下列各图中，∠1和∠2为同旁内角的是( )
C
A
3．(4分)如图，下列说法错误的是( )
A．∠2与∠3是内错角
B．∠3与∠4是同旁内角
C．∠1与∠4是内错角
D．∠1与∠3是同位角
4．(4分)如图，∠1的同位角是___________，∠2的内错角是____，
∠EDB的同旁内角是_____________________________.
C
∠EDB
∠B
∠AED，∠BED，∠B
5．(4分)(开封祥符区期末)如图，∠AEF＝∠EFC，则下列结论中正确的是( )
A．EF∥BC B．AD∥BC
C．AD∥EF D．AB∥CD
6．(4分)(洛阳期末)如图，点E在AB的延长线上，下列条件中可以判断AB∥CD的是( )
A．∠DAB＝∠CBE B．∠ADC＝∠ABC
C．∠ACD＝∠CAE D．∠DAC＝∠ACB
D
C
7．(8分)如图，AC平分∠DAB，∠1＝∠2，试说明：AB∥CD.
解：因为AC平分∠DAB，所以∠1＝∠3.
又因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠3，所以AB∥CD
8．(4分)如图所示，已知∠1＝70°，要使AB∥CD，则需具备的另一个条件是( )
A．∠2＝70° B．∠2＝100°
C．∠2＝110° D．∠3＝110°
9．(4分)如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝60°，∠C＝120°，
则____∥____．
C
AB
CD
10．如图，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，观察图形，
在线段AB，AC，AE，ED，EC中，相互平行的线段有( )
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
11．如图，下列条件中能判断直线a∥b的个数有( )
①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠2＋∠4＝180°；
④∠4＝∠5；⑤∠5＋∠4＝180°；⑥∠2＝∠4.
A．3个 B. 4个 C．5个 D．6个
C
A
12．(项城期中)下列四个图形，图中若∠1＝∠2，则能够判定AB∥CD的是( )
C
13．(湘潭中考)如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，
则可添加的条件为________________________．(任意添加一个即可)
14．将一块直角三角尺ABC按如图方式放置，其中∠ABC＝30°，A，B两点
分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则当∠2＝____时，直线m∥n.
∠A＋∠ABC＝180°
50°
三、解答题(共35分)
15．(10分)如图，已知∠A＝60°，∠1＝60°，∠2＝120°，猜想图中哪些直线平行，并说明理由．
解：DE∥AC，EF∥AB.理由：因为∠A＝60°，∠1＝60°，所以∠A＝∠1.所以DE∥AC.又因为∠A＝60°，∠2＝120°，所以∠A＋∠2＝60°＋120°＝180°，所以EF∥AB
16．(12分)如图，∠1＝∠2，∠BAC＝20°，∠ACF＝80°.
(1)求∠2的度数；
(2)FC与AD平行吗？为什么？
解：(1)因为∠1＋∠2＋∠BAC＝180°，∠1＝∠2，∠BAC＝20°，
所以2∠2＋20°＝180°，所以∠2＝80°
(2)FC∥AD.理由：因为∠2＝80°，∠ACF＝80°，所以∠2＝∠ACF，所以FC∥AD
【素养提升】
17．(13分)如图，AC⊥EC，点B，C，D在同一直线上，且∠A＝∠1，∠E＝∠2，直线AB与DE平行吗？试说明理由．
解：AB∥DE，理由如下：过点C作∠FCA＝∠A，则AB∥FC.因为∠1＝∠A，
所以∠1＝∠ACF.因为AC⊥EC，所以∠ACE＝90°，即∠ACF＋∠FCE＝90°.
又因为∠BCD＝180°，所以∠1＋∠2＝90°.所以∠2＝∠FCE.
又因为∠2＝∠E，所以∠FCE＝∠E，所以FC∥DE，所以AB∥DE(共13张PPT)
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第二章 相交线与平行线
3 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
1．(4分)(怀化中考)如图，直线a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为( )
A．30° B．60° C．45° D．120°
2．(4分)(咸宁中考)如图，已知a∥b，l与a，b相交，若∠1＝70°，则∠2的度数为( )
A．120° B．110° C．100° D．70°
B
B
3．(4分)如图，直线l1∥l2，分别与直线l交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，则∠2的度数为( )
A．108° B．102° C．98° D．92°
4．(4分)如图，在三角形ABC中，点D，E，F分别是三条边上的点，EF∥AC，DF∥AB，∠B＝45°，∠C＝60°，则∠EFD的度数是( )
A．80° B．75° C．70° D．65°
C
B
5．(4分)如图，DE∥AB，若∠ACD＝60°，则∠A的度数为( )
A．30° B．60° C．70° D．120°
6．(4分)如图，AB∥CD，∠CDE＝140°，则∠A的度数为( )
A．40° B．50° C．60° D．140°
B
A
7．(4分)如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C＝33°，则∠BED的度数是( )
A．16° B．33° C．49° D．66°
8．(4分)(滨州中考)如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是( )
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠1＋∠3＝180° D．∠3＋∠4＝180°
D
D
9．(4分)如图，AB∥CD，BC∥DE.若∠B＝50°，则∠D的度数是____．
10．(4分)如图，已知AB∥CD∥EF，则∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝____度．
130°
360
11．如图，∠AOB的两边OA，OB均为平面反光镜，∠AOB＝40°，在射线OB上有一点P，从点P射出的一束光线经OA上的点Q反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是( )
A.60°
B．80°
C．100°
D．120°
B
12．(泰州中考)如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝____度．
13．(南通中考)如图，∠AOB＝40°，OP平分∠AOB，点C为射线OP上一点，
作CD⊥OA于点D，在∠POB的内部作CE∥OB，则∠DCE＝____度．
140
130
三、解答题(共42分)
14．(12分)(重庆中考)如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，
求∠2的度数．
解：如图，因为直线AB∥CD，所以∠1＝∠3＝54°.因为BC平分∠ABD，
所以∠3＝∠4＝54°，所以∠2的度数为180°－54°－54°＝72°
15．(14分)如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105°，第二次拐的角∠B是135°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？
解：如图，过点B作直线BE∥CD，因为CD∥AF，所以BE∥CD∥AF，所以∠A＝∠ABE＝105°，所以∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°.又因为BE∥CD，所以∠CBE＋∠C＝180°，所以∠C＝150°
【素养提升】
16．(16分)如图，∠B，∠D的两边分别平行．
(1)在图①中，∠B与∠D的数量关系是什么？为什么？
(2)在图②中，∠B与∠D的数量关系是什么？为什么？
(3)由(1)(2)可得结论：___________________________________________________；
(4)应用：若两个角的两边两两互相平行，
其中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数．
如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补
解：(1)∠B＝∠D.理由：如图③，因为AB∥CD，所以∠B＝∠1.因为BE∥DF，所以∠1＝∠D，所以∠B＝∠D (2)∠B＋∠D＝180°.理由：如图④，因为AB∥CD，所以∠B＝∠1.因为BE∥DF，所以∠1＋∠D＝180°，所以∠B＋∠D＝180°
(4)情况①：设一个角是x°，则另一个角也是x°，则x＝2x－30，解得x＝30；情况②：设一个角是x°，则另一个角是(180－x)°，则x＝2(180－x)－30，解得x＝110.所以这两个角的度数是30°，30°或70°，110°(共15张PPT)
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第二章 相交线与平行线
本章考点整合训练二
1．(贺州中考)如图，下列各组角中，是对顶角的一组是( )
A.∠1和∠2
B．∠3和∠5
C．∠3和∠4
D．∠1和∠5
2．如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AC，AB上．
若∠B＝∠ADE，则下列结论正确的是( )
A．∠A和∠B互为补角
B．∠B和∠ADE互为补角
C．∠A和∠ADE互为余角
D．∠AED和∠DEB互为余角
B
C
3．(梧州中考)如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠DOB，
若∠BOC＝110°，则∠AON的度数为____度．
145
4．如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．
(1)∠AOC的对顶角为__________，∠EOB的邻补角为_______；
(2)若∠AOC＝70°且∠BOE∶∠EOD＝2∶3，求∠AOE的度数．
∠BOD
∠AOE
5．下列说法中正确的有( )
①直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
②画一条直线的垂线段可以画无数条；
③在同一平面内，经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．(河南中考)如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，
ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为( )
A.35°
B．45°
C．55°
D．65°
D
C
7．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD.
(1)图中除直角和平角外，还有相等的角吗？请写两对；
①___________；②_____________________________；
(2)如果∠AOD＝40°，求∠COP和∠BOF的度数．
∠COE＝∠BOF
∠COP＝∠BOP，∠COB＝∠AOD
8．如图，直线a，b被直线c所截，下列说法正确的是( )
A．当∠1＝∠2时，一定有a∥b
B．当a∥b时，一定有∠1＝∠2
C．当a∥b时，一定有∠1＋∠2＝90°
D．当∠1＋∠2＝180°时，一定有a∥b
9．(乌鲁木齐中考)如图把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，
若∠1＝50°，则∠2的度数为( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
D
C
10．(苏州中考)如图，三角形ABC是一块直角三角板，∠BAC＝90°，∠B＝30°，
现将三角板叠放在一把直尺上，使得点A落在直尺的一边上，
AB与直尺的另一边交于点D，BC与直尺的两边分别交于点E，F.
若∠CAF＝20°，则∠BED的度数为____°.
80
11．(淄博中考)如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，
其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，
找出图中的平行线，并说明理由．
解：OA∥BC，OB∥AC.理由：因为∠1＝50°，∠2＝50°，
所以∠1＝∠2，所以OB∥AC.因为∠2＝50°，∠3＝130°，
所以∠2＋∠3＝180°，所以OA∥BC
12．如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC.
(1)试说明：AB∥CD；
(2)若∠1＋∠2＝180°，且∠BEC＝2∠B＋30°，求∠C的度数．
解：(1)因为∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，
所以∠A＝∠D，所以AB∥CD
(2)因为∠1＋∠2＝180°，∠GHB＝∠1，所以∠2＋∠GHB＝180°，所以CE∥FB，所以∠GEB＋∠B＝180°.因为∠BEC＝2∠B＋30°，所以∠B＝50°，
所以∠C＝∠BFD＝∠B＝50°
考点四 用尺规作图
13．尺规作图：(不写作法，但要保留作图痕迹)
如图，E为∠BAC的边AC上一点，过点E作直线MN，使MN∥AB.
8．如图，直线a，b被直线c所截，下列说法正确的是( )
A．当∠1＝∠2时，一定有a∥b
B．当a∥b时，一定有∠1＝∠2
C．当a∥b时，一定有∠1＋∠2＝90°
D．当∠1＋∠2＝180°时，一定有a∥b
9．(乌鲁木齐中考)如图把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，
若∠1＝50°，则∠2的度数为( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
14．如图，用尺规作∠AOB，使∠AOB＝∠1－∠2.(保留痕迹，不写作法)
【素养提升】
15．(郑州期中)如图，AB∥CD，
∠ABK的平分线BE的反向延长线和∠DCK的平分线CF的反向延长线交于点H，
∠K－∠H＝27°，则∠K＝( )
A.76°
B．78°
C．80°
D．82°
B(共14张PPT)
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第二章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系
第1课时 对顶角、余角与补角
1．(4分)下列说法中，正确的个数是( )
①在同一平面内不相交的两条线段必平行；
②在同一平面内不相交的两条直线必平行；
③在同一平面内不平行的两条线段必相交；
④在同一平面内不平行的两条直线必相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
2．(4分)如图，∠1与∠2是对顶角的是( )
A B C D
3．(4分)(邵阳中考)如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD＝160°，
则∠BOC的大小为( )
A．20° B．60° C．70° D．160°
C
D
4．(5分)(贺州中考)如图，下列各组角中，互为对顶角的是( )
A．∠1和∠2 B．∠1和∠3
C．∠2和∠4 D．∠2和∠5
A
5．(10分)如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠1＝20°，∠BOC＝80°，
求∠2的度数．
解：因为∠1＝20°，∠BOC＝80°，所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝60°.
根据对顶角相等，得∠2＝∠BOF＝60°
6．(4分)若一个角的度数为30°，则它的余角的度数为( )
A．30° B．60° C．150° D．170°
7．(4分)如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，如果∠1＝∠2，
那么推出∠3＝∠4的理由是( )
A.同角的补角相等
B．等角的补角相等
C．同角的余角相等
D．等角的余角相等
B
D
8．(5分)如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，
若∠BOD＝76°，则∠BOM等于( )
A.38°
B．104°
C．142°
D．144°
C
9．若互为余角的两个角之差为40°，则较大的角为( )
A．40° B．50° C．65° D．75°
10．如图，直线l1和l2相交于点O，∠MON＝90°，若∠α＝44°，则∠β＝( )
A．50° B．46° C．45° D．44°
C
B
二、填空题(每小题6分，共12分)
11．已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，
则∠β－∠γ的值为____．
12．如图，已知直线AB，CD，MN相交于点O，若∠1＝22°，∠2＝46°，
则∠3的度数为____．
90°
112°
三、解答题(共36分)
13．(10分)如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，∠1∶∠3＝4∶1，
∠2＝30°，求∠AOE，∠DOE的度数．
14．(10分)(平顶山期中)如图，已知∠AOC＝∠BOD＝90°.
(1)若∠DOC＝25°，试求∠AOB的度数；
(2)若∠AOB＝152°，试求∠DOC的度数．
解：(1)∠AOB＝∠AOC＋∠DOB－∠DOC＝90°＋90°－25°＝155°
(2)∠DOC＝∠AOC＋∠DOB－∠AOB＝90°＋90°－152°＝28°
【素养提升】
15．(16分)观察以下图形，寻找对顶角．
(1)图①中共有____对对顶角；
(2)图②中共有____对对顶角；
(3)图③中共有____对对顶角；
(4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为：
若有n(n为大于等于2的整数)条直线相交于一点，则可形成__________对对顶角；
(5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？
2
6
12
n(n－1)
解：(5)当n＝100时，n(n－1)＝100×99＝9 900，
所以若100条直线相交于一点，则可形成9 900对对顶角(共13张PPT)
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第二章 相交线与平行线
3 平行线的性质
第2课时 平行线的性质与判定的综合
1．(5分)(河南中考)如图，直线a，b被直线c，d所截，
若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数为( )
A．55° B．60° C．70° D．75°
2．(5分)如图，∠D＝∠2，∠1＝25°，则∠B＝( )
A．25° B．45° C．50° D．65°
A
A
3．(5分)(广安中考)如图，若∠1＋∠2＝180°，∠3＝110°，则∠4＝____．
4．(5分)如图，BC∥DE，∠E＋∠B＝180°，则AB和EF的位置关系为____．
110°
平行
5．(8分)如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，试探究∠A与∠F的大小关系，
并说明理由．
解：∠A＝∠F.理由如下：因为∠1＝∠2，∠2＝∠3，所以∠1＝∠3，所以DB∥EC，
所以∠4＝∠C.又因为∠C＝∠D，所以∠4＝∠D，所以DF∥AB，所以∠A＝∠F
6．(5分)如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，
现在要将两侧的管道对接，如果一侧铺设的角度为120°，
那么另一侧铺设的角度大小应为( )
A.120°
B．100°
C．80°
D．60°
D
7．(7分)一条建设中的高速公路要穿过一山体开挖一条隧道，甲、乙两工程队分别从山体两侧的A，B两点同时开工，现甲队从点A测得道路的走向是北偏东55°，为了不浪费人力、物力，问乙队在点B处应该按∠β多少度开挖，才能够保证隧道准时接通？
解：为了使A，B两点在同一直线上，只要CA∥DB，要使CA∥DB，
所以∠α＋∠β＝180°，即∠β＝180°－55°＝125°.
因此，乙队在B点处应该按∠β＝125度开挖
8．(郏县月考)如图所示，下列条件不能判定直线a∥b的是( )
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠1＝∠4 D．∠4＋∠5＝180°
9．如图，下列说法错误的是( )
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．若∠1＝∠2，则a∥c
C．若∠3＝∠2，则b∥c
D．若∠3＋∠5＝180°，则a∥c
C
C
10．已知∠1＝120°，∠2＝60°，∠3＋∠4＝180°，如图所示，则在结论：
①a∥b；②a∥c；③b∥c；④∠3＝∠2中，正确的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
11．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝73°，则∠4的度数为____度．
12．如图，请填写一个你认为恰当的条件：________________，使AD∥BC.
13．(丹东中考)如图，∠1＝∠2＝40°，MN平分∠EMB，则∠3＝____度．
107
∠FAD＝∠FBC
110
三、解答题(共30分)
14．(8分)如图，按下面方法折纸，然后解答问题：
若∠1＝40°，你能求出∠2的度数吗？试着做一做．
解：因为AP∥BF，所以∠1＝∠CFB＝40°.因为∠CFB＋2∠CFE＝180°，
所以∠CFE＝70°.因为AE∥BF，所以∠2＋∠BFE＝180°，
所以∠2＝180°－∠CFE－∠CFB＝180°－70°－40°＝70°
15．(10分)如图，在三角形ABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC∥ED，
CE是∠ACB的平分线，试比较∠EDF与∠BDF的大小，并说明理由．
解：∠EDF＝∠BDF.理由：因为CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，
所以DF∥CE，所以∠BDF＝∠BCE，∠FDE＝∠DEC.
又因为AC∥ED，所以∠DEC＝∠ACE.
因为CE是∠ACB的平分线，所以∠ACE＝∠BCE，所以∠EDF＝∠BDF
【素养提升】
16．(12分)如图，已知∠HDC＋∠ABC＝180°，∠HFD＝∠BEG，∠H＝20°，
求∠G的度数．
解：因为∠HFD＝∠BEG，∠BEG＝∠AEF，所以∠HFD＝∠AEF，
所以DC∥AB，所以∠HDC＝∠DAB.因为∠HDC＋∠ABC＝180°，
所以∠DAB＋∠ABC＝180°，所以AD∥BC，所以∠H＝∠G.
因为∠H＝20°，所以∠G＝20°(共13张PPT)
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第二章 相交线与平行线
2 探索直线平行的条件
第1课时 利用同位角判定两直线平行
1．(4分)(衢州中考)如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是( )
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
2．(4分)下图中，∠1和∠2是同位角的是( )
C
D
3．(4分)在图中所标出的角中，同位角共有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
D
4．(4分)如图，若∠1＝∠2，则下列结论正确的是( )
A.AD∥BC
B．AB∥CD
C．AD∥EF
D．EF∥BC
5．(4分)(焦作期中)如图所示，点E在AC的延长线上，
下列条件中能判断AB∥CD的是( )
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠3
C．∠A＝∠DCE D．∠D＋∠ACD＝180°
C
C
6．(4分)如图，用直尺和三角尺作直线AB，CD，从图中可知，
直线AB与直线CD的位置关系为____，理由是__________________________．
平行
同位角相等，两直线平行
7．(4分)过一点画已知直线的平行线，则( )
A．有且只有一条 B．有两条
C．不存在 D．不存在或只有一条
8．(4分)下列推理正确的是( )
A．因为a∥d，b∥c，所以c∥d
B．因为a∥c，b∥d，所以c∥d
C．因为a∥b，b∥c，所以a∥c
D．因为a∥b，c∥d，所以a∥c
D
C
9．(8分)如图，在方格纸上有点P，Q和直线BC.
(1)过点P画EF∥BC，过点Q画GH∥BC；
(2)直线EF与GH有怎样的位置关系？说明理由．
解：(1)如图所示
(2)EF∥GH.理由：因为EF∥BC，GH∥BC，
所以EF∥GH
10．已知同一平面内的直线l1，l2，l3，如果l1⊥l2，l2⊥l3，
那么l1与l3的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．垂直 D．以上都不对
11．(驻马店月考)如图，两条直线AB，CD被第三条直线EF所截，∠1＝80°，
下列结论正确的是( )
A.若∠2＝80°，则AB∥CD
B．若∠5＝80°，则AB∥CD
C．若∠3＝100°，则AB∥CD
D．若∠4＝80°，则AB∥CD
A
B
12．如图，∠1＝70°，当∠2＝____时，a∥b，
根据是_______________________.
13．如图，∠A＝70°，O是直线AB上的一点，直线OD与AB所夹的角∠BOD＝82°，
要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少要旋转____．
70°
同位角相等，两直线平行
12°
三、解答题(共36分)
14．(10分)如图，已知∠1＝53°，∠2＝37°，OH⊥AB于点O，图中有平行线吗？为什么？
解：有平行线，AB∥CD.理由：因为OH⊥AB，所以∠BOH＝90°.
因为∠2＝37°，所以∠BOE＝53°，因为∠1＝53°，
所以∠BOE＝∠1，所以AB∥CD
15．(12分)如图，取一张长方形硬纸板ABCD，将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合，EF为折痕．把长方形ABFE平放在桌面上，另一个面CDEF无论怎么改变位置总有CD∥AB存在，你知道为什么吗？
解：因为AB∥EF，CD∥EF，所以CD∥AB
【素养提升】
16．(14分)如图，AB，CD，EF是三条公路，且AB⊥EF于点O，CD⊥EF于点O′.
(1)试判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
(2)若小路OM平分∠EOB，通往加油站N的岔道O′N平分∠CO′F，
试判断OM与O′N的位置关系．
解：(1)AB∥CD，理由如下：因为AB⊥EF，CD⊥EF，
所以∠BOE＝∠DO′E＝90°，所以AB∥CD
(2)OM∥O′N.理由如下：延长NO′至点P，
因为OM平分∠EOB，O′N平分∠CO′F，
所以∠EOM＝∠FO′N＝45°.又因为∠FO′N＝∠EO′P，
所以∠EOM＝∠EO′P＝45°，所以OM∥O′P，即OM∥O′N(共14张PPT)
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第二章 相交线与平行线
专题训练(三) 相交线与平行线中的数学思想
1．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD，
若∠BOE＝2∠BOD，求∠AOF的度数．
解：设∠BOD＝x°，∠BOE＝2x°；
因为OE平分∠BOC，所以∠COE＝∠EOB＝2x°，则2x＋2x＋x＝180，解得x＝36.
所以∠BOD＝36°，所以∠AOC＝∠BOD＝36°.
因为FO⊥CD，所以∠AOF＝90°－∠AOC＝90°－36°＝54°
2. 如图，DE∥BC，∠D∶∠DBC＝2∶1，∠1＝∠2，求∠DEB的度数．
解：设∠1为x°，因为∠1＝∠2，所以∠2＝x°，所以∠DBC＝∠1＋∠2＝2x°.
因为∠D∶∠DBC＝2∶1，所以∠D＝2×2x°＝4x°.
因为DE∥BC，所以∠D＋∠DBC＝180°，即2x＋4x＝180，解得x＝30，
所以∠1＝30°.因为DE∥BC，所以∠DEB＝∠1＝30°
3．(鞍山期末)如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC与∠AOD的度数比为4∶5，
OE⊥AB，OF平分∠DOB，求∠EOF的度数．
4．如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于点O，AE∥OF，且∠A＝30°.
(1)求∠DOF的度数；
(2)试说明OD平分∠AOG.
解：(1)因为AE∥OF，所以∠FOB＝∠A＝30°.因为OF平分∠BOC，所以∠COF＝∠FOB＝30°，所以∠DOF＝180°－∠COF＝150°
(2)因为OF⊥OG，所以∠FOG＝90°，所以∠DOG＝∠DOF－∠FOG＝150°－90°＝60°.因为∠AOD＝∠COB＝∠COF＋∠FOB＝60°，所以∠AOD＝∠DOG，所以OD平分∠AOG
5．点D在∠ABC内，点E为边BC上一点，连接DE，CD.
(1)如图①，连接AE，若∠AED＝∠A＋∠D，试说明AB∥CD；
(2)在(1)的结论下，若过点A的直线MA∥ED，
如图②，当点E在线段BC上时，猜想并验证∠MAB与∠CDE的数量关系．
解：(1)过点E作EF∥AB.则∠AEF＝∠A.因为∠AED＝∠AEF＋∠DEF，
∠AED＝∠A＋∠D，所以∠D＝∠DEF，所以CD∥EF，所以AB∥CD
(2)∠MAB＝∠CDE.理由如下：延长AB，DE交于点F.因为MA∥ED，
所以∠MAB＝∠F.因为AB∥CD，所以∠CDE＝∠F，所以∠MAB＝∠CDE
6．(铁岭月考)如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOC＝80°，OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE∶∠EOD＝2∶3，过点O作射线OF⊥OE，求∠DOF的度数．
8．如图，梯子的各条横档互相平行，若∠1＝80°，则∠2的度数是( )
A．80° B．100° C．110° D．120°
9．如图，一辆汽车经过两次转弯后，行驶的方向与原来保持平行，
如果第一次转过的角度α为55°，
则第二次转过的角度β为____．
B
125°
10．(沈阳铁西区期中)如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个直角梯形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2，若∠1＝75°，则∠2的度数为____．
15°
11．如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB，EF与上拉杆CF形成的∠F＝150°，主柱AD垂直于地面．这一篮球架可以通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度．当∠CDB＝35°，且点H，D，B在同一直线上时，求∠H的大小．
解：过点D作DI∥EF，因为∠F＝150°，所以∠FDI＝180°－∠F＝30°.
又因为∠FDH＝∠CDB＝35°，所以∠IDH＝∠FDI＋∠FDH＝30°＋35°＝65°.
因为EF∥GH，所以DI∥GH，所以∠H＝180°－∠IDH＝180°－65°＝115°(共14张PPT)
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第二章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系
第2课时 垂直
1．(4分)(鞍山铁西区月考)如图，已知OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2的度数是( )
A．35° B．40° C．45° D．60°
2．(4分)两条直线相交所构成的四个角分别满足下列条件之一，
其中不能判定这两条直线互相垂直的条件是( )
A．两对对顶角分别相等 B．有一对对顶角互补
C．有一对邻角相等 D．有三个角相等
A
A
3．(3分)(河南中考)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，
∠EOD＝50°，则∠BOC的度数为____．
140°
4．(4分)下列选项中，过点P画直线AB的垂线CD，三角尺放法正确的是( )
C
5．(6分)如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．
(1)过点P画OA的垂线，垂足为H；
(2)过点P画OB的垂线，交OA于点C.
解：(1)如图，PH为所求作
(2)如图，PC为所求作
6．(4分)如图，在一张透明纸上画一条直线l，在l外任取一点Q并折出过点Q且与l垂直的直线，这样的直线能折出( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
7．(4分)如图，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，
其理由是_______________________________________________________．
B
在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
8．(4分)(禹州月考)点到直线的距离是指( )
A．从直线外一点到这条直线的垂线
B．从直线外一点到这条直线的垂线段
C．从直线外一点到这条直线的垂线的长
D．从直线外一点到这条直线的垂线段的长
9．(4分)如图，点P到直线l的距离是( )
A.线段PA的长度
B．线段PB的长度
C．线段PC的长度
D．线段PD的长度
D
B
10．(3分)A为直线a外一点，B是直线a上一点，点A到直线a的距离为3 cm，
则线段AB的长度的取值范围是_______________．
AB≥3_cm
11．如图，点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上一点，
PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝3 cm，则点P到直线m的距离为( )
A．4 cm B. 3 cm
C．小于3 cm D．不大于3 cm
12．(郑州四中月考)在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，
使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数是( )
A．60° B．120°
C．60°或30° D．60°或120°
D
D
二、填空题(每小题6分，共12分)
13．自钝角的顶点引它一边的垂线，把这个角分成两个角的度数比为3∶1，
则这个钝角的度数是____．
14．如图所示，A，B，C三点在同一直线上，已知∠ACD＝157°，∠BCE＝113°，
则CD与CE的位置关系是______________．
120°
CD⊥CE
三、解答题(共36分)
15．(10分)如图，污水处理厂A要把处理过的水引入排水沟PQ，
应如何铺设排水管道，才能使材料最省，画出图形，并说明理由．
解：如图所示，理由：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
16．(12分)直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，
若∠AOE＝40°，求∠BOF的度数．
【素养提升】
17．(14分)如图，已知直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O.
(1)若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；
(2)若∠BOD∶∠BOC＝1∶5，求∠AOE的度数；
(3)在(2)的条件下，请你过点O画直线MN⊥AB，
并在直线MN上取一点F(点F与点O不重合)，
然后直接写出∠EOF的度数．(共14张PPT)
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第二章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系
1．(4分)下列说法中，正确的个数是( )
①在同一平面内不相交的两条线段必平行；
②在同一平面内不相交的两条直线必平行；
③在同一平面内不平行的两条线段必相交；
④在同一平面内不平行的两条直线必相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
2．(4分)如图，∠1与∠2是对顶角的是( )
A B C D
3．(4分)(邵阳中考)如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD＝160°，
则∠BOC的大小为( )
A．20° B．60° C．70° D．160°
C
D
4．(5分)(贺州中考)如图，下列各组角中，互为对顶角的是( )
A．∠1和∠2 B．∠1和∠3
C．∠2和∠4 D．∠2和∠5
A
5．(10分)如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠1＝20°，∠BOC＝80°，
求∠2的度数．
解：因为∠1＝20°，∠BOC＝80°，所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝60°.
根据对顶角相等，得∠2＝∠BOF＝60°
6．(4分)若一个角的度数为30°，则它的余角的度数为( )
A．30° B．60° C．150° D．170°
7．(4分)如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，如果∠1＝∠2，
那么推出∠3＝∠4的理由是( )
A.同角的补角相等
B．等角的补角相等
C．同角的余角相等
D．等角的余角相等
B
D
8．(5分)如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，
若∠BOD＝76°，则∠BOM等于( )
A.38°
B．104°
C．142°
D．144°
C
9．若互为余角的两个角之差为40°，则较大的角为( )
A．40° B．50° C．65° D．75°
10．如图，直线l1和l2相交于点O，∠MON＝90°，若∠α＝44°，则∠β＝( )
A．50° B．46° C．45° D．44°
C
B
二、填空题(每小题6分，共12分)
11．已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，
则∠β－∠γ的值为____．
12．如图，已知直线AB，CD，MN相交于点O，若∠1＝22°，∠2＝46°，
则∠3的度数为____．
90°
112°
三、解答题(共36分)
13．(10分)如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，∠1∶∠3＝4∶1，
∠2＝30°，求∠AOE，∠DOE的度数．
14．(10分)(平顶山期中)如图，已知∠AOC＝∠BOD＝90°.
(1)若∠DOC＝25°，试求∠AOB的度数；
(2)若∠AOB＝152°，试求∠DOC的度数．
解：(1)∠AOB＝∠AOC＋∠DOB－∠DOC＝90°＋90°－25°＝155°
(2)∠DOC＝∠AOC＋∠DOB－∠AOB＝90°＋90°－152°＝28°
【素养提升】
15．(16分)观察以下图形，寻找对顶角．
(1)图①中共有____对对顶角；
(2)图②中共有____对对顶角；
(3)图③中共有____对对顶角；
(4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为：
若有n(n为大于等于2的整数)条直线相交于一点，则可形成__________对对顶角；
(5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？
2
6
12
n(n－1)
解：(5)当n＝100时，n(n－1)＝100×99＝9 900，
所以若100条直线相交于一点，则可形成9 900对对顶角(共8张PPT)
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第二章 相交线与平行线
4 用尺规作角
1．(5分)下列作图属于尺规作图的是( )
A．用量角器画出∠AOB的平分线OC
B．已知∠α，作∠AOB，使∠AOB＝2∠α
C．用刻度尺画线段AB＝3 cm
D．用三角板过点P作AB的垂线
2．(5分)下列作图语句正确的是( )
A．作射线AB，使AB＝a
B．延长线段AB到点C，使AC＝BC
C．作∠AOB，使∠AOB＝∠α
D．以点O为圆心作弧
B
C
D
4．(6分)如图，已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB，根据图形填空：
作法：(1)作射线____；(2)以点____为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点____，交OB于点____；(3)以点____为圆心，以____的长为半径画弧交O′A′于点____；(4)以点____为圆心，以____长为半径画弧，交前面弧于点D′；(5)过点____作射线_________，____________就是所求作的角．
O′A′
O
C
D
O′
OC
C′
C′
CD
D′
O′B′
∠A′O′B′
5．(9分)如图，打台球时，小球由点A出发撞击到台球桌边CD上点O处，
请用尺规作图的方法作出小球反弹后的运动方向．
解：以点O为顶点，OD为一边在CD的同侧作∠DOB＝∠AOC，
则射线OB为小球反弹后的运动方向，作图略
6．(10分)如图，已知锐角∠α，∠β，求作∠AOB，使∠AOB＝2∠α＋∠β.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：如图
解：如图，∠BCD即为所求作的∠γ
