解析大题模板题型（含解析）
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解析大题模板题型
1．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）如图，为抛物线的焦点，直线与抛物线交于、两点，中点为，当，时，到轴的距离与到点距离相等.
(1)求的值；
(2)若存在正实数，使得以为直径的圆经过点，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：当，时，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，所以，，，
即点，由已知可得，解得.
(2)解：因为存在正实数，使得以为直径的圆经过点，且，
联立可得，
，可得，
由韦达定理可得，，
易得，，同理可得，
因为，
所以，
所以，
化简得，
令，则函数的对称轴为直线，
若方程有正根，则，又因为，解得.
2．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知椭圆右焦点为，椭圆的左焦点为F，点A为椭圆E上一动点（不在x轴上），点B为线段与椭圆C的公共点（且B靠近点A）．
(1)若点F恰为椭圆C的左顶点，求椭圆E的方程；
(2)令面积的最大值为，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：点F恰为椭圆C的左顶点，椭圆C方程为，
左顶点坐标为，为椭圆E的左焦点，
，即为，
所以，
所以椭圆E的方程为；
(2)如图所示：
设的方程为，联立，
得，
设，
则，
所以，
同理得，
点到的距离为，
所以，
，
，
由椭圆几何性质知：当时，，
即，
则，
所以在上递增，
所以.
3．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，
(1)求圆心的轨迹方程
(2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)因为圆C与圆A、圆B外切，
设C点坐标，圆C半径为，
则，，
所以<4，
所以点C的轨迹是双曲线的一支，
又，，，
所以其轨迹方程为；
(2)设直线为，
联立，消去y得：，
所以，
设MN中点坐标为G，则，
所以，
，
直线GP的方程为:，
，所以，所以=1.
4．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知椭圆）的左焦点为F，其离心率，过点F垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的下顶点为B，过点D（2，0）的直线l与椭圆相交于两个不同的点M，N，直线BM，BN的斜率分别为，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
由题可知，解得.
所以椭圆的方程为：.
(2)由题可知，直线的斜率存在，则设直线的方程为，，.
由题可知，整理得
，解得.
由韦达定理可得，.
由(1)知，点设椭圆上顶点为，，且，
∴
∴的取值范围为．
5．（2022·天津·耀华中学一模）已知椭圆的右顶点，且点在椭圆上，，分别是椭圆的左右焦点，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于点.
(1)求椭圆的标准方程；(2)若，求的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由题可得，解得，
所以椭圆的标准方程为；
(2)由题可设，
由，可得，
∴，即，
所以，即，
当轴时，则，，，
此时，，不合题意，
当与不垂直时，，
∴，
由上可得，所以，
解得，又，
所以，综上，的值为.
6．（2022·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，分别为等轴双曲线的左、右焦点，若点A为双曲线右支上一点，且，直线交双曲线于B点，点D为线段的中点，延长AD，BD，分别与双曲线交于P，Q两点．
(1)若，求证：；
(2)若直线AB，PQ的斜率都存在，且依次设为，试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理出．
【答案】(1)证明见解析；(2)定值，7.
【解析】
(1)由等轴双曲线知离心率，，及，
可得，所以双曲线方程为，.
当直线的斜率不存在时，，，
直线的斜率存在时，，，整理得，
综上所述，成立；
(2)依题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
代入双曲线并化简得：，①
由于，则代入①并化简得：，
设，则，解得，
代入，得，即，同理可得，
所以，
所以是定值.
7．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆：的离心率为，直线交椭圆的弦长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)经过定点的直线交椭圆于两点，椭圆的右顶点为，设直线，的斜率分别为，，求证：恒为定值.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】
(1)∵，则，，∴即为：
把代入整理得：，则，
这时，，∴
∴所求的方程为：
(2)由题意可知，直线斜率存在.
设：即代入椭圆方程整理得：
∴，又
，同理
∴
8．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，连结PF1，PF2并延长，分别交椭圆于点A，B．已知APF2的周长为，F1PF2面积最大值为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当P不是椭圆的顶点时，试分析直线OP和直线AB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)(2)是定值；
【解析】(1)解：如图所示：
由题意得，解得，所以椭圆的方程为
(2)设直线的方程为，
由得，
，即，
，
，
，同理可得，
，
为定值
9．（2022·天津南开·三模）已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点，动点A，B（不与点M重合）均在椭圆上，且直线与的斜率之和为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明直线经过定点，并求这个定点的坐标．
【答案】(1)(2)证明见解析；定点
【解析】(1)解：设椭圆，
由离心率为，得，
又因为，
所以．
由在椭圆上可得，
解得，．
所以椭圆的方程为．
(2)当直线与x轴垂直时，设，则．
由题意得：，即．所以直线的方程为．
当直线不与x轴垂直时，可设直线为，，，
将代入得，
所以，．
由已知可得①，
将和代入①，
并整理得②，
将，代入②，
并整理得，可得，
因为直线不经过点，
所以，故．
所以直线的方程为，经过定点．
综上所述，直线经过定点．
10．（2022·山东潍坊·三模）已知为坐标原点，定点，是圆内一动点，圆与以线段为直径的圆内切．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若直线与动点的轨迹交于，两点，以坐标原点为圆心，1为半径的圆与直线相切，求△面积的最大值．
【答案】(1)且；(2).
【解析】(1)令，又在圆内，且圆与以线段为直径的圆内切，
所以线段为直径的圆心为，则，
整理有，则，
所以，又是圆内一动点，故，
故的轨迹方程为且.
(2)由题意知：到直线的距离为1，要使△面积最大，只需最大，
若直线斜率不存在时，直线，此时为或，
所以，则△面积为；
若直线斜率存在时，令直线，而，即，
联立直线与的轨迹，，整理有，
则，，
所以，
则，
令，则，而，
所以，此时△最大面积为；
综上，△最大面积为.
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解析大题模板题型
1．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）如图，为抛物线的焦点，直线与抛物线交于、两点，中点为，当，时，到轴的距离与到点距离相等.
(1)求的值；
(2)若存在正实数，使得以为直径的圆经过点，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：当，时，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，所以，，，
即点，由已知可得，解得.
(2)解：因为存在正实数，使得以为直径的圆经过点，且，
联立可得，
，可得，
由韦达定理可得，，
易得，，同理可得，
因为，
所以，
所以，
化简得，
令，则函数的对称轴为直线，
若方程有正根，则，又因为，解得.
2．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知椭圆右焦点为，椭圆的左焦点为F，点A为椭圆E上一动点（不在x轴上），点B为线段与椭圆C的公共点（且B靠近点A）．
(1)若点F恰为椭圆C的左顶点，求椭圆E的方程；
(2)令面积的最大值为，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：点F恰为椭圆C的左顶点，椭圆C方程为，
左顶点坐标为，为椭圆E的左焦点，
，即为，
所以，
所以椭圆E的方程为；
(2)如图所示：
设的方程为，联立，
得，
设，
则，
所以，
同理得，
点到的距离为，
所以，
，
，
由椭圆几何性质知：当时，，
即，
则，
所以在上递增，
所以.
3．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，
(1)求圆心的轨迹方程
(2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)因为圆C与圆A、圆B外切，
设C点坐标，圆C半径为，
则，，
所以<4，
所以点C的轨迹是双曲线的一支，
又，，，
所以其轨迹方程为；
(2)设直线为，
联立，消去y得：，
所以，
设MN中点坐标为G，则，
所以，
，
直线GP的方程为:，
，所以，所以=1.
4．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知椭圆）的左焦点为F，其离心率，过点F垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的下顶点为B，过点D（2，0）的直线l与椭圆相交于两个不同的点M，N，直线BM，BN的斜率分别为，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
由题可知，解得.
所以椭圆的方程为：.
(2)由题可知，直线的斜率存在，则设直线的方程为，，.
由题可知，整理得
，解得.
由韦达定理可得，.
由(1)知，点设椭圆上顶点为，，且，
∴
∴的取值范围为．
5．（2022·天津·耀华中学一模）已知椭圆的右顶点，且点在椭圆上，，分别是椭圆的左右焦点，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于点.
(1)求椭圆的标准方程；(2)若，求的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由题可得，解得，
所以椭圆的标准方程为；
(2)由题可设，
由，可得，
∴，即，
所以，即，
当轴时，则，，，
此时，，不合题意，
当与不垂直时，，
∴，
由上可得，所以，
解得，又，
所以，综上，的值为.
6．（2022·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，分别为等轴双曲线的左、右焦点，若点A为双曲线右支上一点，且，直线交双曲线于B点，点D为线段的中点，延长AD，BD，分别与双曲线交于P，Q两点．
(1)若，求证：；
(2)若直线AB，PQ的斜率都存在，且依次设为，试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理出．
【答案】(1)证明见解析；(2)定值，7.
【解析】
(1)由等轴双曲线知离心率，，及，
可得，所以双曲线方程为，.
当直线的斜率不存在时，，，
直线的斜率存在时，，，整理得，
综上所述，成立；
(2)依题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
代入双曲线并化简得：，①
由于，则代入①并化简得：，
设，则，解得，
代入，得，即，同理可得，
所以，
所以是定值.
7．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆：的离心率为，直线交椭圆的弦长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)经过定点的直线交椭圆于两点，椭圆的右顶点为，设直线，的斜率分别为，，求证：恒为定值.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】
(1)∵，则，，∴即为：
把代入整理得：，则，
这时，，∴
∴所求的方程为：
(2)由题意可知，直线斜率存在.
设：即代入椭圆方程整理得：
∴，又
，同理
∴
8．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，连结PF1，PF2并延长，分别交椭圆于点A，B．已知APF2的周长为，F1PF2面积最大值为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当P不是椭圆的顶点时，试分析直线OP和直线AB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)(2)是定值；
【解析】(1)解：如图所示：
由题意得，解得，所以椭圆的方程为
(2)设直线的方程为，
由得，
，即，
，
，
，同理可得，
，
为定值
9．（2022·天津南开·三模）已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点，动点A，B（不与点M重合）均在椭圆上，且直线与的斜率之和为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明直线经过定点，并求这个定点的坐标．
【答案】(1)(2)证明见解析；定点
【解析】(1)解：设椭圆，
由离心率为，得，
又因为，
所以．
由在椭圆上可得，
解得，．
所以椭圆的方程为．
(2)当直线与x轴垂直时，设，则．
由题意得：，即．所以直线的方程为．
当直线不与x轴垂直时，可设直线为，，，
将代入得，
所以，．
由已知可得①，
将和代入①，
并整理得②，
将，代入②，
并整理得，可得，
因为直线不经过点，
所以，故．
所以直线的方程为，经过定点．
综上所述，直线经过定点．
10．（2022·山东潍坊·三模）已知为坐标原点，定点，是圆内一动点，圆与以线段为直径的圆内切．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若直线与动点的轨迹交于，两点，以坐标原点为圆心，1为半径的圆与直线相切，求△面积的最大值．
【答案】(1)且；(2).
【解析】(1)令，又在圆内，且圆与以线段为直径的圆内切，
所以线段为直径的圆心为，则，
整理有，则，
所以，又是圆内一动点，故，
故的轨迹方程为且.
(2)由题意知：到直线的距离为1，要使△面积最大，只需最大，
若直线斜率不存在时，直线，此时为或，
所以，则△面积为；
若直线斜率存在时，令直线，而，即，
联立直线与的轨迹，，整理有，
则，，
所以，
则，
令，则，而，
所以，此时△最大面积为；
综上，△最大面积为.
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