第2课时 共线向量与共面向量
学习目标 1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面．
知识点一 共线向量
1．空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
2．直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
思考1 对于空间向量a，b，c，若a∥b且b∥c， 是否可以得到a∥c
答案 不能．若b＝0，则对任意向量a，c都有a∥b且b∥c.
思考2 怎样利用向量共线证明A，B，C三点共线？
答案 只需证明向量，(不唯一)共线即可．
知识点二 共面向量
1．共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
2．向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
思考 已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，存在有序实数对(x，y)，满足关系＝＋x＋y，则点P与点A，B，C是否共面？
答案 共面. 由＝＋x＋y，可得＝x＋y，所以向量与向量，共面，故点P与点A，B，C共面．
1．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．( × )
2．若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．( × )
3．空间中任意三个向量一定是共面向量．( × )
4．若P，M，A，B共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝x＋y.( × )
一、向量共线的判定及应用
例1 如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．
证明 ∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝，＝，
则＝－＝－＝
＝(－)＝＝(－)＝，
∴∥且||＝||≠||.
又F不在直线EH上，
∴四边形EFGH是梯形．
反思感悟 向量共线的判定及应用
(1)本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别．
(2)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．
(3)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ；
跟踪训练1 (1)已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若＝m＋n，则m＋n＝________.
答案 1
解析 由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即－＝λ(－)，
所以＝(1－λ)＋λ，所以m＝1－λ，n＝λ，
所以m＋n＝1.
(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.
求证：E，F，B三点共线．
证明 设＝a，＝b，＝c，
因为＝2，＝，
所以＝，＝，
所以＝＝b，
＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c，
所以＝－
＝a－b－c＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以＝，所以E，F，B三点共线．
二、向量共面的判定
例2 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足＝＋＋.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断M是否在平面ABC内．
解 (1)∵＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)，
∴＝＋＝－－，
∴向量，，共面．
(2)由(1)知，向量，，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，
∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．
反思感悟 解决向量共面的策略
(1)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．
跟踪训练2 (1)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面．
证明 因为M在BD上，且BM＝BD，
所以＝＝＋.
同理＝＋.
所以＝＋＋
＝＋＋
＝＋＝＋.
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．
(2)已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：
①E，F，G，H四点共面．
②BD∥平面EFGH.
证明 如图，连接EG，BG.
①因为＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由向量共面的充要条件知向量，，共面，即E，F，G，H四点共面．
②因为＝－＝－＝，所以EH∥BD.
又EH 平面EFGH，BD 平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.
空间共线向量定理的应用
典例 如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，且它们所在的平面不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CE∥MN.
证明 ∵M，N分别是AC，BF的中点，
又四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋＝＋＋，
又∵＝＋＋＋
＝－＋－－，
∴＋＋＝－＋－－，
∴＝＋2＋＝2(＋＋)，
∴＝2，∴∥.
∵点C不在MN上，∴CE∥MN.
[素养提升] 证明空间图形中的两直线平行，可以转化为证明两直线的方向向量共线问题．这里关键是利用向量的线性运算，从而确定＝λ中的λ的值．
1．满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是( )
A.＋＝ B.－＝
C.＝ D．||＝||
答案 C
2．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则( )
A．P∈直线AB
B．P 直线AB
C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D．以上都不对
答案 A
解析 因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以＝(1－n)·＋n，即－＝n(－)，即＝n，所以与共线．
又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.
3．下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A.＝2－－
B.＝＋＋
C.＋＋＝0
D.＋＋＋＝0
答案 C
解析 C选项中，＝－－，
∴点M，A，B，C共面．
4．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为( )
A．1 B．0 C．3 D.
答案 D
解析 ∵＝x＋＋，
且M，A，B，C四点共面，
∴x＋＋＝1，∴x＝，故选D.
5．已知非零向量e1，e2不共线，则使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是________．
答案 ±1
解析 若ke1＋e2与e1＋ke2共线，
则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
所以
所以k＝±1.
1．知识清单：
(1)空间向量共线的充要条件，直线的方向向量．
(2)空间向量共面的充要条件．
2．方法归纳 ：转化化归．
3．常见误区：
混淆向量共线与线段共线、点共线．
1．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
答案 A
解析 因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，故∥，又与有公共点A，
所以A，B，D三点共线．
2．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是( )
A．共面向量 B．共线向量
C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量
答案 A
3．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，是( )
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量
答案 C
解析 因为－＝，且＝，
所以－＝，
即＝＋.
又与不共线，
所以，，三个向量共面．
4．已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋，则实数x的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案 A
解析 ＝－x＋＝－x＋(－)＝－x－.
又∵P是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，
∴－x－＝1，解得x＝.
5．(多选)下列命题中错误的是( )
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0
B．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
C．若，共线，则AB∥CD
D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
答案 BCD
解析 显然A正确；
若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a| －|b||，故B错误；
若，共线，则直线AB，CD可能重合，故C错误；
只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故D错误．
6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________.
答案
解析 ＝－＝－＝－(－)＝＋，
又＝＋λ，所以λ＝.
7．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________.
答案 1
解析 ∵＝＋＋＝7e1＋(k＋6)e2，
且与共线，故＝x，
即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2，
故(7－x)e1＋(k＋6－xk)e2＝0，
又∵e1，e2不共线，
∴解得故k的值为1.
8．已知O为空间任一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z＝________.
答案 －1
解析 由题意知A，B，C，D共面的充要条件是：对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得＝x1＋y1＋z1，且x1＋y1＋z1＝1，因此，2x＋3y＋4z＝－1.
9.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝FC1，判断与是否共线．
解 由题意，得＝＋＋
＝＋＋＝＋＋
＝＋＝＝－.
即＝－，∴与共线．
10．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：与，共面．
证明 ∵＝－，＝＋＝－，＝＝(＋)，
∴＝－＝(＋)－＝(－)＋
＝＋，
∴与，共面．
11．若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 C
解析 若α＋β＝1，则－＝β(－)，即＝β，显然，A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有＝λ，故－＝λ(－)，整理得＝(1＋λ)－λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.
12．平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，则x＋3y等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由点A，B，C，D共面得x＋y＝，
又由点B，C，D，E共面得2x＋y＝，
联立方程组解得x＝，y＝，
所以x＋3y＝.
13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么M必( )
A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D内
C．在平面BA1D1内 D．在平面AB1C1内
答案 C
解析 ＝＋7＋6－4
＝＋＋6－4
＝＋＋6－4
＝＋6(－)－4(－)
＝11－6－4，
于是M，B，A1，D1四点共面．
14．有下列命题：
①若∥，则A，B，C，D四点共线；
②若∥，则A，B，C三点共线；
③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b；
④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.
其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．
答案 ②③④
解析 根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；
因为∥且，有公共点A，所以②正确；
由于a＝4e1－e2＝－4b，所以a∥b.故③正确；易知④也正确．
15．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.
答案
解析 根据P，A，B，C四点共面的条件，知存在实数x，y，z，使得＝x＋y＋z成立，其中x＋y＋z＝1，于是＋＋λ＝1，所以λ＝.
16.如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.
求证：B，G，N三点共线．
证明 设＝a，＝b，＝c，
则＝＋×(＋)
＝＋(＋)
＝＋(－＋－)
＝(＋＋)
＝(a＋b＋c)，
＝＋＝＋
＝－a＋(a＋b＋c)
＝－a＋b＋c，
＝＋＝＋(＋)
＝－a＋b＋c＝，
∴∥.
又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线．§1.1 空间向量及其运算
1．1.1 空间向量及其线性运算
第1课时 空间向量及其线性运算
学习目标 1.理解空间向量的有关概念.2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律．
知识点一 空间向量的概念
1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
2．长度或模：向量的大小．
3．表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||.
4．几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量称为单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a
共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
思考 空间中的两个向量是不是共面向量？
答案 是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．
知识点二 空间向量的线性运算
空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝
减法 a－b＝－＝
数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0
运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
思考1 怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？
答案 可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．
思考2 由数乘λa＝0，可否得出λ＝0
答案 不能．λa＝0 λ＝0或a＝0.
1．两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( × )
2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( √ )
3．空间两非零向量相加时，一定可以用平行四边形法则运算．( × )
4．向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上．( √ )
一、向量概念的应用
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量，满足||＞||，则＞
D．相等向量其方向必相同
答案 D
解析 A中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B中，单位向量模都相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D.
(2)(多选)下列说法中正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．空间向量的加法满足结合律
D．任一向量与它的相反向量不相等
答案 BC
解析 |a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；空间向量的加法满足结合律，C正确；零向量的相反向量仍是零向量．故选BC.
反思感悟 空间向量的概念问题
在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．
跟踪训练1 下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________．
①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
②平行且模相等的两个向量是相等向量；
③若a≠b，则|a|≠|b|；
④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
答案 ①
解析 根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关，④不正确．综上可知只有①正确．
二、空间向量的加减运算
例2 如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)－；
(2)＋＋.
解 (1)－＝－＝＋＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＋
＝＋＝.
向量，如图所示．
延伸探究
试把本例中的体对角线所对应向量用向量，，表示．
解 在平行四边形ACC′A′中，由平行四边形法则可得＝＋，
在平行四边形ABCD中，
由平行四边形法则可得＝＋.
故＝＋＋.
反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
跟踪训练2 (多选)如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是( )
A.－－
B.＋－
C.－－
D.－＋
答案 AB
解析 A中，－－＝－＝；
B中，＋－＝＋＝；
C中，－－＝－＝－＝≠；
D中，－＋＝＋＋＝＋≠.故选AB.
三、空间向量的线性运算
例3 在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式．
(1)＋＋；
(2)(＋－)．
解 (1)因为G是△BCD的重心，所以||＝||，
所以＝，又因为＝，
所以由向量的加法法则，可知＋＋＝＋＋＝＋＝.
从而＋＋＝.
(2)如图所示，分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，
则四边形APHQ为平行四边形，且有＝，＝，而＋＝，＝，
所以(＋－)＝＋－＝－＝.
反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的注意点
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题．
跟踪训练3 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c
B.a＋b＋c
C.a－b＋c
D．－a－b＋c
答案 A
解析 ＝＋＝＋(＋)
＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.
1．“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 B
2．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )
A．a＝b B．a＋b为实数0
C．a与b方向相同 D．|a|＝3
答案 D
解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反，故选D.
3．设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是( )
A.＋＝ B.＋＋＝0
C.－＝ D.＝－
答案 B
4．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
答案 A
解析 ∵＋＝＋，
∴＝.
∴∥且||＝||.
∴四边形ABCD为平行四边形．
5．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________.
答案 3a－2b
1．知识清单：
(1)向量的概念．
(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)．
(3)向量的线性运算的运算律．
2．方法归纳：
三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想．
3．常见误区：对空间向量的理解
应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数．
1．(多选)下列说法中，正确的是( )
A．模为0是一个向量方向不确定的充要条件
B．若向量，满足||＝||，与同向，则＞
C．若两个非零向量，满足＋＝0，则，互为相反向量
D.＝的充要条件是A与C重合，B与D重合
答案 AC
解析 A正确，模不为0的向量方向是确定的．
B错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．
C正确，由＋＝0，得＝－，所以，互为相反向量．
D错误，＝的充要条件是||＝||，且，同向．但A与C，B与D不一定重合．
2．化简－＋所得的结果是( )
A. B.
C．0 D.
答案 C
解析 －＋＝＋＝－＝0，故选C.
3．在空间四边形OABC中，＋－等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
4．在正方体ABCD －A1B1C1D1中，下列选项中化简后为零向量的是( )
A.＋＋ B.－＋
C.＋＋ D.＋
答案 A
解析 在A选项中，＋＋＝(＋)＋＝＋＝0.
5．如果向量，，满足||＝||＋||，则( )
A.＝＋ B.＝－－
C.与同向 D.与同向
答案 D
6．设A，B，C，D为空间任意四点，则－＋＝________.
答案
解析 －＋＝＋＋＝.
7．在正方体ABCD －A1B1C1D1中，化简－＋－的结果是________．
答案 2
解析 －＋－＝＋＋－＝＋＝2.
8．已知向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________.
答案 2
9.如图所示的是平行六面体ABCD －A1B1C1D1，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)－＋.
解 (1)＋＋＝＋＝.
(2)－＋＝－＋＝＋＝.
10．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简：＋＋，＋＋，并标出化简结果的向量．
解 ＋＋＝＋＝.
因为E，F，G分别为BC，CD，DB的中点，
所以＝，＝.
所以＋＋＝＋＋＝.
故所求向量为，，如图所示．
11．已知空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－等于( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 方法一 ＋－＝(＋)－＝－＝.
方法二 ＋－＝＋(－)＝＋＝.
12．在三棱锥A－BCD 中，E是棱CD的中点，且＝，则 等于( )
A. ＋－
B. ＋－
C．－5＋3＋3
D.＋＋
答案 D
解析 因为 E 是棱 CD 的中点，＝，
所以 ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋
＝(＋)＋＝＋＋.
13．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝________.
答案 －c－a＋b
解析 如图，
＝－
＝－＝－－(－)
＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.
14．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简－－＝________.
(2)用，，表示，则＝________.
答案 (1) (2)＋＋
解析 (1)－－＝－(＋)＝－＝＋＝.
(2)因为＝＝(＋)，
所以＝＋＝(＋)＋＝＋＋.
15．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若＝x＋＋，则x＋y＋z＝________.
答案 6
解析 在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，＝＋＋，
又＝x＋＋，
∴∴
∴x＋y＋z＝6.
16.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；
(2)；
(3).
解 (1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＋＝a＋b＋c.
