第三讲 三角形的中位线(基础讲解)（含解析）

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第三讲 三角形的中位线
【学习目标】
1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．
【知识总结】
一、三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
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要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
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（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
【典型例题】
【类型】一、三角形中位线有关的求解问题
例1．如图，中，，点D，E分别是的中点，点F在的延长线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求四边形的周长．
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【解析】
（1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；
（2）分别利用中位线定理和直角三角形斜边中线性质得到DE和CD，从而计算结果．
（1）证明：∵∠ACB=90°，AD= ( http: / / www.21cnjy.com )DB，
∴CD=DA=DB，
∴∠DAC=∠DCA，
∵∠CEF=∠A，
∴∠CEF=∠DCE，
∴CD∥EF，
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE∥CF，
∴四边形DCEF是平行四边形．21教育网
（2）∵D、E分别是AB、AC的中点，，
∴DE=BC=1，CD=AB=3，
∴四边形的周长为（1+3）×2=8．
【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质和中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21cnjy.com
【训练】已知，如图，CD是Rt△FBE的中位线，A是EB延长线上一点，且AB=BE．
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠E=60°，AD=3cm，求BE的长．
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（1）证明：∵CD是Rt△FBE的中位线，
∴CD∥BE，CD=BE，
∴AB=BE，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3cm，
∵CD是Rt△FBE的中位线，
∴BC=CE=EF，
∵∠E=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=BC=3cm．
【点拨】此题考查了平行四边形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．注意利用三角形中位线的性质，证得CD∥AB，CD=AB是解此题的关键．
【类型】二、三角形中位线与面积问题
例2．如图，为的中线，为的中线．
（1），，求 的度数；
（2）若的面积为40，，则到边的距离为多少．
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【答案】（1）；（2）4．
【分析】
（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；
（2）过作边的垂线即可得：到边的距离为的长，然后过作边的垂线，再根据三角形中位线定理求解即可．2·1·c·n·j·y
解：（1）是的外角，
；
（2）过作边的垂线，为垂足，则为所求的到边的距离，
过作边的垂线，
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为的中线，，
，
的面积为40，
，即，解得，
∵为的中线，
∴，
又∵为的中线，
∴，
则有：
．
即到边的距离为4．
【点拨】本题考查了三角形外角的性质、三角形中位线的性质及三角形的面积公式，添加适当的辅助线是解题的关键．21世纪教育网版权所有
【训练】如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O．
（1）求证：四边形EBCF是等腰梯形；
（2）EF=1，求四边形EBCF的面积．
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（1）证明：∵点E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF//BC，BE=AB=AC=CF，
∴四边形EBCF是等腰梯形；
（2）如图，延长BC至点G，使CG=EF，连接FG，
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∵EF//BC，即EF//CG，且CG=EF，
∴四边形EFGC是平行四边形，
又∵四边形EBCF是等腰梯形，
∴FG=EC=BF，
∵EF=CG，FC=BE，
∴△EFB≌△CGF（SSS），
∴，
∵GC=EF=1，且EF=BC，
∴BC=2，
∴BG=BC+CG=1+2=3．
∵FG//EC，
∴∠GFB=∠BOC=90°，
∴FH=BG=，
∴．
【点拨】本题考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．www.21-cn-jy.com
【类型】三、与三角形有关的证明
例3．已知：如图AB＝AC，AB⊥AC，AD＝AE，AD⊥AE，点M为CD的中点
求证：2AM＝BE
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【分析】作CN∥AM，交DA延长线于N，根据AM∥CN，点M是CD的中点，得到AM是△DCN的中位线，推出CN=2AM，AE=AN，根据∠BAC=∠DAE=证出∠CAN=∠BAE，证得△BAE≌△CAN，推出BE=CN，由此得到结论．【来源：21·世纪·教育·网】
证明：如图，作CN∥AM，交DA延长线于N，
∵AM∥CN，点M是CD的中点，
∴AM是△DCN的中位线，
∴CN=2AM，AD=AN，
∴AE=AN，
∵AD⊥AE，AB⊥AC，
∴∠BAC=∠DAE=
∴∠EAN=，
∴∠CAE+∠EAN=∠BAC+∠CAE，
∴∠CAN=∠BAE，
∵AB=AC，AE=AN，
∴△BAE≌△CAN，
∴BE=CN，
∴2AM=BE．
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【点拨】此题考查全等三角形的判定及性质，三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形中位线的性质，题中辅助线的引出是解题的关键，在三角形中，已知一边中点时，通常是利用中点构造全等三角形解决问题．21·世纪*教育网
【训练】如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．www-2-1-cnjy-com
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证明：四边形EFGH是平行四边形，理由如下
连接AC，如图．
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∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，且EF=AC，
同理HG∥AC，且HG=AC，
∴EF∥HG，且EF=HG．
∴四边形EFGH是平行四边形．
【点拨】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线．
【类型】四、三角形中位线的应用
例4．在中，，分别是上的点，且，作平分交于点，在上取点，使，连接并延长，交的延长线于点，连接.
（1）求证：；
（2）若，求的大小
（3）在（2）的条件下，若四边形的面积为，请直接写出的面积（用含的式子表示）
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【分析】
（1）由已知证明可得出=90°，即
（2）根据已知由中垂线性质可得，即，由即可得出.
(3)由已知可推出.
（1）证明：平分，
，
在和中，
，即；
（2），
由中垂线性质得：，
在中，，
又，
（3）由已知可得：.
【点拨】本题考查三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理的性质及判定是解题关键.
【训练】如图，直线与轴相交于点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点．21·cn·jy·com
求直线的函数关系式；
点是上的一点，若的面积等于的面积的倍，求点的坐标．
设点 的坐标为 ，是否存在 的值使得 最小？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．2-1-c-n-j-y
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【答案】（1）y=x-2；（2）（ ，）或（， ）；（3）（，3）．
【分析】
（1）把点（3，-1），点B（6，0）代入直线l2，求出k、b的值即可；
（2）设点P的坐标为（t， t-2），求出D点坐标，再由S△ABP=2S△ABD求出t的值即可；
（3）作直线y=3，作点A关于直线y=3的对称点A′，连结A′B，利用待定系数法求出其解析式，根据点Q（m，3）在直线A′B上求出m的值，进而可得出结论．21*cnjy*com
解：（1）由题知：
解得：，
故直线l2的函数关系式为：y=x-2；
（2）由题及（1）可设点P的坐标为（t， t-2）．
解方程组 ，得 ，
∴点D的坐标为（，-）．
∵S△ABP=2S△ABD，
∴AB |t-2|=2×AB |-|，即|t-2|=，解得：t=或t=，
∴点P的坐标为（ ，）或（， ）；
（3）作直线y=3（如图），再作点A关于直线y=3的对称点A′，连结A′B．【来源：21cnj*y.co*m】
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由几何知识可知：A′B与直线y=3的交点即为QA+QB最小时的点Q．
∵点A（3，0），
∴A′（3，6）
∵点B（6，0），
∴直线A′B的函数表达式为y=-2x+12．
∵点Q（m，3）在直线A′B上，
∴3=-2m+12
解得：m=，
故存在m的值使得QA+QB最小，此时点Q的坐标为（，3）．【出处：21教育名师】
【点拨】此题考查一次函数综 ( http: / / www.21cnjy.com )合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点，轴对称最短路线问题，三角形的面积公式，解题关键在于在解答（3）时要注意作出辅助线，利用轴对称的性质求解．
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