8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
人教A版2019高中数学必修第二册
8.3 简单几何体的表面积与体积
前面我们认识了基本立体图形的结构特征，本节课进一步学习简单几何体的表面积和体积．表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小．
例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
B
C
A
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
因此，四面体P-ABC的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积
变式 已知一个正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，底面的边长为6，求它的表面积.
A
C
B
P
D
E
解：如图示，正四棱锥P-ABCD中，PA=5，AB=6.
因此，正四棱锥P-ABCD的表面积为
AE=3，
过点P作PE⊥AB，垂直为E，则
练习
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1. 正六棱台的上，下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积.
解：如图示，AB=6cm，A′B′=2cm，AA′=5cm.
因此，正六棱台的表面积为
A
D
B
C
F
E
A'
D'
B'
C'
F'
E'
教材116页
我们以前已经学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式，它们分别是：
Ｖ正方体＝a3（a是正方体的棱长）
Ｖ长方体＝abc（a，b，c分别是长方体的长、宽、高）
2. 棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.
　　一般地，如果棱柱的底面面积为S，高为h，那么这个棱柱的体积
特别的，直棱柱的侧棱垂直于底面，故侧棱长即为直棱柱的高.
　　如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．
　　因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.
　　因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积
棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.
　　由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式
其中S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高.




(S′, S, h分别是棱台的上下底面积和高)
A
D
B
C
A′
B′
C′
D′
O
O′
P
棱台体积公式的证明
棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？












3. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的. 如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少？
解：
如图示，由题意知正方体的棱长为0.5m，则有
B
C
A'
B'
C'
D'
A
D
E
F
G
∴这个石凳的体积为
练习
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教材116页
课堂小结
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
B
C
A
P
练习
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教材116页
2. 如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小立方体.
(1) 共得到多少个棱长为1cm的小立方体？
(2) 三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？
(3) 两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？
(4) 一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？
(5) 六面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它们占有多少立方厘米的空间？
解：
(1) 共有64个棱长为1cm的小立方体.
(2) 三面是红色的小立方体有8个, 表面积之和是48cm2.
练习
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教材116页
2. 如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小立方体.
(3) 两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？
(4) 一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？
(5) 六面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它们占有多少立方厘米的空间？
解：
(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
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教材116页
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
解：
如图示，直三棱柱ABC-A′B′C′中，设底面ABC的三边分别为a,b,c，棱柱的高为h，则有
A
C
B
A′
C′
B′
a
h
c
b
∴直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.