冀教版七年级下册数学 11.1因式分解 教案

11.1因式分解
教材分析：本节课是在学习了第八章《整式的乘法》基础上，对因式分解进行的学习探究，因式分解是整式乘法的逆向运算，是代数式的一种重要恒等变形，它与整式乘法运算有着密切的联系。通过本节课的学习，不仅使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为继续学习因式分解做好了充分的准备，同时学习因式分解对学生的逆向思维能力的培养起到一定的作用。因此本节课起到承上启下的作用，为后面学习因式分解的方法和八年级分式的学习作铺垫。
教学目标：
知识与技能目标
1.理解因式分解的概念。
2.了解多项式的因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法之间的区别和联系。
3.感受因式分解在解决相关问题中的作用。
过程与方法目标
1．经历因式分解的过程，发展和培养观察分析和应用的能力.
2．经历探索因式分解与整式乘法之间的关系，形成逆向思维能力.
情感态度与价值观
培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。
教学重点：因式分解的概念。
教学难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系及灵活运用提公因式法分解因式。
教学策略：运用尝试教学法教学，学生自主探究与小组合作交流、归纳的学习模式。
教学准备：课件
教学课时：1课时
教学过程：
一、回顾旧知 导入新课
（一）复习回顾
1．整式乘法有几种形式？
（1）单项式乘以单项式
（2）单项式乘以多项式：a（m＋n）=am＋an
（3）多项式乘以多项式：（a＋b）（m＋n）=am＋an＋bm＋bn
2．乘法公式有哪些？
（1）平方差公式：
（2）完全平方公式：
（二）导入新知
近年来，我国土地沙漠化问题严重，有3队青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植物造林活动。每队都种树37行，其中一队种树102列，二队种树93列，三队种树105列，完成这次植树活动共需要多少棵树苗？
3．试计算
（1）3a（a－2b＋c） （2）（a＋3）（a－3）
（3） （4）
列式：37×102+37×93+37×105
=37×(102+93+105)
=37×300=11100(棵)
37×102＋37×93＋37×105=37×(102+93+105)
↓
m·a+m·b+m·c= m(a+b+c)
二、探究新知
探究1 因式分解的定义
观察下面计算2 0112－2 011×2 010和372－362的过程，哪种更简便
小明的方法 小亮的方法
2 0112－2 011×2 010 2 0112－2 011×2 010
=4 044 121－4 042 110 =2 011×(2011－2 010)
=2011. =2011.
小明的方法 小亮的方法
372－362 372－362
=1 369－1 296 = (37＋36)×(37－36)
=73. =73
小亮的方法是运用了乘法对加法的分配律以及平方差公式，运算较简单.
现在，我们来探究多项式的因式分解问题.
由整式的乘法运算，我们知道：
x(x－2)=x2－2x， (x＋y)(x－y)=x2－y2，
(x＋1) 2=x2＋2x＋1.
反过来，可以把这些多项式写成整式乘积的形式：
x2－2x=x(x－2)， x2－y2=(x＋y)(x－y) ，
x2＋2x＋1= (x＋1)2.
归纳：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做将多项式分解因式.其中每个整式都叫做这个多项式的因式.
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(　　)
A．＋1＝a〔a+〕　　　　
B．(x＋1)(x－1)＝－1
C．＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．y＋x＝xy(x＋y)
分析：紧扣因式分解的定义进行判断，因为a〔a+〕不是整式，所以 ＋1＝a〔a+〕不是因式分解，故A错误；
因为(x＋1)(x－1)＝－1不是和差化积，因此不是因式分解，而是整式乘法，B错误；
因为＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1结果不是积的形式，因此不是因式分解，C错误；
因为y＋x＝xy(x＋y)符合因式分解的概念，因此是因式分解，D正确．
总结：因式分解的结果应该是整式的积，否则就不是因式分解．
三、尝试练习一（小试身手）
1．下列各式中，从等号左边到右边的变形，哪些是因式分解？
(1) (m＋n)(m－n)=－ ；
(2) －=(m＋n)(m－n)
(3) 5a＋10b=5(a＋2b)；
(4) －2x＋1=x(x－2)＋1.
2.对下列各式所进行的因式分解正确吗？如果不正确，请改正过来.
(1) ab－b=b(a－1);
(2) －10x－10=－10(x－ 1);
(3) 3x＋3y=3(x＋y);
(4) ＋4m＋4＝＋4 (m＋1).
3.下列式子从左到右的变形是因式分解的是(　　)
A．＋4a－21＝a(a＋4)－21
B．＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
C．(a－3)(a＋7)＝＋4a－21
D．＋4a－21＝－25
4.下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是(　　)
A．a(m＋n)＝am＋an
B．－－＝(a－b)(a＋b)－
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
探究2 因式分解与整式乘法的关系
1. 多项式相乘的结果是什么？
2. 一个多项式进行因式分解的结果是什么？
多项式的因式分解与乘法运箅是不同的.多项式的因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积，而多项式的乘法运算是把几个整式的乘积化成一个多项式.
多项式的因式分解与多项式的乘法运算是相反的变形过程.
乘法运算 (x＋y)(x－y)=x2－y2
多项式x＋y与x－y的乘积为x2－y2
因式分解 x2－y2=(x＋y)(x－y)
多项式x2－y2分解为x＋y与x－y的乘积
归纳：整式乘法与因式分解的关系：整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形．
例2 对下列各式所进行的因式分解正确的是(　　)
A．3x2－6xy－3x＝3x(x－2y)
B．ab－a－b＋1＝(a＋1)(b－1)
C．2x2－5xy－3＝(2x－y)(x＋3y)
D．－4＝(a＋2)(a－2)
分析：检验因式分解是否正确，只要看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等．A中，∵3x(x－2y)＝3x2－6xy≠3x2－6xy－3x，∴A不正确；
B中，∵(a＋1)(b－1)＝ab－a＋b－1≠ab－a－b＋1，∴B不正确；
C中，∵(2x－y)(x＋3y)＝2x2＋5xy－3y2≠2x2－5xy－3y2，∴C不正确；
D中，∵(a＋2)(a－2)＝a2－4，∴D正确.
总结：因式分解的检验方法是利用整式乘法将因式的乘积化为多项式的形式，看与分解前的多项式是否相等．
四、尝试练习二（再试身手）
1.请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里：
(1) 2x＋4 = 2( )；
(2) x－xy=x( )；
(3) 16x2－1 = (4x＋1)( )；
(4) ＋6a＋9=(a＋3)( ).
2.请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里：
(1) 2R－2r= 2( )；
(2) 3mn－6nx=( )(m－2x)；
(3) 3ax＋3ay=3a( )；
(4) 10ax－15xy＋5x=5x( )
五、当堂检测（谁是高手）
1.因为(a－2)2＝a2－4a＋4，所以a2－4a＋4可因式分解为____________．
2.若x2＋3x＋m＝(x＋1)(x＋2)，则m的值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3.一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那么这个多项式是(　　)
A．－4 B．4－
C．＋4 D．－－4
4.下列因式分解正确的是(　　)
A．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
B．(x2－4)x＝－4x
C．ax＋bx＝(a＋b)x　　　
D．－2mn＋＝
5.把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是(　　)
A．a＝2，b＝3 B．a＝－2，b＝－3
C．a＝－2，b＝3 D．a＝2，b＝－3
六、课堂小结
回顾整节课，说说自己学会了什么？（还有疑问的课下小组讨论解决）
知识点 关键总结 注意事项
因式分解 将一个多项式化成几个整式乘积的形式 左边必须是一个多项式，右边必须是几个整式的乘积
因式分解与整式乘法 因式分解与整式乘法互为相反的变形 正确理解二者的区别与联系
本节主要内容是因式分解的定义及判断一个变形是否是因式分解，一是看结果是否是积的形式，二是要看积中的每个因式是否都是整式.根据因式分解的意义，我们知道因式分解与整式乘法互为逆过程，因此，把分解后的因式展开后，一定会和原来的多项式相等，在解题时，往往要用到这一点.
7、板书设计：
11.1因式分解
因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做将多项式分解因式。
因式分解与整式乘法的关系：相反的变形过程
学生板演（练习）