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第二讲 平行四边形的判定
一、单选题
1．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．平行四边形对角线互相平分
【答案】D
【分析】
先写出各选项的逆命题，再判断真假即可求解．
【详解】
解：A. 若，则，逆命题为若，则，是假命题，不合题意；
B. 若，则，逆命题为若，则，是假命题，不合题意；
C. 若，则，逆命题为若，则，是假命题，不合题意；
D. 平行四边形对角线互相平分，逆命题为对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意．
故选：D
【点睛】
本题考查了原命题与逆命题，命题真假的判断，熟知相关定义，并能正确进行判断是解题关键．
2．如图，分别以RtABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形ACD和ABE，F为AB的中点，连接DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，其中错误的是（ ）
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A．AC⊥DF B．四边形BCDF为平行四边形
C．DA+DF＝BE D．÷S四边形BCDE＝
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的判定定理判断B，根据平行四边形的性质和平行线的性质判断A，根据三角形三边关系判断C，根据等边三角形的性质分别求出、、的面积，计算即可判断D．
【详解】
解：，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
为的中点，
，
，，
四边形为平行四边形，B选项正确，不符合题意；
四边形为平行四边形，
，，又，
，A选项正确，不符合题意；
∵等边三角形ACD和ABE，
， ，
，C选项错误，符合题意；
设，则，
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，，，
，D选项正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、等边三角形的有关计算是解题的关键．
3．已知四边形，对角线和交于点O，从下列条件中：①；②；③；④．任选其中两个，以下组合能够判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
【答案】A
【分析】
以①④作为条件能够判定四边形ABCD是平行四边形，根据平行得出全等三角形，即可得解；
【详解】
以①④作为条件能够判定四边形ABCD是平行四边形；
理由：如图所示，
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∵，
∴，
在△AOB和△COD中，
，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形；
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定，准确分析判断是解题的关键．
4．如图，在中，P是对角线上一点，过点P作，与和分别交于点E和点F，连结．已知，则阴影部分的面积和是（ ）
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A． B． C．5 D．10
【答案】B
【分析】
过点P作MN∥AD，交AB于M，交CD于N， ( http: / / www.21cnjy.com )过点P作PH⊥AE于H，易证S△ABD=S△CBD，AB∥EF∥CD，AD∥MN∥BC，得出四边形AEPM、四边形BFPM、四边形DEPN、四边形CFPN都是平行四边形，则S△AEP=S△AMP，S△DEP=S△DNP，S△BMP=S△BFP，S△CFP=S△CNP，得出S△AEP=S△CFP，由MN∥BC，求出PH，由S阴影部分=2S△AEP即可得出结果．
【详解】
解：过点P作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，过点P作PH⊥AE于H，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥AB，MN∥AD，
∴S△ABD=S△CBD，AB∥EF∥CD，AD∥MN∥BC，
∴四边形AEPM、四边形BFPM、四边形DEPN、四边形CFPN都是平行四边形，
∴S△AEP=S△AMP，S△DEP=S△DNP，S△BMP=S△BFP，S△CFP=S△CNP，
∴S△AEP=S△CFP，
∵MN∥BC，
∴∠AMP=∠ABC=60°，
∵四边形AEPM是平行四边形，
∴∠PEH=60°，
∴∠EPH=30°，
∴HE=EP=1，
∴PH=，
∴S阴影部分=2S△AEP=2×AE PH=2××5×=，
故选：B．
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【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、三角形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
5．如图，在四边形ABCD中，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
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A．AB∥DC， AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AD∥BC，AB＝DC D．AB∥DC，AB＝DC
【答案】C
【分析】
注意题目所问是“不能”，根据平行四边形的判定条件可解出此题．
【详解】
解：平行四边形的判定条件：
A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
C、可能是等腰梯形，不能判定，符合题意；
D、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的基本性质是解答本题的关键
6．已知的面积为36，将沿平移到，使和重合，连接交于，则的面积为（ ）
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A．10 B．14 C．18 D．24
【答案】C
【分析】
连接，根据平移的性质可知，AC∥ ，AC=，即可解答；
【详解】
连接，根据平移的性质可知，AC∥ ，AC=，
∴四边形是平行四边形，
∴点D是AC、 的中点，
∴=CD，
∴
故选：C．
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【点睛】
本题利用了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等；
7．如图，分别以的斜边，直角边为边向外作等边和，为的中点，，相交于点，若，下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④，其中正确结论的序号是（ ）
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A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等 ( http: / / www.21cnjy.com )于斜边的一半，可得FA＝FC，根据等边三角形的性质可得EA＝EC，根据线段垂直平分线的判定可得EF是线段AC的垂直平分线；根据条件及等边三角形的性质可得∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，从而得到DF∥AE，DA∥EF，即可得到四边形ADFE为平行四边形；根据平行四边形的对角线互相平分可得AD＝AB＝2AF＝4AG；易证DB＝DA＝EF，∠DBF＝∠EFA＝60°，BF＝FA，即可得到△DBF≌△EFA．
【详解】
解：连接FC，如图，
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∵∠ACB＝90°，F为AB的中点，
∴FA＝FB＝FC．
∵△ACE是等边三角形，
∴EA＝EC．
∵FA＝FC，EA＝EC，
∴点F、点E都在线段AC的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AC，即：，故①正确；
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，
∴DF⊥AB即∠DFA＝90°，BD＝DA＝AB＝2AF，∠DBA＝∠DAB＝∠EAC＝∠ACE＝60°．
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠EAF＝90°，
∴∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，
∴DF∥AE，DA∥EF，
∴四边形ADFE为平行四边形，故②正确；
∴DA＝EF，AF＝2AG，
∴BD＝DA＝EF，DA＝AB＝2AF＝4AG，故③正确；
在△DBF和△EFA中，
，
∴△DBF≌△EFA，
故④正确；
综上所述：①②③④都正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线 ( http: / / www.21cnjy.com )等于斜边的一半、等边三角形的性质、线段垂直平分线的判定、平行四边形判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，综合性比较强，出现了直角三角形斜边上的中点，就应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质．【来源：21·世纪·教育·网】
8．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点Р是对角线BD上一动点（不与D，B重合），于点F，于点E，连接AP，EF．则下列结论错误的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A． B．，且
C．四边形的周长是8 D．
【答案】A
【分析】
由三个直角的四边形是矩形，由此判断四边形是矩形，得到，再结合正方形的性质，解得，由此判断A；
过点作垂足为，过作交于点，连接，由角平分线的性质得到，继而结合勾股定理证明、证明四边形是平行四边形，即可得到，设，结合勾股定理证明，即可判断B；
根据等腰直角三角形的性质计算四边形的周长即可判断C；
设，由勾股定理解得的长，再结合，解得与的数量关系即可判断D．
【详解】
解：A.
四边形是矩形
正方形中
故A错误；
B.过点作垂足为，过作交于点，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
平分，，
且
四边形是平行四边形
设，则，
故B正确；
C. 为等腰直角三角形
故四边形的周长为，
故C正确；
D.设
故D正确，
故选：A．
【点睛】
本题考查四边形的综合题，涉及勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com )、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
9．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，当四边形ABCD是平行四边形时，点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
以AC为对角线，可得AD∥BC，AD=BC；以AB为对角线，可得AD∥BC，AD=BC；以AD为对角线，可得AB∥CD，AB=CD．
【详解】
解：①以AD为对角线时，可得AB∥CD，AB＝CD，
∴A点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得B点，
∴C点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得D (-4，-8)；
②以AC为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC，
∴B点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得B点，
∴C点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得D (8，-2)；
③以AB为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC，
∴C点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得A，
∴B点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得D (2，2)；
综上可知，D点的坐标可能为：D (-4，-8)、D (8，-2)、D (2，2)，
故选：A．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，利用平行四边形的判定：对边平行且相等的四边形是平行四边形，要分类讨论，以防遗漏．
10．下列命题是真命题的是（ ）
A．三角形的三条高线相交于三角形内一点
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对于所有自然数n，的值都是质数
D．三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等
【答案】D
【分析】
根据钝角三角形的高的交点在三角形外部可对 ( http: / / www.21cnjy.com )A进行判断；根据平行四边形的判定对B进行判断；取n=6可对C进行判断；根据三角形全等的知识可对D进行判断．
【详解】
解：A、钝角三角形的三条高线相交于三角形外一点，所以A选项错误；
B、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，所以B选项错误；
C、当n=6时，n2-3n+7=25，25不是质数，所以C选项错误；
D、通过证明三角形全等，可以证明三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等，所以D选项准确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．也考查了平行四边形的判定及全等三角形的判定和性质．
11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（ ）
A．AB＝CD B．∠BAD＝∠DCB C．AC＝BD D．∠ABC＋∠BAD＝180°
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的判定方法，以及等腰梯形的性质等知识，对各选项进行判断即可．
【详解】
A错误,当四边形是等腰梯形时,也满足条件．
B正确，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
C错误，当四边形是等腰梯形时，也满足条件．
D错误，∵，
∴，与题目条件重复，无法判断四边形是不是平行四边形．
故选:B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的判定，等腰梯形的性质等知识，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
12．如图，在平行四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，BC=10，则EF长为（ ）
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A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的性质可得，由角平分线可得，所以，所以，同理可得，则根据即可求解．
【详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
故选：．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是依据数学模型“角平分线＋平行线＝等腰三角形”转化线段．
13．在平面直角坐标系中，已知四边形各顶点坐标分别是：，且，那么四边形周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
如图，把向上平移一个单位得：，作关于直线的对称点 连接，交直线于 连接，则此时四边形的周长最短，再利用勾股定理可得： ，利用从而可得答案．
【详解】
解：如图，把向上平移一个单位得：，作关于直线的对称点 连接，交直线于 连接，
，
由
四边形是平行四边形，
所以此时：四边形的周长最短，
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故选：
【点睛】
本题考查的是图形与坐标，勾股定理的应用，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
14．如图，在中，对角线，相交于点，、是对角线上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形是平行四边形的有（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定定理分别判断即可．
【详解】
解：A、∵，
∴AO=CO，
由于四边形ABCD是平行四边形，则BO=DO，
∴四边形DEBF是平行四边形；
B、不能证明四边形DEBF是平行四边形；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠DAE=∠BCF，又∠ADE=∠CBF，
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴AE=CF，同A可证四边形DEBF是平行四边形；
D、同C可证：△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，同A可证四边形DEBF是平行四边形；
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
15．如图，在 ABCD中，AB=2.6，BC=4，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，则DE的长为（ ）
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A．2.6 B．1.4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】
由平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，可证得△BCE是等腰三角形，继而利用DE=CE-CD，求得答案．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，，
．
平分，
，
，
，
．
故选：．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，能证得△BCE是等腰三角形是解此题的关键．
16．如图，，，与相交于点O，经过点O，且与边、分别交于E、F两点，若，则图中的全等三角形有（ ）
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A．2对 B．3对 C．4对 D．6对
【答案】D
【分析】
先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质及全等三角形的判定可得图中全等的三角形．
【详解】
解：∵，，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，AO=OC，BO=OD，
∵BF=DE，
∴CF=AE，
∵，
∴∠EAO=∠FCO，∠EDO=∠FBO，
①∵AB=CD，AO=OC，BO=OD，
∴△AOB≌△COD(SSS)；
②∵AD=BC，AO=OC，OD=OB，
∴△AOD≌△COB(SSS)；
③∵AB=CD，∠ABC=∠ADC，AD=BC，
∴△ABC≌△CDA(SAS)；
④∵AB=CD，∠BAD=∠BCD，AD=BC，
∴△BAD≌△DCB(SAS)；
⑤∵AE=CF，∠EAO=∠FCO，AO=OC，
∴△AOE≌△COF(SAS)；
⑥∵DE=BF，∠EDO=∠FBO，BO=OD，
∴△FOB≌△EOD(SAS)，
综上，一共6对全等三角形，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定是解答的关键．www-2-1-cnjy-com
17．下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．有两组对角相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】
A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形，
∴选项A不符合题意；
B、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项C符合题意；
D、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
18．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】
解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
19．如图，已知，，与相点交于点，则图中全等三角形共有（ ）对．
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质及全等三角形的判定定理进行判断即可．
【详解】
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∴≌，≌，
∵AB=CD，AD=BC，AC=AC，BD=BD，
∴≌，≌，
∴图中全等三角形有4对．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
20．如图，在下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
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A．AD//BC，AB=CD B．∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB
C．OA=OC，OB=OD D．AB=AD，CB=CD
【答案】C
【分析】
由平行四边形的判定可求解．
【详解】
A、由AD∥BC，AB=CD不 ( http: / / www.21cnjy.com )能判定四边形ABCD为平行四边形；
B、由∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB不能判定四边形ABCD为平行四边形；
C、由OA=OC，OB=OD能判定四边形ABCD为平行四边形；
D、AB=AD，CB=CD不能判定四边形ABCD为平行四边形；
故选：C．www.21-cn-jy.com
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定定理，注 ( http: / / www.21cnjy.com )意：平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
21．由两个全等三角形用各种不同的方法拼成四边形，在这些拼成的四边形中是平行四边形的个数是（ ）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】
把三角形相等的一边重合，得到平行四边形，有3种情况．
【详解】
如图所示：
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则有平行四边形有四边形ABCD、四边形BDCF、四边形BDEC共计3个．
故选：B
【点睛】
考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质等知识点的理解和掌握，解题关键是能正确画出图形．
22．如图,在平面直角坐标系中,三点的坐标分别是,若以为顶点的四边形为平行四边形,则点的坐标不可能是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的性质可知：平行四边形的对边平行且相等，连接各个顶点，数形结合，可以做出D点可能的坐标，利用排除法即可求得答案．
【详解】
解：数形结合可得点D的坐标可能是（﹣3，﹣1），（7，﹣1），（1,5）；但不可能是（2,5）
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故选：D．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和直角坐标系，考查学生解题的综合能力，解题的关键是在直角坐标系中画出可能的平行四边形．
23．如图，设是边上任意一点，设的面积为，的面积为，的面积为，则（ ）
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A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】
如图（见解析），过点M作，交CD于点N，先根据平行四边形的判定可得四边形和四边形都是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得．
【详解】
如图，过点M作，交CD于点N，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
四边形和四边形都是平行四边形，
，
，
故选：A．
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【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，通过作辅助线，构造平行四边形是解题关键．
24．如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（ ）
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A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【分析】
分别以不同的三边为对角线进行拼接即可得．
【详解】
以不同的三边为对角线进行拼接，可拼成如下三种平行四边形：
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故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，掌握理解并灵活运用判定方法是解题关键．
25．小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条、的中点重叠并用钉子固定，则四边形就是平行四边形，这种方法的依据是（ ）
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A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
【答案】A
【分析】
根据平行四边形的判定定理解答即可.
【详解】
由已知可得AO=CO，BO=DO，
∴四边形是平行四边形，
依据是：对角线互相平分的四边形是平行四边形，
故选：A.
【点睛】
此题考查平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的五种判定定理并运用解决问题是解题的关键.
26．四边形的三个相邻内角的度数依次如下，那么其中是平行四边形的为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】D
【分析】
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，根据所给的三个角的度数可以求出第四个角，然后根据平行四边形的判定方法验证即可．21教育网
【详解】
A、第四个角是76°，有一组对角不相等，不是平行四边形；
B、第四个角是72°，两组对角都不相等，不是平行四边形；
C、第四个角是88°，而C中相等的两个角不是对角，不是平行四边形；
D、第四个角是72°，满足两组对角分别相等，因而是平行四边形．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．注意角的对应的位置关系，并不是有两组角相等的四边形就是平行四边形．
27．如图，四边形ABCD中，AB∥C ( http: / / www.21cnjy.com )D，BC∥AD，点E、F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
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A．∠1=∠2 B．BF=DE C．AE=CF D．∠AED=∠CFB
【答案】C
【分析】
利用平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定分别得出选项A、B、D正确，选项C不正确，即可得出结论．
【详解】
解：∵AB∥CD，BC∥A ( http: / / www.21cnjy.com )D，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABE=∠CDF，
∴AB=CD，
当添加∠1=∠2时，由ASA判定△ABE≌△CDF，
∴选项A正确；
当添加BF=DE时，BE=DF，由SAS判定△ABE≌△CDF，
∴选项B正确；
当添加AE=CF时，由SSA不能判定△ABE≌△CDF，
∴选项C不正确；
当∠AED=∠CFB时，由AAS判定∠AED=∠CFB，
∴选项D正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
28．如图，在中，点分别在边上.若从下列条件中只选择一个添加到图中的条件中:①；②；③；④．那么不能使四边形是平行四边形的条件相应序号是（ ）
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A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】
利用平行四边形的性质，依据平行四边形的判定方法，即可得出不能使四边形AECF是平行四边形的条件．
【详解】
解：①∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD//BC，
∴AF//EC，
∵AE∥CF，
∴四边形AEC ( http: / / www.21cnjy.com )F是平行四边形；
②∵AE=CF不能得出四边形AECF是平行四边形，
∴条件②符合题意；
③∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
又∵BE=DF，
∴AF=EC．
又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
④∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠BAE=∠DCF，
∴∠AEB=∠CFD．
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD．
∴∠CFD=∠EAD．
∴AE∥CF．
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
综上所述，不能使四边形AECF是平行四边形的条件有1个．
故选：B．
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【点睛】
本题考查了平行四边形的性质定理和判定定理，以及平行线的判定定理；熟记平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
29．如图，AC、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，则图中全等三角形有（ ）
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A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【分析】
先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用平行四边形的性质可证出4对全等三角形．
【详解】
∵OA=OC，OB=OD， ( http: / / www.21cnjy.com )
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，且AB∥CD，AD∥BC，∠ABC=∠CDA，∠BAD=∠DCB，
在△AOB和△COD中，
OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD(SAS)，
同理可证△AOD≌△COB(SAS)，
在△ABD和△CDB中，
AB=CD，∠BAC=∠DCB，AD=CB，
∴△ABD≌△CDB(SAS)，
同理可证△ABC≌△CDA(SAS)．
综上，有4对全等三角形．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判断．
30．有下列命题：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为，，的三角形为直角三角形；③三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；④平行四边形的对角线相等；⑤顺次连结任意四边形各边的中点组成的新四边形是平行四边形．正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】
根据各图形的性质和判定可以选出正确答案．
【详解】
解：①为等边三角形的判定定理，正确；
对于②，，所以错误；
∵线段垂直平分线上点到线段两端点距离相等，所以三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，③正确；
矩形的对角线相等，一般的平行四边形对角线不一定相等，④错误；
顺次连结任意四边形各边的中点组成的新四边形各组对边分别与某一条对角线平行，所以新四边形是平行四边形，⑤正确，
故选B．
【点睛】
本题考查三角形与四边形的性质与判定，灵活应用有关定理求证是解题关键 ．
31．如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点，添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据平行线的性质得到∠AEB=∠CBF，求得 ( http: / / www.21cnjy.com )∠CBF=∠BCD，求得CF=BF，同理，EF=DF，不能判定四边形BCED为平行四边形；故A错误；根据平行线的性质得到∠DEF=∠CBF，根据全等三角形的性质得到DF=CF，于是得到四边形BCED为平行四边形，故B正确；根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，求得DE∥BC，∠ABD=∠CDB，推出BD∥CE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故C正确；根据平行线的性质得到∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°，推出∠BDE=∠BCE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故D正确．
【详解】
解：A、∵AE∥BC，
∴∠AEB=∠CBF，
∵∠AEB=∠BCD，
∴∠CBF=∠BCD，
∴CF=BF，
同理，EF=DF，
∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故A错误；
∵ DE∥BC，
∴∠DEF=∠CBF，
∠DEF=∠CBF
在△DEF与△CBF中,
∴△DEF△CBF(ASA),
∴DF=CF
∵EF=BF
∴四边形BCED为平行四边形，故B正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ .AD∥BC，AB∥CD,
∴DE∥CE，∠ABD=∠CDB,
∠ABD=∠DCE，
∴∠DCE=∠CDB，
∴BD∥CE，
∴四边形BCED为平行四边形，故C正确；
∵AEB∥C,
∴∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°
∵∠AEC=∠CBD，
∴∠BDE=∠BCE，
∴四边形BCED为平行四边形，故D正确．
故选:A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
32．如图的△ABC中，AB>AC>BC,且 ( http: / / www.21cnjy.com )D为BC上一点．现打算在AB上找一点P,在AC上找一点Q,使得△APQ与以P、D、Q为顶点的三角形全等，以下是甲、乙两人的作法：
甲：连接AD,作AD的中垂线分别交AB、AC于P点、Q点，则P、Q两点即为所求；
乙：过D作与AC平行的直线交AB于P ( http: / / www.21cnjy.com )点，过D作与AB平行的直线交AC于Q点，则P、Q两点即为所求；对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）
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A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误乙正确
【答案】A
【分析】
如图1，根据线段垂直平分线的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质得到PA=PD，QA=QD，则根据"SSS"可判断APQ≌DPQ，则可对甲进行判断；如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形APDQ为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到PA=DQ，PD=AQ， 则根据"SSS"可判断△APQ≌△DQP,则可对乙进行判断.
【详解】
解：如图1，
∵PQ垂直平分AD，
∴PA= PD,，QA= QD，
∵PQ ( http: / / www.21cnjy.com )= PQ，
∴△APQ≌△DPQ (SSS)， 所以甲正确；
如图2，∵PD ∥AQ，DQ ∥AP，
∴四边形APDQ为平行四达形，
∴PA=DQ,，PD=AQ，
∵PQ=QP，
∴△APQ≌△DQP (SSS)，所以乙正确；
故选：A.
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【点睛】
本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是在 ( http: / / www.21cnjy.com )五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定.
33．如图，中，点E是AD上一点，BE⊥AB，△ABE沿BE对折得到△BEG，过点D作DF∥EG交BC于点F，△DFC沿DF对折，点C恰好与点G重合，则的值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平行线的性质和轴对称的性质，利用SAS证明，进而得到，设AB=x，则AG=2x，CD=x，AD=，即可求解．
【详解】
解：在中
∵DF∥EG
∴∠DEG=∠DFB
∵△ABE沿BE对折得到△BEG
∴∠DEG=2∠A
∵∠DFB=∠C+∠CDF
∠A=∠C
∴∠CDF=∠A
∵△DFC沿DF对折
∴∠BGE=∠DGE
BG=DG
EG=EG
∴
∵BE⊥AB
∴
设AB=x，则AG=2x，CD=x，AD=
∴
故选：B．
【点睛】
此题主要考查平行线的性质、轴对称的性质、全等三角形的判断和性质、勾股定理，熟练运用平行线的性质和轴对称的性质证明是解题关键．
34．如图，四边形为平行四边形，为锐角，的平分线交于点，交的延长线于点，且．若，面积为300，则的长度为（ ）
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A．30 B．15 C．40 D．20
【答案】B
【分析】
由题意先根据ASA证明△ADF≌△ECF，推出，再证明BE=AB=25，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF⊥AE．设AF=x，BF=y，由∠ABF＜∠BAF可得x＜y，进而根据勾股定理以及△ABE的面积为300列出方程组并解出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC即AD//BE，AB//CD，
∴∠DAF=∠E．
在△ADF与△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴，
∴．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠DAF=∠E，
∴∠BAE=∠E，
∴BE=AB=25，
∵AF=FE，
∴BF⊥AE．
设AF=x，BF=y，
∵∠D为锐角，
∴∠DAB=180°-∠D是钝角，
∴∠D＜∠DAB，
∴∠ABC＜∠DAB，
∴∠ABF＜∠BAF，
∴AF＜BF，x＜y．
则有，解得：或（舍去），
即AF=15．
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质和勾股定理等知识．由题意证明出以及BF⊥AE是解题的关键．【版权所有：21教育】
35．如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论:①； ②∠A=∠BHE； ③AB=BH； ④△BCF≌△DCE， 其中正确的结论是( )
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A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】
先判断△DBE是等腰直角三角形，根据勾股定理可推导得出BD=BE，故①正确；根据∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，可得∠BHE=∠C，再由∠A=∠C，可得②正确；证明△BEH≌△DEC，从而可得BH=CD，再由AB=CD，可得③正确；利用已知条件不能得到④，据此即可得到选项.
【详解】
解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC于E，
∴在Rt△DBE中，BE2+DE2=BD2，BE=DE，
∴BD=BE，故①正确；
∵DE⊥BC，BF⊥DC，∴∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，
∴∠BHE=∠C，
又∵在 ABCD中，∠A=∠C，
∴∠A=∠BHE，故②正确；
在△BEH和△DEC中，
，
∴△BEH≌△DEC，
∴BH=CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，
∴AB=BH，故③正确；
利用已知条件不能得到△BCF≌△DCE，故④错误，
故选A.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.
36．如图，在△ABC中，AB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝5．正确的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
由，得出∠BAC=90°，则①正确；由等边三角形的性质得∠DAB=∠EAC=60°，则∠DAE=150°，由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC=DF=AE=4，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB=EF=AD=3，得出四边形AEFD是平行四边形，则②正确；由平行四边形的性质得∠DFE=∠DAE=150°，则③正确；∠FDA=180°－∠DFE=30°，过点作于点，，则④不正确；即可得出结果．
【详解】
解：∵，
∴，
∴∠BAC=90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
又∴∠BAC=90°，
∴∠DAE=150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD=BA，BF=BC，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=4，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB=EF=AD=3，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE=∠DAE=150°，故③正确；
∴∠FDA=180°-∠DFE=180°－150°=30°，
过点作于点，
∴，
故④不正确；
∴正确的个数是3个，
故选：C．
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【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性 ( http: / / www.21cnjy.com )质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平角、周角、平行是四边形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
37．如图，在中，已知，，，过的中点作，垂足为，与的延长线相交于点，则的面积是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据平行四边形的性质得到，，求出、、，根据得出，，根据三角形的面积公式求的面积，即可求出答案．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，，，
为中点，
，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
在和中，
，
，
，，
∴，
．
故选：．
【点睛】
本题主要考查对平行四边形的性质， ( http: / / www.21cnjy.com )平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
38．如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点且，下列说法中正确的是（ ）
①；②；③；④四边形为平行四边形；⑤；⑥．
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A．①⑥ B．①②④⑥ C．①②③④ D．①②④⑤⑥
【答案】D
【分析】
先根据全等三角形进行证明，即可判断①和② ( http: / / www.21cnjy.com )，然后作辅助线，推出OD=OF，得出四边形BEDF是平行四边形，求出BM=DM即可判断④和⑤，最后根据AE=CF，即可判断⑥.2-1-c-n-j-y
【详解】
①∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC，AB=DC,
∴∠BAC=∠ADC,
在△ABE和△DFC中
∴△ABE≌△DFC（SAS）,
∴BE=DF,
故①正确.
②∵△ABE≌△DFC,
∴∠AEB=∠DFC,
∴∠BEF=∠DFE,
∴BE∥DF,
故②正确.
③根据已知的条件不能推AB=DE，故③错误.
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④连接BD交AC于O，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DO=BO，OA=OC,
∵AE=CF,
∴OE=OF,
∴四边形BEDF是平行四边形,
故④正确.
⑤∵BN⊥AC，DM⊥AC,
∴∠BNO=∠DMO=90°,
在△BNO和△DMO中
∴ ,
故⑤正确.
⑥∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
∴AF=CE,
故⑥正确.
故答案是D.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定以及性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
二、填空题
39．如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AB于点E连接ED，若EA=3，EB=5，ED=4，CE= ________ ．21世纪教育网版权所有
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【答案】．
【分析】
根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，根据勾股定理的逆定理可得，再根据平行四边形的性质可得，，根据勾股定理可求的长．
【详解】
解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，，
在中，，即，
，
，，
在 中，．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，熟悉相关性质是解题的关键．
40．如图，过平行四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD的对角找BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是_____．
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【答案】S1=S2．
【分析】
根据平行四边形的性质和判定得出平行四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形GBEP、GPFD，证△ABD≌△CDB，得出△ABD和△CDB的面积相等；同理得出△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，相减即可求出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，
∴AD=BC，AB=CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，
在△ABD和△CDB中；，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
即△ABD和△CDB的面积相等；
同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，
故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1=S2．
故答案为：S1=S2．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ABD和△CDB的面积相等，△BEP和△PGB的面积相等，△HPD和△FDP的面积相等，注意：如果两三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．
41．如图，已知DE∥BC，AB∥CD，E为AB的中点，∠A＝∠B．下列结论：
①AC＝DE；②CD＝AE； ③AC平分∠BCD；④O点是DE的中点；⑤AC＝AB．其中正确的序号有_______．
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【答案】①②④
【分析】
由DE∥BC，AB∥CD，可判 ( http: / / www.21cnjy.com )定四边形BCDE是平行四边形，又由∠A=∠B，即可证得AC=DE，CD=AE；利用AAS证得△AOE≌△COD，则可得O点是DE的中点．
【详解】
解：①∵DE∥BC，AB∥ ( http: / / www.21cnjy.com )CD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴BC=DE，
∵∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴AC=DE；故①正确；
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴CD=BE，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE，
∴CD=AE；故②正确；
∵AB∥CD，
∴∠A=∠ACD，
∵∠A=∠B，
∴∠ACD=∠B，
但∠B不一定等于∠ACB，
故AC不一定是∠BCD的平分线；故③错误；
在△AOE和△COD中，
∴△AOE≌△COD（AAS），
∴OE=OD，
即O是DE的中点；故④正确；
∵AC=BC，但不能确定AC=AB，故⑤错误．
故答案为：①②④．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
42．如图所示，在四边形ABCD中，，，，交BC于点，若，BC=，则_______cm．
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【答案】12cm
【分析】
先说明四边形ABED是平行四边形可得BE=AD=5，再由可得∠DEC=∠B=70°，求出EC的长；然后再说明△CDE是等腰三角形得到DC=EC即可解答．
【详解】
解：∵，
∴四边形ABED是平行四边形
∴BE=AD=5
∴EC=BC-BE=17cm-5cm=12cm
∵
∴∠DEC=∠B=70°
∵
∴∠EDC=180°-∠DEC-∠C=70°
∴∠EDC=∠DEC
∴CD=CE=12cm．
故答案为12cm．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
43．在如图的中，，且为上一点．今打算在上找一点，在上找一点，使得与全等，以下是甲、乙两人的作法：
（甲）连接，作的中垂线分别交于点、点，则两点即为所求；
（乙）过点作与平行的直线交于点，过作与平行的直线交于点，则两点即为所求；
请对甲、乙两人的做法作出判断，甲的作法_________．乙的作法_________（请用正确或错误填空）．
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【答案】正确 正确
【分析】
如图1，根据线段垂直平分线的性质得 ( http: / / www.21cnjy.com )到PA=PD，QA=QD，则根据“SSS”可判断△APQ≌△DPQ，则可对甲进行判断；
如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形APDQ为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到PA=DQ，PD=AQ，则根据“SSS”可判断△APQ≌△DQP，则可对乙进行判断．
【详解】
如图1，∵PQ垂直平分AD，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴PA=PD，QA=QD，
而PQ=PQ，
∴△APQ≌△DPQ（SSS），所以甲正确；
如图2，
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∵PD∥AQ，DQ∥AP， ( http: / / www.21cnjy.com )
∴四边形APDQ为平行四边形，
∴PA=DQ，PD=AQ，
而PQ=QP，
∴△APQ≌△DQP（SSS），所以乙正确．
故答案为：正确，正确．
【点睛】
本题考查了作图－复杂作图： ( http: / / www.21cnjy.com )复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定．
44．如图，在梯形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AD∥BC，AB＝CD，∠ABC ＝∠C，BD平分∠ABC，AD＝2，∠C＝60°，则BC＝__________．
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【答案】4
【分析】
过点作，可得四边形是平行四边形、是等边三角形，从而可求得，的长，即可求解．
【详解】
解：根据平分，即，
因为，则，
，
，
过点作，
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则四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形，
∵ ，
∴是等边三角形，
∴，
∴
故答案为：4．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，作出辅助线是解题的关键．
45．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD中点，EF⊥BC于点F，BC=5，EF=3．
（1）若AB=DC，则四边形ABCD的面积S=__；
（2）若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′__S（用“＞”或“=”或“＜”填空）．
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【答案】15 =
【详解】
解：（1）∵AB=DC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD的面积S=5×3=15，
故答案为：15
（2）如图，连接EC，延长CD、BE交于点P，
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∵E是AD中点，
∴AE=DE，
又∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠P，∠A=∠PDE，
在△ABE和△DPE中，
∵，
∴△ABE≌△DPE（AAS），
∴S△ABE=S△DPE，BE=PE，
∴S△BCE=S△PCE，
则S四边形ABCD=S△ABE+S△CDE+S△BCE
=S△PDE+S△CDE+S△BCE
=S△PCE+S△BCE
=2S△BCE
=2××BC×EF
=15，
∴当AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′=S，
故答案为：=
46．如图，在中，CD＝2，∠B＝60°，BE∶EC＝2∶1，依据尺规作图的痕迹，则的面积为________．
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【答案】
【分析】
分析作图痕迹，可知△ABE是等边三角形，从而可求其面积，继而求得△ABC的面积，再分析求得平行四边形的面积．
【详解】
过点A作AF⊥BC，垂足为点F，连接AC，
由题意知：△ABE是等边三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝2，
∵∠B＝60°，
∴在Rt△ABF中，BF=1，AF==，
△ABE的面积为：，
∵BE∶EC＝2∶1
∴△ABC与△ABE的底之比为3：2，而它们等高，
∴△ABC的面积为：，
∴平行四边形ABCD的面积为：．
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【点睛】
考查垂直平分线的性质、等边三角形的判定、勾股定理、平行四边形的性质等，比较综合，但难度不大．
47．如图，点O是 ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF=AB，G、H是BC边上的点，且GH=BC，若，则=____．
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【答案】2
【分析】
根据题意连接AC、BD，再根据平行四边形的性质得到S△AOB=S△BOC，进而根据三角形的面积公式进行分析计算即可．
【详解】
解：连接AC、BD，如图，
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∵点O是 ABCD的对称中心，
∴AC、BD交于点O，
∴S△AOB=S△BOC，
∵EF=AB，
∴S△EOF=S△AOB，
∵GH=BC，
∴S△OGH=S△BOC，
∴S△EOF：S△OGH=3：2,
∵，
∴=2.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查的是中心对称的性质以及平行四边形的性质，掌握平行四边形是中心对称图形以及三角形的面积公式是解题的关键．
48．如图，在四边形中，，，，点自点向以的速度运动，到点即停止．点自点向以的速度运动，到点即停止，点，同时出发，设运动时间为．当______时，四边形是平行四边形．
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【答案】
【分析】
由题意，可以用含t的代数式表示AP和BQ，令AP=BQ可得关于t的一元一次方程，解方程可得t的值．
【详解】
解：由题意得：当时间为t秒时，AP=tcm，BQ=BC-CQ=（15-2t）cm，
令AP=BQ得：t=15-2t，解得：t=5
故答案为5 ．
【点睛】
本题考查平行四边形和一元一次方程的综合应用，掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法是解题关键．
三、解答题
49．如图，AD∥BC，E是BC中点，且AD＝BE，若DC＝5，求AE的长．
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【答案】5
【分析】
证四边形AECD是平行四边形，得AE＝DC＝5即可．
【详解】
解：∵E是BC中点，
∴BE＝CE，
∵AD＝BE，
∴AD＝CE，
又∵AD//BC，
∴AD//CE，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE＝DC＝5．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
50．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，点E在边AD上，且AE＝2
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（1）若直线l经过点E，将该平行四边形的面积平分，并与平行四边形的另一边交于点F，用无刻度的直尺画出点F；
（2）连接AF，CE，判断四边形AFCE的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）四边形AFCE是平行四边形，理由见解析．
【分析】
（1）根据平行四边形的性质，连接AC、BD交于点O，过E、O作直线EO交BC于一点,即可得出点F的位置；
（2）根据平行四边形的性质可得OA＝ ( http: / / www.21cnjy.com )OC，AD∥BC，则可利用ASA证明△AOE≌△COF，得出OE＝OF，即可由对角线互相平分的四边形是平行四边形证得结论．
【详解】
解：（1）如图所示，点F即为所求作的点．
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（2）四边形AFCE是平行四边形，理由是：
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∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA＝OC，AD∥BC．
∴∠OAE＝∠OCF．
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF．
∴OE＝OF．
∴四边形AFCE是平行四边形．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法及性质是解题的关键．
51．如图，平行四边形，，是直线上两点，且．求证：四边形是平行四边形．
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【答案】见解析
【分析】
连接AC，交BD于点O，易证得OA=OC，OE=OF，则可证得四边形AECF是平行四边形．
【详解】
证明：连接AC，交BD于点O，
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∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OD=OB，
∵DF=BE，
∴OB+BE=OD+DF，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质与判定，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，熟练掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解答本题的关键．
52．如图是某区部分街道示意图，其中垂直平分．从站乘车到站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是，且长度为5公里，路线2是，求路线2的长度．
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【答案】5公里
【分析】
延长FD交AB于点G，证明四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形BCDG是平行四边形，得到DG＝CB，根据线段垂直平分线的性质得到FE＝AE，根据平行四边形的性质计算，即可得到答案．
【详解】
解：如图，延长FD交AB于点G，
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∵BC∥DF，AB∥DC，
∴四边形BCDG是平行四边形，
∴DG＝BC，
∵CE垂直平分AF，
∴FE＝AE，DE∥AG，
∴FD＝DG，
∴CB＝FD，
又∵BC∥DF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴CF＝BD，
∵CE垂直平分AF，
∴AE＝FE，FD＝DA，
∴BC＝DA，
∴路线2的长度：BC＋CF＋FE＝AD＋BD＋AE＝5（公里）．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．
53．如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA=OB，E、F分别是OC，OD中点．
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(1)求证：OD=OC．
(2) 求证：四边形AFBE平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据平行线的性质得到∠CAO=∠DBO，再由ASA证明△AOC≌△BOD即可得到结论；
（2）根据（1）的结论及中点可证得OE=OF，再由平行四边形的判定定理即可证明结论．
【详解】
证明：（1）∵AC∥DB，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠AOC=∠BOD，OA=OB，
∴△AOC≌△BOD，
∴OC=OD；
（2）∵E是OC中点，F是OD中点，
∴OE=OC，OF=OD，
∵OC=OD，
∴OE=OF，
又∵OA=OB，
∴四边形AFBE是平行四边形．
【点睛】
本题考查了全等三角形及平行四边形的证明，熟练掌握判定定理是解题的关键．
54．如图，E、F是 ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接BE、ED、DF、FB．
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（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；
（2）若BE＝4，EF＝2，求BD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）2．
【分析】
（1）连接BD交AC于O，由平行四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质得出∠BAE＝∠DCF，证明△ABE≌△CDF得出AE＝CF，得出OE＝OF，即可得出结论；
（2）由（1）得：OE＝OF＝EF＝1，由勾股定理得出，即可得出结果．
【详解】
（1）证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴OE＝OF，
又∵OB＝OD，
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）解：由（1）得：OE＝OF＝EF＝1，
∵BE⊥AC，
∴∠BEO＝90°，
∴OB＝，
∴BD＝2OB＝2．
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【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．2·1·c·n·j·y
55．在平行四边形中，点为边的中点，连接，将沿着翻折，点落在点处，连接并延长，交于．
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（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，的周长为20，求四边形的周长．
【答案】（1）证明见解析；（2）30
【分析】
（1）连接，根据题意得到，证明，又根据，
即可证明结论；
（2）先求出AF=CE，AE=CF=5，根据，进行线段代换即可求解．
【详解】
解：（1）证明：连接．
∵点为边的中点，沿着翻折得到△GCE，
∵，
∴∠GAE=∠AGE，∠EBG=∠EGB，
∵三角形内角和为180°，
∴，
且，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
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（2）∵四边形是平行四边形，
∴AF=CE，AE=CF=5，
∵，
∴BE+BC+EC=20，
∴BE+BC+AF=20，
∵CF=AE=5，
∴=AE+BE+BC+CF+AF=20+5+5=30．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，轴对称等知识，熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题关键．
56．如图，点和点是平行四边形对角线上的两点，连接、、和，．
求证：四边形是平行四边形．
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【答案】证明见详解
【分析】
证明△ADE≌△CBF（ASA），得DE＝B ( http: / / www.21cnjy.com )F，∠AED＝∠CFB，则∠DEF＝∠BFE，证出DE∥BF，即可得出四边形BEDF是平行四边形．
【详解】
解：证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．21教育名师原创作品
57．在中，是对角线，于点E，于点F．
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（1）求证：；
（2）试判断四边形是不是平行四边形，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）是，理由见解析
【分析】
（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行线的性质，可得∠ABE=∠CDF，根据AAS，可得答案；
（2）根据平行线的判定，可得AE与CF的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得AE与CF的大小关系，根据平行四边形的判定，可得答案．
【详解】
解：（1）△ABE≌△CDF，理由如下：
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AEB=∠CFD=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）四边形AECF是平行四边形．
理由如下：∵△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴AE//CF,
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定与性质是解题关键．
58．如图，已知在中，是对角线上的两点，，点分别在BA和DC的延长线上，且，连接．求证：四边形GEHF是平行四边形．
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【答案】见解析
【分析】
由条件可证明，可得到，，可证得，可证得结论．
【详解】
解：证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，．
又∵，
∴．
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①平行四边形两组对边分别平行，②平行四边形两组对边分别相等，③平行四边形一组对边平行且相等，④平行四边形两组对角分别相等，⑤平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形．
59．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，延长到点E，使，连接．
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（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，，若，求的周长．
【答案】（1）见解析；（2）24
【分析】
（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，结合CE=BC，得到AD=CE，可证明四边形ACED是平行四边形；
（2）根据四边形ACED是平行四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )得到DE=AC=6，再证明∠BDE=90°，得到BE=2CD=2AB=10，利用勾股定理求出BD，可得△BDE的周长．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵CE=BC，
∴AD=CE=BC，
∵AD∥BC，
∴AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）∵四边形ACED是平行四边形，
∴DE=AC=6，
∵CD=BC=CE=BE，
∴∠CBD=∠CDB，∠CDE=∠CED，
∴∠BDE=∠CDB+∠CDE==90°，
∴BE=2CD=2AB=10，
∴BD==8，
∴△BDE的周长=BD+BE+DE=8+10+6=24．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与判定、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
60．在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．
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【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，AD＝CB，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；【出处：21教育名师】
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DAF＝∠AFD，求得AD＝DF，根据勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB，
在△DAE和△BCF中，
∴△DAE≌△BCF（SAS），
∴DE＝BF，
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
即DF＝BE，
∵DE＝BF，BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，
∴AD＝5，
∵AE＝3，DE＝4，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵DE∥BF，
∴∠ABF＝∠AED＝90°，
∴AF＝．
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【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理及逆定理，能综合运用知识点进行推理是解题的关键．
61．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．
（1）求证：AEF≌DEC；
（2）求证：四边形ACDF是平行四边形．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，根据平行线的性质可得就爱∠FAE=∠CDE，利用ASA即可证明△AEF≌△DEC；21·cn·jy·com
（2）根据全等三角形的性质可得AF=DC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得结论．
【详解】
（1）∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠FAE＝∠CDE，
∵点E是边AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，
∴△AEF≌△DEC（ASA）．
（2）∵△AEF≌△DEC，
∴AF＝DC，
∵AF∥DC，
∴四边形ACDF是平行四边形．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质，平行四边形的对边互相平行；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质与判定定理是解题关键．
62．如图，在四边形ABCD中，ADBC，AD=6，BC=16，AB=8，∠ABC=60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）设△BPQ的面积为s，求s与t之间的函数关系式；
（2）当t= 时，△BPQ的面积与四边形PQCD的面积相等；
（3）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？
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【答案】（1）S＝ 4t＋32（0＜t≤6）；（2）；（3）2秒或秒
【分析】
（1）作AM⊥BC于M，求出∠BAM＝30°，由直角三角形的性质得出BM＝AB＝4，AM=BM＝4，由题意得CQ＝2t，得出BQ＝BC CQ＝16 2t，由三角形面积公式即可得出答案；
（2）由题意得；AP＝t，CQ＝2t，则PD＝AD AP＝6 t，由梯形面积公式求出四边形PQCD的面积＝（PD＋CQ）×AM＝（6 t＋2t）×4，由题意得出方程，解方程即可；
（3）有两种情况，①当Q运动到 ( http: / / www.21cnjy.com )E和B之间，②当Q运动到E和C之间，根据平行四边形的判定，由AD∥BC，所以当PD＝QE时为平行四边形．根据此设运动时间为t，列出关于t的方程求解．
【详解】
解：（1）作AM⊥BC于M，如图所示：则∠AMB＝90°，
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∵∠ABC＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝4，AM＝BM＝4，
由题意得：CQ＝2t，
∴BQ＝BC CQ＝16 2t，
∴S＝BQ×AM＝（16 2t）×4
＝ 4t＋32，
即S＝ 4t＋32（0＜t≤6）；
（2）由题意得；AP＝t，CQ＝2t，则PD＝AD AP＝6 t，
∵AD∥BC，
∴梯形PQCD的面积＝（PD＋CQ）×AM＝（6 t＋2t）×4
＝12+2t，
∵△BPQ的面积＝四边形PQCD的面积相等，
∴ 4t＋32=12+2t，
解得：t＝，
即t＝时，△BPQ的面积与四边形PQCD的面积相等；
故答案为：；
（3）解：∵AD∥BC，则点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，PD＝EQ，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝8，
分两种情况：
①当Q运动到E和B之间，则得：
2t 8＝6 t，
解得：t＝，
②当Q运动到E和C之间，则得：8 2t＝6 t，
解得：t＝2，
综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了梯 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，熟练掌握梯形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
63．如图，在△OAB中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为一边,在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．21cnjy.com
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形．
（2）求四边形ABCE的面积．
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【答案】（1）见详解；（2）
【分析】
（1）先证明AB∥CE，再推出∠ADB＝∠OBC=60°，从而得AD∥BC，进而得到结论；
（2）根据勾股定理求出AO的长，再根据平行四边形的面积公式，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵∠OAB＝90°，
∴AB⊥x轴，
∵y轴⊥x轴，
∴AB∥y轴，即AB∥CE，
∵∠AOB＝30°，
∴∠OBA＝60°，
∵∠OAB=90°，D是OB的中点，
∴DB=DO= =4，
∵∠AOB=30°，
∴AB= =4，
∵DB＝DO＝AB =4，
∴∠BDA＝∠BAD＝（180°-60°）÷2＝60°，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，
∴∠ADB＝∠OBC，
即AD∥BC，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（2）在直角△OAB中，AB=4，BO=8，
∴AO=，
∴平行四边形ABCE的面积=AB AO=．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理以及平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
64．如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC．分别交AB、AC于M、N．
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（1）求证：BM+CN＝MN．
（2）如图2，若△ABC是等边三角形，请从以下两个问题任选一题作答．若两题都作答，以问题①计分．
问题①BC＝6，求MN的长．
问题②求证：O是MN的中点．
【答案】（1）见解析；（2）①MN=4；②见解析
【分析】
（1）根据角平分线定义和平行线 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质可证得∠MOB=∠MBO，∠NOC=∠NCO，再根据等角对等边的性质可得BM=MO，CN=ON，再由MO+ON=MN即可证得结论；
（2）①过M、N分别作ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，可证得四边形MEFN为平行四边形，可得MN=EF，再根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，进而有∠BME=∠CNF=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可证得BE=BM，CF=CN，由BC=BE+EF+CF和BM+CN=MN可得BC=MN，即可求得MN的长；
②过M、N分别作ME⊥BC于E ( http: / / www.21cnjy.com )，NF⊥BC于F，可证得四边形MEFN为平行四边形，可得ME=NF，再根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，再根据全等三角形的判定可证得△MEB≌△NFC，则有BM=CN，由（1）中BM=MO，CN=ON可得MO=ON，即可证得结论．
【详解】
（1）证明：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=∠MBO，∠OCB=∠NCO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，
∴∠MOB=∠MBO，∠NOC=∠NCO，
∴BM=MO，CN=ON，
∴BM+CN=MO+ON=MN，
即BM+CN =MN；
（2）若选①，解：如图2，过M、N分别作ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，
则ME∥NF,∠MEB=∠NFC=90°，
∵MN∥BC，
∴四边形MEFN为平行四边形，
∴MN=EF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，又∠MEB=∠NFC=90°，
∴∠BME=∠CNF=30°，
∴BE=BM，CF=CN，
∵BC=BE+EF+CF=BM+MN+CN=MN=6，
∴MN=4；
若选②，证明：如图2，过M、N分别作ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，
则ME∥NF，∠MEB=∠NFC=90°
∵MN∥BC，
∴四边形MEFN为平行四边形，
∴ME=NF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
又∠MEB=∠NFC=90°，
∴△MEB≌△NFC（AAS），
∴BM=CN，
∵ BM=MO，CN=ON
∴MO=ON，
即O为MN的中点．
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【点睛】
本题考查了角平分线的定义、平行线的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各知识点的运用，借助作辅助线进行计算或证明解答的关键．
65．在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点．
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（1）当点在边上时，如图①，求证：．
（2）当点在边的延长线上时，如图②，线段，，之间的数量关系是_____，为什么？
（3）当点在边的反向延长线上时，如图③，线段，，之间的数量关系是____（不需要证明）．
【答案】）（1）见解析；（2），见解析；（3）
【分析】
（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得；
（2）结论：当点D在边BC的延长线上时，在图②中，，证明方法类似（1）；
（3）结论：当点D在边BC的反向延长线上时，在图③中，．证明方法类似（1）．
【详解】
证明：（1）∵，．
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
∴．
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（2）．
理由：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
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（3）
( http: / / www.21cnjy.com / )
理由：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DF=AE，∠EDC=∠ABC，
又∵∠AB=AC，
∴∠ABC=∠C
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC，
∴．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
66．已知：AB⊥CD于点O，AB=AC=CD，点I是∠BAC，∠ACD的平分线的交点，连接IB，ID
（1）求证：且；
（2）填空：
①∠AIC+∠BID=_________度；
②S______S(填“﹥”“﹤”“=”)
（3）将（2）小题中的第②结论加以证明．
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【答案】（1）证明见解析；（2）①180；②=；（3）证明见解析．
【分析】
（1）由角平分线的性质，解得，继而证明△ACI≌△DCI(SAS)，再根据全等三角形的性质可得IA=ID，，由角平分线性质结合三角形内角和定理可得，故，继而可证据此解题；
（2）①根据题意，由三线合一的性质可证、、，最后再计算的值即可；
②将平移至，连接交于点，继而证明四边形是平行四边形，即可得到，结合①中结论，可得，据此证明，可得，再结合即可解题；
（3）将平移至，连接交于点，继而证明四边形是平行四边形，即可得到，结合①中结论，可得，据此证明，可得，再结合即可解题．
【详解】
证明：（1）由点I是∠BAC，∠ACD的平分线的交点
在△ACI和△DCI中
∴ △ACI≌△DCI(SAS)
由点I是∠BAC，∠ACD的平分线的交点
即；
（2）①如图，延长交于点，延长交于点
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平分，
平分，
故答案为：，=；
②将平移至，连接交于点，如图，
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四边形是平行四边形
又
故答案为：=；
（3）将平移至，连接交于点，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
四边形是平行四边形
又
．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质、角平分线的性质等知识，是重要考点，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键．
67．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，，．
（1）求证：．
（2）已知，连接BN，若N平分，求CN的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）由已知角相等，利用对顶角相等，等量代换得到同位角相等，进而得出DB与EC平行，再由内错角相等两直线平行得到DE与BC平行，即可得证；
（2）由角平分线得到一对角相等， ( http: / / www.21cnjy.com )再由两直线平行内错角相等，等量代换得到一对角相等，再利用等角对等边得到CN=BC，再由平行四边形对边相等即可确定出所求．
【详解】
解：（1）证明：∵∠A=∠F，
∴DE∥BC，
∵∠1=∠2，且∠1=∠DMF，
∴∠DMF=∠2，
∴DB∥EC，
则四边形BCED为平行四边形；
（2）解：∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN=∠CBN，
∵EC∥DB，
∴∠CNB=∠DBN，
∴∠CNB=∠CBN，
∴CN=BC=DE=2．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
68．如图，在四边形中，，，是的中点，是边上的一动点（与，不重合），连接并延长交的延长线于．
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（1）试说明不管点在何位置，四边形始终是平行四边形．
（2）当点在点，之间运动到什么位置时，四边形是平行四边形？并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）PC=2时
【分析】
（1）由“ASA”可证△PCM≌△QDM，可得DQ=PC，即可得结论；
（2）得出P在B、C之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论．
【详解】
解：（1）∵AD∥BC，
∴∠QDM=∠PCM，
∵M是CD的中点，
∴DM=CM，
∵∠DMQ=∠CMP，DM=CM，∠QDM=∠PCM，
∴△PCM≌△QDM（ASA）．
∴DQ=PC，
∵AD∥BC，
∴四边形PCQD是平行四边形，
∴不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形；
（2）当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ，
∵BC-CP=AD+QD，
∴9-CP=5+CP，
∴CP=（9-5）÷2=2．
∴当PC=2时，四边形ABPQ是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解题的关键．21·世纪*教育网
69．在等腰中，，，点、分别在、上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，交于点
（1）如图1，若点为中点，，，求的长；
（2）如图2，求证：．
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【答案】（1）1；（2）证明见解析
【分析】
（1）根据顶角为120°的等腰三角形三边长关系，可得AB =2，结合含30°角的直角三角形三边长关系，可得BE，EG的长，进而即可求解；21*cnjy*com
（2）过点E作ER∥AC交AB于点R，过点R作RS∥BC交AC于点S，可得四边形SREC是平行四边形，易得AR=SR=CE，再根据全等三角形性质，通过证明，得BF=DR，通过计算即可完成证明．
【详解】
（1）连接CD，
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∵=2，，点为中点，
∴CD⊥AB，∠ABC=30°，
∴BD=BC=，
∴AD=BD=，
∵，且∠DBE=30°，
∴DE=，BE=DE=，
∵DE=EF且∠DEF=120°，
∴∠ EDG=30°，
∴EG=DE=×=，
∴=EB-EG=-=1；
（2）过点E作ER∥AC交AB于点R，过点R作RS∥BC交AC于点S，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴四边形SREC是平行四边形
∴∠DRE=∠A=∠DBE=30°，
∴RS=CE，DE=DB，RE=BE
∵∠ASR=∠ACB=120°，
∴∠SAR=∠ARS=30°，
∴AR=SR=CE，
∵∠EDF=∠ACB=120°
∴∠DEB+∠FEB=120°，∠DEB+∠DER=120°
∴∠FEB=∠DER
∵线段绕点顺时针旋转得到线段
∴
∴
∴
∴BF=DR
∴AD=DR+AR=，即．
【点睛】
本题主要考查直角三角形、等腰三角形、平行四边形、全等三角形、旋转的知识；添加辅助线并构造全等三角形和平行四边形，是解题的关键．
70．如图，在四边形中，，，，，，动点N从点D出发，以每秒的速度在射线上运动到C点返回，动点M从点A出发，在线段上，以每秒的速度向点B运动，点M，N分别从点A，D同时出发．当点M运动到点B时，点N随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形是平行四边形．
（2）是否存在点N，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）5秒或秒；（2）存在，秒或秒或秒
【分析】
（1）由题意已知，AB∥CD，要使 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形MNBC是平行四边形，则只需要让BM=CN即可，因为M、N点的速度已知，AB、CD的长度已知，要求时间，用时间=路程÷速度，即可求出时间；
（2）使△BMN是等腰三角形，可分三种情况 ( http: / / www.21cnjy.com )，即BM=BN、NM=NB、MN=MB；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t．
【详解】
解：（1）设运动时间为t秒．
∵四边形MNCB是平行四边形，
∴MB=NC，
当N从D运动到C时，
∵BC=13cm，CD=21cm，
∴BM=AB-AM=16-t，CN=21-2t，
∴16-t=21-2t，
解得t=5，
当N从C运动到D时，
∵BM=AB-AM=16-t，
CN=2t-21
∴16-t=2t-21，
解得t=，
∴当t=5秒或秒时，四边形MNCB是平行四边形；
（2）△NMB是等腰三角形有三种情况，
Ⅰ．当NM=NB时，
作NH⊥AB于H，则HM=HB，
当N从D运动到C时，
∵MH=HB=BM=（16-t），
由AH=DN得2t＝(16 t)+t，
解得t＝秒；
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当点N从C向D运动时，观察图象可知，只有由题意：42-2t=（16-t）+t，
解得t=秒．
Ⅱ．当MN=MB，当N从D运动到C时，
MH=AH-AM=DN-AM=2t-t=t，BM=16-t，
∵MN2=t2+122，
∴（16-t）2=122+t2，
解得t＝（秒）；
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Ⅲ．当BM=BN，当N从C运动到D时，
则BH=AB-AH=AB-DN=16-2t，
∵BM2=BN2=NH2+BH2=122+（16-2t）2，
∴（16-t）2=122+（16-2t）2，
即3t2-32t+144=0，
∵△＜0，
∴方程无实根，
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综上可知，当t=秒或秒或秒时，△BMN是等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．21*cnjy*com
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第二讲 平行四边形的判定
一、单选题
1．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．平行四边形对角线互相平分
2．如图，分别以RtABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形ACD和ABE，F为AB的中点，连接DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，其中错误的是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．AC⊥DF B．四边形BCDF为平行四边形
C．DA+DF＝BE D．÷S四边形BCDE＝
3．已知四边形，对角线和交于点O，从下列条件中：①；②；③；④．任选其中两个，以下组合能够判定四边形是平行四边形的是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
4．如图，在中，P是对角线上一点，过点P作，与和分别交于点E和点F，连结．已知，则阴影部分的面积和是（ ）
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A． B． C．5 D．10
5．如图，在四边形ABCD中，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
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A．AB∥DC， AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AD∥BC，AB＝DC D．AB∥DC，AB＝DC
6．已知的面积为36，将沿平移到，使和重合，连接交于，则的面积为（ ）
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A．10 B．14 C．18 D．24
7．如图，分别以的斜边，直角边为边向外作等边和，为的中点，，相交于点，若，下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④，其中正确结论的序号是（ ）【出处：21教育名师】
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A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
8．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点Р是对角线BD上一动点（不与D，B重合），于点F，于点E，连接AP，EF．则下列结论错误的是（ ）
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A． B．，且
C．四边形的周长是8 D．
9．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，当四边形ABCD是平行四边形时，点D的坐标为（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
10．下列命题是真命题的是（ ）
A．三角形的三条高线相交于三角形内一点
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对于所有自然数n，的值都是质数
D．三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等
11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（ ）
A．AB＝CD B．∠BAD＝∠DCB C．AC＝BD D．∠ABC＋∠BAD＝180°
12．如图，在平行四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，BC=10，则EF长为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
13．在平面直角坐标系中，已知四边形各顶点坐标分别是：，且，那么四边形周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在中，对角线，相交于点，、是对角线上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形是平行四边形的有（ ）
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A． B． C． D．
15．如图，在 ABCD中，AB=2.6，BC=4，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，则DE的长为（ ）
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A．2.6 B．1.4 C．3 D．2
16．如图，，，与相交于点O，经过点O，且与边、分别交于E、F两点，若，则图中的全等三角形有（ ）
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A．2对 B．3对 C．4对 D．6对
17．下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．有两组对角相等的四边形是平行四边形
18．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
19．如图，已知，，与相点交于点，则图中全等三角形共有（ ）对．
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A．2 B．3 C．4 D．5
20．如图，在下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
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A．AD//BC，AB=CD B．∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB
C．OA=OC，OB=OD D．AB=AD，CB=CD
21．由两个全等三角形用各种不同的方法拼成四边形，在这些拼成的四边形中是平行四边形的个数是（ ）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
22．如图,在平面直角坐标系中,三点的坐标分别是,若以为顶点的四边形为平行四边形,则点的坐标不可能是（ ）
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A． B． C． D．
23．如图，设是边上任意一点，设的面积为，的面积为，的面积为，则（ ）
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A． B． C． D．不能确定
24．如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（ ）
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A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
25．小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条、的中点重叠并用钉子固定，则四边形就是平行四边形，这种方法的依据是（ ）
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A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
26．四边形的三个相邻内角的度数依次如下，那么其中是平行四边形的为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
27．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，B ( http: / / www.21cnjy.com )C∥AD，点E、F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
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A．∠1=∠2 B．BF=DE C．AE=CF D．∠AED=∠CFB
28．如图，在中，点分别在边上.若从下列条件中只选择一个添加到图中的条件中:①；②；③；④．那么不能使四边形是平行四边形的条件相应序号是（ ）
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A．① B．② C．③ D．④
29．如图，AC、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，则图中全等三角形有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
30．有下列命题：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为，，的三角形为直角三角形；③三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；④平行四边形的对角线相等；⑤顺次连结任意四边形各边的中点组成的新四边形是平行四边形．正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
31．如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点，添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
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A． B． C． D．
32．如图的△ABC中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )>AC>BC,且D为BC上一点．现打算在AB上找一点P,在AC上找一点Q,使得△APQ与以P、D、Q为顶点的三角形全等，以下是甲、乙两人的作法：
甲：连接AD,作AD的中垂线分别交AB、AC于P点、Q点，则P、Q两点即为所求；
乙：过D作与AC平行的直线交AB于P点，过D ( http: / / www.21cnjy.com )作与AB平行的直线交AC于Q点，则P、Q两点即为所求；对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）
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A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误乙正确
33．如图，中，点E是AD上一点，BE⊥AB，△ABE沿BE对折得到△BEG，过点D作DF∥EG交BC于点F，△DFC沿DF对折，点C恰好与点G重合，则的值为（ ）
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A． B． C． D．
34．如图，四边形为平行四边形，为锐角，的平分线交于点，交的延长线于点，且．若，面积为300，则的长度为（ ）
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A．30 B．15 C．40 D．20
35．如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论:①； ②∠A=∠BHE； ③AB=BH； ④△BCF≌△DCE， 其中正确的结论是( )21*cnjy*com
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A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
36．如图，在△ABC中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝5．正确的个数是（ ）
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A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
37．如图，在中，已知，，，过的中点作，垂足为，与的延长线相交于点，则的面积是（ ）21·世纪*教育网
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A． B． C． D．
38．如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点且，下列说法中正确的是（ ）
①；②；③；④四边形为平行四边形；⑤；⑥．
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A．①⑥ B．①②④⑥ C．①②③④ D．①②④⑤⑥
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
39．如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AB于点E连接ED，若EA=3，EB=5，ED=4，CE= ________ ．
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40．如图，过平行四边形ABCD的对角 ( http: / / www.21cnjy.com )找BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是_____．
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41．如图，已知DE∥BC，AB∥CD，E为AB的中点，∠A＝∠B．下列结论：
①AC＝DE；②CD＝AE； ③AC平分∠BCD；④O点是DE的中点；⑤AC＝AB．其中正确的序号有_______．
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42．如图所示，在四边形ABCD中，，，，交BC于点，若，BC=，则_______cm．
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43．在如图的中，，且为上一点．今打算在上找一点，在上找一点，使得与全等，以下是甲、乙两人的作法：
（甲）连接，作的中垂线分别交于点、点，则两点即为所求；
（乙）过点作与平行的直线交于点，过作与平行的直线交于点，则两点即为所求；
请对甲、乙两人的做法作出判断，甲的作法_________．乙的作法_________（请用正确或错误填空）．
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44．如图，在梯形ABCD中，AD∥ ( http: / / www.21cnjy.com )BC，AB＝CD，∠ABC ＝∠C，BD平分∠ABC，AD＝2，∠C＝60°，则BC＝__________．
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45．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD中点，EF⊥BC于点F，BC=5，EF=3．
（1）若AB=DC，则四边形ABCD的面积S=__；
（2）若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′__S（用“＞”或“=”或“＜”填空）．
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46．如图，在中，CD＝2，∠B＝60°，BE∶EC＝2∶1，依据尺规作图的痕迹，则的面积为________．21世纪教育网版权所有
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47．如图，点O是 ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF=AB，G、H是BC边上的点，且GH=BC，若，则=____．
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48．如图，在四边形中，，，，点自点向以的速度运动，到点即停止．点自点向以的速度运动，到点即停止，点，同时出发，设运动时间为．当______时，四边形是平行四边形．
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三、解答题
49．如图，AD∥BC，E是BC中点，且AD＝BE，若DC＝5，求AE的长．
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50．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，点E在边AD上，且AE＝2
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（1）若直线l经过点E，将该平行四边形的面积平分，并与平行四边形的另一边交于点F，用无刻度的直尺画出点F；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）连接AF，CE，判断四边形AFCE的形状，并说明理由．
51．如图，平行四边形，，是直线上两点，且．求证：四边形是平行四边形．
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52．如图是某区部分街道示意图，其中垂直平分．从站乘车到站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是，且长度为5公里，路线2是，求路线2的长度．2·1·c·n·j·y
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53．如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA=OB，E、F分别是OC，OD中点．
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(1)求证：OD=OC．
(2) 求证：四边形AFBE平行四边形．
54．如图，E、F是 ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接BE、ED、DF、FB．
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（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；
（2）若BE＝4，EF＝2，求BD的长．
55．在平行四边形中，点为边的中点，连接，将沿着翻折，点落在点处，连接并延长，交于．21*cnjy*com
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（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，的周长为20，求四边形的周长．
56．如图，点和点是平行四边形对角线上的两点，连接、、和，．
求证：四边形是平行四边形．
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57．在中，是对角线，于点E，于点F．
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（1）求证：；
（2）试判断四边形是不是平行四边形，并说明理由．
58．如图，已知在中，是对角线上的两点，，点分别在BA和DC的延长线上，且，连接．求证：四边形GEHF是平行四边形．
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59．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，延长到点E，使，连接．
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（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，，若，求的周长．
60．在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．
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61．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．21cnjy.com
（1）求证：AEF≌DEC；
（2）求证：四边形ACDF是平行四边形．
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62．如图，在四边形ABCD中，ADBC，AD=6，BC=16，AB=8，∠ABC=60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）设△BPQ的面积为s，求s与t之间的函数关系式；
（2）当t= 时，△BPQ的面积与四边形PQCD的面积相等；
（3）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？
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63．如图，在△OAB中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为一边,在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．21教育网
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形．
（2）求四边形ABCE的面积．
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64．如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC．分别交AB、AC于M、N．【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）求证：BM+CN＝MN．
（2）如图2，若△ABC是等边三角形，请从以下两个问题任选一题作答．若两题都作答，以问题①计分．
问题①BC＝6，求MN的长．
问题②求证：O是MN的中点．
65．在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点．
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（1）当点在边上时，如图①，求证：．
（2）当点在边的延长线上时，如图②，线段，，之间的数量关系是_____，为什么？
（3）当点在边的反向延长线上时，如图③，线段，，之间的数量关系是____（不需要证明）．
66．已知：AB⊥CD于点O，AB=AC=CD，点I是∠BAC，∠ACD的平分线的交点，连接IB，ID
（1）求证：且；
（2）填空：
①∠AIC+∠BID=_________度；
②S______S(填“﹥”“﹤”“=”)
（3）将（2）小题中的第②结论加以证明．
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67．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，，．
（1）求证：．
（2）已知，连接BN，若N平分，求CN的长．
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68．如图，在四边形中，，，是的中点，是边上的一动点（与，不重合），连接并延长交的延长线于．【版权所有：21教育】
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（1）试说明不管点在何位置，四边形始终是平行四边形．
（2）当点在点，之间运动到什么位置时，四边形是平行四边形？并说明理由．
69．在等腰中，，，点、分别在、上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，交于点21教育名师原创作品
（1）如图1，若点为中点，，，求的长；
（2）如图2，求证：．
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70．如图，在四边形中，，，，，，动点N从点D出发，以每秒的速度在射线上运动到C点返回，动点M从点A出发，在线段上，以每秒的速度向点B运动，点M，N分别从点A，D同时出发．当点M运动到点B时，点N随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形是平行四边形．
（2）是否存在点N，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．
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