8.4.1平面课件——2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册(共22张PPT)

(共22张PPT)
8.4.1 平面
人教A版2019高中数学必修第二册
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
　　在学习棱柱、棱锥、棱台等多面体的过程中，我们知道顶点、棱、平面多边形等是构成这些多面体的基本元素，我们以直观感知的方式认识了这些元素之间的相互关系，从而得到了这些多面体的一些结构特征．为了进一步认识立体图形的结构特征，需要对点、直线、平面之间的位置关系进行研究.我们先从认识点、直线、平面这些基本元素开始．
构成立体图形的基本元素：____________________
点、线、面
点
线
面
点无大小
线无粗细
面无厚薄
记为：A，B，C，D…
A
B
a
直线AB
直线a
复习回顾
一、平面的含义
下图中的桌面、黑板面、平静的水面给我们以什么样的直观感觉？
几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.
平面
类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周___________的.
无限延展　
①平
1.平面的特征：
②无厚薄
③无限延展的
2.平面的画法：
3.平面的表示：
①用希腊字母表示：α、β、γ等
平面α、平面β、平面γ等,
（并写在平行四边形一个角内）.
②用大写英文字母表示：平面ABCD、平面AC.
①水平放置：
②竖直放置：
A
B
C
D
α
β
一、平面的含义
二、平面的基本性质
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
也可以简单说成:
“不共线的三点确定一个平面”.
不在一条直线上三个点A,B,C所确定平面，可记为平面ABC.
基本事实1给出了
确定一个平面的依据
α
A
B
C
图形语言：
要使一辆自行车停放在光滑的地面上，需要几个支撑点？
思考： 两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面呢？
元素
点的集合
点的集合
可以用集合语言表述点、直线、平面之间的关系
直线上有无数个点,平面内有无数个点，
直线、平面都可以看成是点的集合.
图形 文字语言(读法) 符号语言
A
a
点在直线上
点在直线外
点在平面内
点在平面外
A
a
点与直线
点与平面
图形 文字语言(读法) 符号语言
直线l在平面α内
直线l在平面α外
直线与平面
l
α
l
α
l
α
l1
P
l2
l
α
A
如果直线l与平面α有一个公共点P,直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．
上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实:
α
l
利用基本事实2可以判断直线是否在平面内
A
B
图形语言：
符号语言：
A∈l，B∈l,且A∈α, B∈α l α.
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实2表明，可以用直线的“直”刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”刻画平面的“无限延展”.
由基本事实1,给定不共线三点A,B,C，它们可以确定一个平面ABC;
连接AB,BC,CA，由基本事实2，这三条直线都在平面ABC内，
进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面ABC内，所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面ABC.
组成这个“直线网”的直线的“直"和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”.
A
B
C
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”， 可以得到下面三个推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
α
a
A
α
α
b
a
b
a
P
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
二、平面的基本性质
不共线的三点、一条直线和这条直线外一点、两条相交直线、两条平行直线，都能唯一确定一个平面，这些结论在后续研究直线和平面之间平行、垂直关系时也会用到.
思考：如右下图,如何判断桌子四条腿的底端是否在同一个平面内？
可以用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直，如果这两根细绳相交，说明桌子四条腿的底端在同一个平面内，否则就不在同一个平面内，其依据就是推论2.
如下图,把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
想象三角尺所在的无限延展的平面，用它去“穿透”课桌面.可以想象，两个平面相交于一条直线.
B
教室里相邻墙面在地面的墙角处有一个公共点，这两个墙面相交于过这个点的一条直线.由此我们又得到一个基本事实:
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
基本事实3告诉我们两个平面相交成一条直线的事实，使我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”.
图形语言：
如无特殊说明，本章中的两个平面均指两个不重合的平面.
α
l
P
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号语言：
P∈α，且P∈β α∩β=l,且P∈l.
作用：
①判断两个平面相交的依据．（只要两个平面有公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线）
②判断点在直线上．（点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这个点在交线上）
两相交平面的画法
在画两个平面相交时，一定要画出交线，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些，如图.
例1 如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ, CB的延长线交于M，RQ, DB的延长线交于N，RP, DC的延长线交于K.求证：M, N, K三点共线.
证明：∵M∈PQ，直线PQ 平面PQR，M∈BC，直线BC 平面BCD，
同理可证，N、K也在直线l上.
所以，M、N、K三点共线.
典型例题
∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在平面PQR与平面BCD的交线l上.
证明这些点都是
某两面的公共点。
点共线问题
课堂小结
1.平面的含义：
2.平面的性质：
(1)平面的特征：
(2)平面的表示：
①用希腊字母表示：平面a、平面β、平面γ.
②用大写英文字母表示：平面ABCD、平面AC.
①平
②无厚薄
③无限延展的
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
(2)基本事实2
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
也可以简单说成“不共线的三点确定一个平面”.
(1)基本事实1
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
(3)基本事实3
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
练习
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教材128页
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
(1) 书桌面是平面．(　　)
(2) 平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点．(　　)
(3) 如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合．(　　)
√
×
×
变式：判断正误.
(1) 平面是无限延展的．(　　)
(2) 平面的形状是平行四边形．(　　)
(3) 一个平面的厚度可以是0.001 cm.(　　)
√
×
×
2. 下列命题正确的是( ).
(A) 三点确定一个平面．
(B) 一条直线和一个点确定一个平面．
(C) 圆心和圆上两点可确定一个平面．
(D) 梯形可确定一个平面．
D
3. 不共面的四点可以确定几个平面．
A
C
B
P
4个
练习
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教材128页
4. 用符号表示下列语句，并画出相应的图形.
(1) 点A在平面α内，点B在平面α外．
(2) 直线a既在平面α内，又在平面β内．
解：
α
B

A

（1）
α
β
a
（2）
练习
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教材128页