数学人教A版（2019）必修第二册8.6.1直线与直线垂直（共27张ppt）

(共27张PPT)
8.6.1　直线与直线垂直
【目标认知】
课程标准 学业要求
从直线与直线垂直的定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线垂直的关系 理解异面直线的概念,并能正确画出两条异面直线
知识点一　异面直线所成的角
1.两条直线所成的角的概念
平面内两条直线相交形成4个角,其中　　　　　　的角称为这两条直线所成的角(或夹角),它刻画了一条直线相对于另一条直线　　　　　　　.
当两条直线a,b相互平行时,我们规定它们所成的角为　　　.
不大于90°
倾斜的程度
课 前 预 习
0°
2.异面直线所成角的概念
已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把
　　　　　　　　　　叫作异面直线a与b所成的角(或夹角),如图8-6-1所示.
直线a'与b'所成的角
课 前 预 习
图8-6-1
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在异面直线所成角的定义中,a'与b'所成的角的大小与O的选择有关. (　　)
(2)在空间中,存在两条异面直线所成的角为120°. (　　)
×
课 前 预 习
[解析]a'与b'所成的角的大小只由a,b的相互位置来确定,与O的选择无关.
×
[解析]两条异面直线所成的角α的取值范围是(0°,90°].
2.设异面直线a,b所成的角与异面直线c,b所成的角相等,试判断c,b的位置关系.
课 前 预 习
解:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AA1,BC所成的角与异面直线AA1,CD所成的角相等,此时BC,CD为相交直线;异面直线AA1,BC所成的角与异面直线AA1,B1C1所成的角相等,此时BC,B1C1为平行
直线;异面直线AA1,BC所成的角与异面直线AA1,C1D1所成
的角相等,此时BC,C1D1为异面直线.
知识点二　异面直线互相垂直
1.如果两条异面直线所成的角是　　　　,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.
2.直线a与直线b垂直,记作　　　　.
课 前 预 习
直角
a⊥b
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线BB1与C1D1相互垂直. (　　)
(2)若a,b为两条异面直线,且c⊥a,d⊥b,则c,d不可能是平行直线. (　　)
√
课 前 预 习
[解析]因为BB1∥CC1,所以∠CC1D1为异面直线BB1与C1D1所成角,因为∠CC1D1=90°,所以异面直线BB1与C1D1相互垂直.
×
[解析]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB(a)与DD1(b)为异面直线,BC(c)⊥AB(a),A1D1(d)⊥DD1(b),此时BC(c)∥A1D1(d).
2.讨论垂直于同一条直线的两条直线的位置关系.
课 前 预 习
解:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥AA1,B1C1⊥AA1,
此时BC∥B1C1;
AB⊥AA1,AD⊥AA1,此时AB,AD相交;
AB⊥AA1,A1C1⊥AA1,此时AB,A1C1异面.
综上可知,垂直于同一条直线的两条直线平行、相交或异面.
1.求解异面直线所成角问题的解题思路:
把空间两异面直线所成的角通过平移,转化为平面内相交直线所成的角,再求出该角.
2.两条直线垂直,既包括相交垂直,也包括异面垂直.
3.要证两条异面直线垂直,只需证这两条异面直线所成的角是直角.
备 课 素 材
探究点一　求异面直线所成的角
[探索] (1)异面直线一般依附于某几何体,所以在求异面直线所成的角时,首先应将异面直线平移成相交直线,那么定义中的点O一般如何选取呢
(2)作异面直线所成的角的关键是平移法(作空间平行线),那么推导直线平行的方法有哪些
课 中 探 究
解:(1)定义中的点O常选取代表两异面直线的其中一条的线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点.
(2)推导直线平行的方法有中位线的性质、平行四边形的性质、基本事实4等.
例1 如图8-6-2所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,AD的中点.
(1)求A1C1与B1C所成的角的大小;
课 中 探 究
解:(1)如图所示,连接AC,AB1,由题意知四边形AA1C1C为平行四边形,所以AC∥A1C1,从而
∠B1CA就是A1C1与B1C所成的角.
由AB1=AC=B1C可知∠B1CA=60°,
所以A1C1与B1C所成的角为60°.
图8-6-2
例1 如图8-6-2所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,AD的中点.
(2)求A1C1与EF所成的角的大小.
课 中 探 究
解:(2)连接BD,由AA1∥CC1且AA1=CC1可知四边形A1ACC1是平行四边形,所以AC∥A1C1,则AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.
因为EF是△ABD的中位线,所以EF∥BD.又因为AC⊥BD,所以EF⊥AC,则A1C1与EF所成的角为90°.
图8-6-2
变式如图8-6-3所示,在长方体ABCD-EFGH中,AB=AD=2,AE=2.
(1)求直线BC和EG所成的角;
课 中 探 究
图8-6-3
解:(1)连接AC,易知EG∥AC,∴∠ACB就是直线BC和EG所成的角.在长方体ABCD-EFGH中,
∵AB=AD=2,∴tan∠ACB=1,
∴∠ACB=45°,∴直线BC和EG所成的角是45°.
变式如图8-6-3所示,在长方体ABCD-EFGH中,AB=AD=2,AE=2.
(2)求直线AE和BG所成的角.
课 中 探 究
图8-6-3
解:(2)∵AE∥BF,∴∠FBG就是直线AE和BG所成的角.易知tan∠FBG=,∴∠FBG=60°,
∴直线AE和BG所成的角是60°.
[素养小结]
求两条异面直线所成的角的一般步骤:
(1)构造角:根据异面直线的定义,通过作平行线或平移平行线,作出异面直线所成的角(或其补角).
(2)计算角:一般在三角形中求角的大小.
(3)确定角:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.
课 中 探 究
拓展 在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成的角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的大小.
课 中 探 究
解:如图所示,取AC的中点G,连接EG,FG,则EG∥AB,EG=AB,GF∥CD,
GF=CD,从而可知∠GEF为EF与AB所成的角,∠EGF
或其补角为AB与CD所成角.∵AB与CD所成角为30°,
∴∠EGF=30°或150°.由AB=CD知EG=FG,则△EFG为
等腰三角形,当∠EGF=30°时,∠GEF=75°,当∠EGF=150°时,∠GEF=15°,
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
探究点二　证明空间两条直线垂直
例2如图8-6-4所示,在空间四边形ABCD中,AB,BC,CD的中点分别是P,Q,R,且PQ=2,QR=,PR=3,证明:AC⊥BD.
课 中 探 究
证明:∵P,Q,R分别为AB,BC,CD的中点,∴PQ∥AC,QR∥
BD,∴∠PQR是异面直线AC与BD所成的角或其补角.
∵PQ=2,QR=,PR=3,∴PQ2+QR2=PR2,∴∠PQR=90°,∴异面直线AC与BD所成的角为90°,∴AC⊥BD.
图8-6-4
变式如图8-6-5,在底面为菱形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BD1=4,若∠BAD=60°,求证:B1C⊥AD1.
课 中 探 究
证明:如图所示,连接BD.∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=
60°,AB=4,∴BD=4.又△BDD1为直角三角形,
∴B=BD2+D,∴DD1=4,∴四边形
BCC1B1为正方形.连接BC1,交B1C于点O.
∵BC1∥AD1,∴∠BOC(或其补角)为异面直线B1C与AD1所成的角.∵四边形BCC1B1为正方形,∴∠BOC=90°,∴B1C⊥AD1.
图8-6-5
作异面直线所成的角,主要通过三种平移方法产生:
①直接平移法;
②中位线平移法;
③补形平移法.
求异面直线所成的角的基本步骤:作(找)、证、求、答.
备 课 素 材
[例] 在长方体ABCD -A1B1C1D1中,点P在平面A1B1C1D1内,但不在对角线B1D1上.
(1)过点P在空间作一条直线l,使l∥直线BD,应该如何作图 并说明理由.
备 课 素 材
解:(1)在平面A1C1内过点P作直线l,使l∥B1D1,
则l即为所求作的直线,如图(a).
∵B1D1∥BD,l∥B1D1,
∴l∥直线BD.
[例]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在平面A1B1C1D1内,但不在对角线B1D1上.
(2)过点P在平面A1C1内作一条直线m,使m与直线BD所成的角为α,其中α∈(0,],这样的直线有几条 应该如何作图
备 课 素 材
解:(2)过P作直线m,使m与B1D1所成的角为α,∵BD∥B1D1,
∴直线m与直线BD所成的角为α,即直线m为所求作的直
线,如图(b).由图知m与BD是异面直线,且m与BD所成的角
α∈(0,].当α=时,这样的直线m有且只有一条;当α≠时,这样的直线m有两条.
1.若直线a,b与直线l所成的角相等,则a,b的位置关系是(　　)
A.异面
B.平行
C.相交
D.相交、平行、异面均可能
课 堂 评 价
[解析] 若a∥b,显然直线a,b与直线l所成的角相等;
若a,b相交,则可以有l⊥a,l⊥b,此时直线a,b与直线l所成的角相等;
当直线a,b异面时,同样存在直线l与a,b都垂直,此时直线a,b与直线l所成的角相等.故选D.
D
2.已知空间四边形的两条对角线相互垂直,则顺次连接四边中点的四边形一定是 (　　)
A.空间四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
课 堂 评 价
B
[解析] 如图,易知四边形EFGH为平行四边形.∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF∥AC.同理FG∥BD,∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角.∵AC与BD所成的角为90°,∴∠EFG=90°,故四边形EFGH为矩形.
3.如图8-6-6,在长方体ABCD-A'B'C'D'的各条棱所在直线中.
(1)与直线BA'是异面直线的有　　　条;
(2)与直线AA'垂直的直线有　　　条.
课 堂 评 价
图8-6-6
6
8
[解析] 由异面直线的定义知,与直线BA'异面的直线有B'C',CC',C'D',DD',AD,
CD,共6条.与直线AA'垂直的直线有AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A',共8条.
4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,则异面直线A1B与AC1所成角的余弦值是　　　　.
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[解析]连接AB1,交A1B于点D,取B1C1的中点E,连接DE,A1E,则DE∥AC1,∴∠A1DE或其补角为异面直线A1B与AC1所成角.
在Rt△A1C1E中,A1C1=1,C1E=C1B1=,∴A1E=.又易得A1D=,
DE=,∴cos∠A1DE==,∴异面直线A1B与
AC1所成角的余弦值是.
5.如图8-6-7,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1和B1C1的中点,求异面直线AE与CF所成角的余弦值.
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图8-6-7
解:如图所示,连接BF,EF.由题意可知四边形ABFE为矩形,则BF∥AE,所以∠BFC是异面直线AE与CF所成的角(或所成角的补角).设正方体ABCD-A1B1C1D1
的棱长为2,则BF=CF==,
所以cos∠BFC==,
即异面直线AE与CF所成角的余弦值为.