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第三讲 三角形的中位线
一、单选题
1．如图，在中，，，，D、E分别是、的中点，则的长为（ ）
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A．3 B．2.5 C．4 D．3．5
2．中，D、E分别为AB、AC边的中点，若BC=8cm，则DE为（ ）
A．16cm B．8cm C．4cm D．2cm
3．如图，DE是△ABC的中位线，DE＝5，BC＝（ ）．
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A．5 B．10 C．2.5 D．25
4．如图，在△ABC中，AC＝10，DE是△ABC的中位线，则DE的长度是（ ）
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A．3 B．4 C．4.8 D．5
5．如图在中，点点分别是边的中点，则的值为（ ）
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A． B． C． D．
6．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距 ( http: / / www.21cnjy.com )离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED．现测得AC=42m，BC=64m，DE=26m，则AB等于（ ）【出处：21教育名师】
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A．42m B．52m C．56m D．64m
7．若三角形的各边长分别是8，10和16，则以各边中点为顶点的三角形的周长为（ ）
A．34 B．30 C．29 D．17
8．如图，在四边形中，，，、、分别是、、的中点，若，，则等于（ ）
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A．76° B．56° C．38° D．28°
9．如图，△ABC的边AB，BC，CA的中点分别是D，E，F，已知AB＝8，AC＝10，则四边形ADEF的周长是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．8 B．9 C．10 D．18
10．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若DE＝4，则BC的值为（ ）
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A．9 B．8 C．6 D．4
11．如图，AD为△ABC中∠ BAC的外角平分线，BD⊥AD于D，E为BC中点，DE=5，AC=3，则AB长为（）2·1·c·n·j·y
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A．8.5 B．8 C．7.5 D．7
12．如图，在中，分别是边的中点，已知，则的长（ ）
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A． B． C． D．
13．在四边形 ABCD 中， ( http: / / www.21cnjy.com )AD＝BC，E、M，F 分别为 AB，BD，CD 的中点，若∠EMF＝120°，则∠MEF 等于( )www-2-1-cnjy-com
A．20° B．25° C．30° D．35°
14．如图，为测量池塘边，两点的距离，嘉淇在池塘的一侧选取一点，测得，的中点分别是点，，且米，则点，之间的距离为（ ）
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A．30米 B．28米 C．24米 D．18米
15．如图，在Rt△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )C＝90°，∠A＝30°，D是AC边的中点，DE⊥AC于点D，交AB于点E，若AB＝16，则DE的长是（ ）
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A．8 B．6 C．4 D．2
16．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB ( http: / / www.21cnjy.com )外选一点C，连结AC和BC，分别找出AC和BC的中点M、N，测得MN=20m，那么A、B两点的距离是( )
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A．10m B．20m C．30m D．40m
17．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，AC＝6，D、E分别是BC、CA的中点，则△DEC的周长为（ ）
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A．18 B．8 C．10 D．9
18．如图，在四边形中，点是边上的动点，点是边上的定点，连接，分别是的中点，连接.点在由到运动过程中，线段的长度（ ）
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A．保持不变 B．逐渐变小 C．先变大，再变小 D．逐渐变大
19．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的中点，若DE=3，则AB等于( )
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A．4 B．5 C．5.5 D．6
20．如图所示，在中，是边上任一点，分别是的中点，连结，若的面积为6，则的面积为（ ）
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A．32 B．48 C．64 D．72
21．如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O， 点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（ ）
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A．12 B．15 C．18 D．21
22．如图，在四边形中，E，F分别为、的中点，G是的中点，则与的关系是（ ）
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A． B． C． D．不确定
23．已知等腰三角形的两条中位线的长分别为3和5，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．22 B．26 C．22或26 D．13
24．如图所示，在中，，，分别是，，的中点，，，则四边形的周长是（ ）
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A．10 B．20 C．30 D．40
25．如图，已知四边形中，、分别为、上的点，、分别为、的中点．当点在上从点向点移动而点不动时，那么下列结论成立的是（ ）21cnjy.com
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A．线段的长逐渐增大 B．线段的长不变
C．线段的长逐渐减小 D．线段的长与点的位置有关
26．如图，在中，，，D是边的中点，于点D，交于点E，若，则的长是（ ）
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A．8 B．6 C．4 D．2
27．如图，在中，是上一点，于点，点是的中点，若，则的长为（ ）
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A． B． C． D．
28．如图，在ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD于点E，点F是BC的中点，若BD＝10，则EF的长为（ ）
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A．8 B．10 C．5 D．4
29．如图，是的边的中点平分．且，垂足为且，．，则的周长是（ ）
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A．24 B．25 C．26 D．28
30．如图，已知四边形中，R、P分别是、上的点，E、F分别是、的中点，当点P在上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
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A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变 D．以上说法都不对
31．如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，，为的中点，则点到射线的距离为（ ）．
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A． B．1 C． D．4
32．如图所示，M是的边的中点，平分于点N，且，，则的长是（ ）
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A．12 B．14 C．16 D．18
33．如图，在中，，点分别是边上的动点，连接，点分别为的中点，连接，则的最小值为（ ）．
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A． B． C． D．1
34．图中的大正方形是由4个小正方形组成的，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则AC边上的高为（ ）
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A． B． C． D．
35．如图所示，在四边形中，，分别是，的中点．若，，，则点到的距离等于（ ）
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A． B． C． D．
36．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直 ( http: / / www.21cnjy.com )线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为h2015，到BC的距离记为h2015．若h1=1，则h2015的值为（ ）
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A． B． C． D．
37．如图，D，E分别是△ABC边BA，BC的中点，AC＝5，则DE的长为（ ）
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A． B．10 C．3 D．4
38．如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则，之间的距离为（ ）21·cn·jy·com
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A． B． C． D．
39．如图，在中，对角线相交于点O，点E，F分别是的中点，连接，若，则的长为（ ）21*cnjy*com
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A．10 B．8 C．6 D．4
40．如图，的对角线与相交于点，且．若是边的中点，，，则的长为（ ）
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A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
41．如图，是的中线，点、分别是、的中点，，则_________．
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42．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若BC＝10，则DE＝____．
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43．如图，两点被池塘隔开，在池塘外选取点，连接，并分别取的中点若测得则两点间的距离是__________21教育网
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44．如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，且BC=7，则DE=______．
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45．如图，四边形中，，，若，，为的中点，则的长为_______．
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46．如图，在中，已知AB=8，BC=6，AC=7，依次连接的三边中点，得到，再依次连接的三边中点，得到，，按这样的规律下去，的周长为____．
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47．如图，点D、E分别 ( http: / / www.21cnjy.com )是边AB、AC上的点，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点，连接FG、GH、FH，若BD=8，CE=6，∠FGH=90°，则FH长为____．
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48．如图，在平行四边形中，平分，，连接，是的中点，连接，若，则_____．
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49．如图，ABC中，DE垂直平分BC，CE平分∠ACB，FG为ACE的中位线，连接DF，若∠DFG＝108°，则∠AED＝_____．
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50．如图，四边形ABCD中，∠A＝90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为_____．
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51．如图，在中，，．，分别是，的中点，，为上的动点，且．连接，，则图中阴影部分的面积和为______．【来源：21·世纪·教育·网】
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三、解答题
52．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程
已知：直线l及直线l外一点P．
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求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
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①在直线l上取一点A，作射线AP，以点P为圆心，PA长为半径画弧，交AP的
延长线于点B；
②以点B为圆心，BA长为半径画弧，交l于点C（不与点A重合），连接BC；
③以点B为圆心，BP长为半径画孤，交BC于点Q；
④作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：∵PB＝PA，BC＝ ，BQ＝PB，
∴PB＝PA＝BQ＝ ．
∴PQ∥l（ ）（填推理的依据）．
53．如图，已知：、分别是的边和边的中点，连接、，若，求的面积.
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54．如图，D、 E 、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H.求证：DF=EH.
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55．如图，在△ABC中，D是BC上一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，求证：EG、HF互相平分．21世纪教育网版权所有
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56．已知：如图，在四边形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD．E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H．求证：OG=OH．21*cnjy*com
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57．在中，，E、F分别是、的中点，延长到点D，使，连接、、、，与交于点O．
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（1）试说明与互相平分；
（2）若，求的长．
58．已知：在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：四边形BEFD是平行四边形．
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59．如图，中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．
（1）求证：；
（2）求证：．
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60．已知：如图，是的中位线，是边上的中线，和交于点O．求证：与互相平分．
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61．如图，为的角平分线，为上一点，，连结．
（1）求证：；
（2）若，，，求的面积．
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62．如图，在中，点、分别为、的中点，点在的延长线上，．
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求证：．
63．阅读下面材料，完成任务．
三角形中位线定理
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．关于中位线有如下定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图①，在中，，分别是，的中点．（是的一条中位线)则有，．21·世纪*教育网
下面是该定理的部分证明过程：如图②延长至点，使，连结，……
任务：
（1）请按照上面的思路，写出该证明的剩余部分．
（2）已知：如图③，在中，，，．
求证：、互相平分．
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64．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．【来源：21cnj*y.co*m】
求证：四边形EGFH是平行四边形．
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65．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF=DE，连接BF．求证：BF=DC；
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66．如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点位置，点B和点C重合．求证：四边形ACE是平行四边形．
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67．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，点、、都在格点上，点、分别是线段、的中点．【版权所有：21教育】
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（1）图中的是不是直角三角形？答：__________；(填“是”或“不是”)
（2）计算线段的长．
68．如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF＝2，则BC＝_____．2-1-c-n-j-y
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69．如图，D是△ABC内一点，连接DB、DC、DA，并将AB、DB、DC、AC的中点E、H、G、F依次连接，得到四边形EHGF．21教育名师原创作品
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（1）求证：四边形EHGF是平行四边形；
（2）若BD⊥CD，AD＝7，BD＝8，CD＝6，求四边形EHGF的周长．
70．小易同学在数学学习时，遇到这样一个问题：如图，已知点在直线外，请用一把刻度尺（仅用于测量长度和画直线），画出过点且平行于的直线，并简要说明你的画图依据.
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小易想到一种作法：
①在直线上任取两点、（两点不重合）；
②利用刻度尺连接并延长到，使；
③连接并量出中点；
④作直线.
∴直线即为直线的平行线.
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（1）请依据小易同学的作法，补全图形.
（2）证明：∵，
∴为的中点，
又∵为中点，
∴（ ）
（3）你还有其他画法吗？请画出图形，并简述作法.
作法：
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第三讲 三角形的中位线
一、单选题
1．如图，在中，，，，D、E分别是、的中点，则的长为（ ）
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A．3 B．2.5 C．4 D．3．5
【答案】B
【分析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等于的一半．
【详解】
解：点、分别是边、的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查三角形的中位线定理，三角形共有三条中位线，每一条中位线与第三边都有相应的位置关系和数量关系，弄清哪条边昰第三边是解本题的关键．21教育网
2．中，D、E分别为AB、AC边的中点，若BC=8cm，则DE为（ ）
A．16cm B．8cm C．4cm D．2cm
【答案】C
【分析】
先画出图形，再根据三角形的中位线定理即可得．
【详解】
由题意，画出图形如下：
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点D、E分别为AB、AC边的中点，
是的中位线，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，熟记三角形的中位线定理是解题关键．
3．如图，DE是△ABC的中位线，DE＝5，BC＝（ ）．
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A．5 B．10 C．2.5 D．25
【答案】B
【分析】
结合题意，根据中位线的性质，得到DE和BC的关系式，即可得到答案．
【详解】
∵DE是△ABC的中位线
∴
∵DE＝5
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形中位线的知识；解题的关键是熟练掌握中位线的性质，从而完成求解．
4．如图，在△ABC中，AC＝10，DE是△ABC的中位线，则DE的长度是（ ）
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A．3 B．4 C．4.8 D．5
【答案】D
【分析】
直接根据中位线的性质即可求解．
【详解】
解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC＝×10＝5，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查中位线的性质，熟练掌握中位线的性质是解题关键．
5．如图在中，点点分别是边的中点，则的值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
解：∵点D，点E分别是AB，AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
6．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的 ( http: / / www.21cnjy.com )距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED．现测得AC=42m，BC=64m，DE=26m，则AB等于（ ）21*cnjy*com
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A．42m B．52m C．56m D．64m
【答案】B
【分析】
利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】
】解：∵CD=DA，CE=EB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB，
∵DE=26m，
∴AB=52m，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形的中位线定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．若三角形的各边长分别是8，10和16，则以各边中点为顶点的三角形的周长为（ ）
A．34 B．30 C．29 D．17
【答案】D
【分析】
根据三角形中位线定理即可得．
【详解】
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半
则以各边中点为顶点的三角形的周长等于原三角形的周长的一半，即
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理是解题关键．
8．如图，在四边形中，，，、、分别是、、的中点，若，，则等于（ ）
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A．76° B．56° C．38° D．28°
【答案】D
【分析】
利用、分别是和两个三角形的中位线，求出，从而得出和，再根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数．【版权所有：21教育】
【详解】
解：∵、、分别是、、的中点，
∴、分别是和两个三角形的中位线，
∴，，且，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
故本题答案为：D．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，等 ( http: / / www.21cnjy.com )腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理.解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握三角形中位线定理，通过等腰三角形的性质找到相等的角．21*cnjy*com
9．如图，△ABC的边AB，BC，CA的中点分别是D，E，F，已知AB＝8，AC＝10，则四边形ADEF的周长是（ ）
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A．8 B．9 C．10 D．18
【答案】D
【分析】
根据线段中点的概念求出AD、AF，根据三角形中位线定理求出DE、EF，计算即可．
【详解】
解：∵△ABC的边AB、BC、CA的中点分别是D、E、F，
∴AD=AB=4，AF=AC=5，DE=AC=5，EF=AB=4，
∴四边形ADEF的周长=4+5+5=4=18，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
10．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若DE＝4，则BC的值为（ ）
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A．9 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【分析】
根据三角形的中位线定理进行求解．
【详解】
∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝2×4＝8，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
11．如图，AD为△ABC中∠ BAC的外角平分线，BD⊥AD于D，E为BC中点，DE=5，AC=3，则AB长为（）2·1·c·n·j·y
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A．8.5 B．8 C．7.5 D．7
【答案】D
【分析】
延长BD、CA交于点F，易证△ADF△ADB（ASA），则BD=DF，AB=AF，得到点D为BF中点，即DE为△BCF的中位线，再根据已知线段的长度，即可顺利求得AB的长．
【详解】
解：如图，分别延长BD、AC交于点F，
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∵AD为△ABC中∠BAC的外角平分线，
∴∠FAD=∠BAD，
∵BD⊥AD，
∴∠FDA=∠BDA=90°，
在△BDA和△FDA中，，
∴△BDA△FDA（ASA），
∴AB=AF，BD=FD，即D为BF的中点，
∵E为BC中点，
∴DE为△BCF的中位线，
∵DE=5，AC=3，
∴CF=2DE=25=10，
∴AF=CF-AC=10-3=7．
∴AB=AF=7．
故选D．
【点睛】
本题考查三角形的综合，涉 ( http: / / www.21cnjy.com )及的知识点有全等三角形的判定，中位线定理等，难度一般，是中考的常考知识点，正确作出辅助线并证明全等是顺利解题的关键．
12．如图，在中，分别是边的中点，已知，则的长（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由D，E分别是边AB，AC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得DE的值即可．
【详解】
∵△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
故DE＝AD＝×10＝5．
故选：D．
【点睛】
考查三角形中位线定理，中位 ( http: / / www.21cnjy.com )线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
13．在四边形 ABCD 中，AD＝BC， ( http: / / www.21cnjy.com )E、M，F 分别为 AB，BD，CD 的中点，若∠EMF＝120°，则∠MEF 等于( )
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C
【分析】
根据三角形中位线定理可知EMF为等腰三角形，从而可求得∠MEF的大小．
【详解】
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∵E、M，F 分别为 AB，BD，CD 的中点，
∴EM=AD，FM=BC，
∵AD=BC，
∴EM=FM，
∴EMF为等腰三角形，
∴∠MEF=．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，根据三角形中位线定理判定EMF为等腰三角形是解题的关键．
14．如图，为测量池塘边，两点的距离，嘉淇在池塘的一侧选取一点，测得，的中点分别是点，，且米，则点，之间的距离为（ ）
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A．30米 B．28米 C．24米 D．18米
【答案】B
【分析】
根据三角形中位线定理解答．
【详解】
∵点M、N分别是CA、CB的中点，
∴MN是的中位线，
∴AB=2MN=2=28(米)，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C ( http: / / www.21cnjy.com )＝90°，∠A＝30°，D是AC边的中点，DE⊥AC于点D，交AB于点E，若AB＝16，则DE的长是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】
根据直角三角形的性质得到BC＝AB＝8，根据三角形的中位线的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90，∠A＝30，AB＝16，
∴BC＝AB＝8，
∵DE⊥AC，∠C＝90，
∴DE∥BC，
∵D是AC边的中点，
∴AD＝CD，
∴AE＝BE，
∴DE＝BC＝4，
故选：C．
【点睛】
本题考查了含30角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
16．如图，A、B两点被池塘隔开，在 ( http: / / www.21cnjy.com )AB外选一点C，连结AC和BC，分别找出AC和BC的中点M、N，测得MN=20m，那么A、B两点的距离是( )
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A．10m B．20m C．30m D．40m
【答案】D
【分析】
根据三角形中位线的性质即可得出答案．
【详解】
∵M,N分别是AC,BC的中点，
∴MN为的中位线．
∵MN=20m，
∴ ．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查三角形中位线的性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，AC＝6，D、E分别是BC、CA的中点，则△DEC的周长为（ ）
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A．18 B．8 C．10 D．9
【答案】D
【分析】
根据三角形中位线的性质可得出DE,CD,EC的长度，则△DEC的周长可求．
【详解】
∵D、E分别是BC、CA的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∵AB＝4，BC＝8，AC＝6，
∴DE＝AB＝2，EC＝AC＝3，CD＝CB＝4，
∴△DEC的周长＝2+3+4＝9，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查三角形中位线，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
18．如图，在四边形中，点是边上的动点，点是边上的定点，连接，分别是的中点，连接.点在由到运动过程中，线段的长度（ ）
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A．保持不变 B．逐渐变小 C．先变大，再变小 D．逐渐变大
【答案】A
【分析】
连接AQ，则可知EF为△PAQ的中位线，可知EF＝AQ，可知EF不变．
【详解】
如图，连接AQ，
∵E、F分别为PA、PQ的中点，
∴EF为△PAQ的中位线，
∴EF＝AQ，
∵Q为定点，
∴AQ的长不变，
∴EF的长不变，
故选：A．
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【点睛】
本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的中点，若DE=3，则AB等于( )
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A．4 B．5 C．5.5 D．6
【答案】D
【分析】
由两个中点连线得到DE是中位线，根据DE的长度即可得到AB的长度.
【详解】
∵点D是BC的中点，点E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=6，
故选：D.
【点睛】
此题考查三角形的中位线定理，三角形两边中点的连线是三角形的中位线，平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
20．如图所示，在中，是边上任一点，分别是的中点，连结，若的面积为6，则的面积为（ ）
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A．32 B．48 C．64 D．72
【答案】B
【分析】
过点F作FH⊥BC于点H，交GE于点M，由题意易得，，进而可得，然后可得，最后问题可求解．
【详解】
解：过点F作FH⊥BC于点H，交GE于点M，如图所示：
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∵点分别是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点F是AD的中点，
∴，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】
本题主要考查三角形中位线及三角形的中线，熟练掌握三角形中位线及三角形的中线是解题的关键．
21．如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O， 点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（ ）
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A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE=BC，所以易求△DOE的周长．
【详解】
解：∵ ABCD的周长为36，
∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，
∴OD=OB=BD=6．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE=CD，
∴OE=BC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15，
即△DOE的周长为15．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．
22．如图，在四边形中，E，F分别为、的中点，G是的中点，则与的关系是（ ）
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A． B． C． D．不确定
【答案】C
【分析】
由题意易得，然后根据三角形三边关系可进行排除选项．
【详解】
解：∵E，F分别为、的中点，G是的中点，
∴，
由三角形三边关系可得：，即，
∴，
当四边形是平行四边形时，则有，
∴；
故选C．
【点睛】
本题主要考查三角形中位线，熟练掌握三角形中位线是解题的关键．
23．已知等腰三角形的两条中位线的长分别为3和5，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．22 B．26 C．22或26 D．13
【答案】C
【分析】
根据三角形中位线定理求出等腰三角形的两边长，分腰为10、腰为6两种情况，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】
解：等腰三角形的两条中位线长分别为3和5，
根据三角形中位线定理可知，等腰三角形的两边长为6和10，
当腰为10时，则三边长为10，10，6时，周长为26；
当腰为6时，则三边长为6，6，10时，周长为22，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
24．如图所示，在中，，，分别是，，的中点，，，则四边形的周长是（ ）
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A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】A
【分析】
根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，以及中点的定义可得，，再根据四边形的周长的定义计算即可得解
【详解】
解：在中，、、分别是、、的中点，
，，
四边形的周长是．
故选：．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，中点的定义以及四边形周长的定义，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．
25．如图，已知四边形中，、分别为、上的点，、分别为、的中点．当点在上从点向点移动而点不动时，那么下列结论成立的是（ ）
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A．线段的长逐渐增大 B．线段的长不变
C．线段的长逐渐减小 D．线段的长与点的位置有关
【答案】B
【分析】
因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，线段EF的长不变．
【详解】
解：因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF平行与AR，且等于AR的一半．
所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变．
故选：B．
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【点睛】
主要考查中位线定理．在解决与中位线定理有关的动点问题时，只要中位线所对应的底边不变，则中位线的长度也不变．
26．如图，在中，，，D是边的中点，于点D，交于点E，若，则的长是（ ）
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A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】
根据直角三角形的性质得到AB=2BC，利用勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理求出DE．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，
设BC=x，则AB=2x，
∴，
解得：x=8或-8（舍），
∴BC=8，
∵D是边的中点，，
∴DE=BC=4，
故选C．
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．2-1-c-n-j-y
27．如图，在中，是上一点，于点，点是的中点，若，则的长为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先根据可得△ACD为等腰三角形，再由结合“三线合一”性质可得E为CD的中点，从而得到EF为△CBD的中位线，最终根据中位线定理求解即可．
【详解】
∵，
∴△ACD为等腰三角形，
∵，
∴E为CD的中点，（三线合一）
又∵点是的中点，
∴EF为△CBD的中位线，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰三角形三线合一的性质以及中位线的性质，准确判断出中位线是解题关键．
28．如图，在ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD于点E，点F是BC的中点，若BD＝10，则EF的长为（ ）
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A．8 B．10 C．5 D．4
【答案】C
【分析】
根据等腰三角形的三线合一得到，再根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
∵，，
∴，
∵，，
∴,
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的三线合一定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
29．如图，是的边的中点平分．且，垂足为且，．，则的周长是（ ）
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A．24 B．25 C．26 D．28
【答案】C
【分析】
延长BN交AC于D，根据等腰三角形的性质得到AD=AB=6，BN=ND，根据三角形中位线定理得到DC=2MN=4，计算即可．
【详解】
解：延长BN交AC于D，
∵AN平分∠BAC，BN⊥AN，
∴AD=AB=6，BN=ND，又M是△ABC的边BC的中点，
∴DC=2MN=4，
∴AC=AD+DC=10，
则△ABC的周长=AB+AC+BC=6+10+10=26，
故选C．
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【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
30．如图，已知四边形中，R、P分别是、上的点，E、F分别是、的中点，当点P在上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
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A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变 D．以上说法都不对
【答案】C
【分析】
连接AR，E、F分别是、的中点，AR不变，根据中位线定理可得，据此解题．
【详解】
连接AR，如图，
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因为AR不变，
E、F分别是、的中点，
由中位线的性质得，
当点P在上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形中位线定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
31．如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，，为的中点，则点到射线的距离为（ ）．21世纪教育网版权所有
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A． B．1 C． D．4
【答案】D
【分析】
作于点E，于点N，根据角平分线的性质可求出PE，再根据三角形中位线定理即可得出答案．
【详解】
如图，作于点E，于点N，
∵OP平分，，
∴PE=PD=8，
∵，
∴
又∵M为中点，
∴，即MN到射线OB的距离为4．
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故选D
【点睛】
本题考查角平分线的性质，三角形中位线定理．掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．
32．如图所示，M是的边的中点，平分于点N，且，，则的长是（ ）
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A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【分析】
延长BN交AC于D，证明△ANB≌△AND，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：延长BN交AC于D，
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=∠CAN，
∵BN⊥AN，
∴∠ANB=∠AND=90°，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND，
∴AD=AB=8，BN=ND，
∵M是△ABC的边BC的中点，
∴DC=2MN=6，
∴AC=AD+CD=14，
故选：B．
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【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
33．如图，在中，，点分别是边上的动点，连接，点分别为的中点，连接，则的最小值为（ ）．21教育名师原创作品
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A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】
连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可求出的最小值．
【详解】
解：如图，连接，
、分别为、的中点，
，
的最小值，就是的最小值的一半，
当时，最小，
中，，，
，
，
的最小值是．
故选：．
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【点睛】
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是确定的最小值，就是的最小值．
34．图中的大正方形是由4个小正方形组成的，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则AC边上的高为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用勾股定理求出AC的长，再利用网格采取分割法求出三角形ABC的面积，利用面积公式求出AC边上的高即可．
【详解】
小正方形边长为1，利用网格与勾股定理求得AC=，
S△ABC=S正方形ADEF-S△ADC-S△CEB-S△AFB=4-1--1=，
设AC边上的高为h，
∵，
∴，
故选择：A．
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【点睛】
本题考查勾股定理，正方形面积，三角形面积，掌握勾股定理以及面积额的求法，会利用面积求三角形的高是解题关键．
35．如图所示，在四边形中，，分别是，的中点．若，，，则点到的距离等于（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
连接BD，根据中位线的性质得出EF∥BD，且EF=BD，进而利用勾股定理的逆定理得出△BDC是直角三角形，利用等面积法即可求解．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
解：连接BD，
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∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF∥BD，且EF=BD，
∵EF=4，
∴BD=8，
∵BD=8，BC=10，CD=6，
∴82+62=102，即BD2+CD2=BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，
设点D到BC的距离为h，
∴，
∴6×8=10h，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积的应用，能证明△BDC是直角三角形是解此题的关键．
36．如图，将△ABC沿着过A ( http: / / www.21cnjy.com )B中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为h2015，到BC的距离记为h2015．若h1=1，则h2015的值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA1=DB，从而可得∠ADA1=2∠B，结合折叠的性质可得∠ADA1=2∠ADE，可得∠ADE=∠B，继而判断DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，证得AA1⊥BC，得到AA1=2，求出h1=2-1=1，同理，h2=2-，h3=2-×=2-，经过第n次操作后得到的折痕Dn-1En-1到BC的距离hn=2-．
【详解】
解：连接AA1，由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA=DA1，
又∵D是AB中点，
∴DA=DB，DB=DA1，
∴∠BA1D=∠B，
∴∠ADA1=2∠B，
又∵∠ADA1=2∠ADE，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴AA1⊥BC，
∴AA1=2，
∴h1=2﹣1=1，
同理，h2=，
…
∴经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn=，
∴，
故选D．
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【点睛】
此题考查了翻折变换（折叠 ( http: / / www.21cnjy.com )问题），三角形中位线，平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
37．如图，D，E分别是△ABC边BA，BC的中点，AC＝5，则DE的长为（ ）
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A． B．10 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
直接利用中位线的定义得出DE是△ABC的中位线，进而利用中位线的性质得出答案．
【详解】
∵点D、E分别是△ABC的边BA、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AC=．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了三角形中位线定理，正确得出DE是△ABC的中位线是解题关键．
38．如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则，之间的距离为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据三角形中位线定理计算即可；
【详解】
∵，的中点，，
∴，
∵，
∴；
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了三角形中位线定理，准确理解计算是解题的关键．
39．如图，在中，对角线相交于点O，点E，F分别是的中点，连接，若，则的长为（ ）
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A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【分析】
根据已知条件可以得到是的中位线，则，再利用平行四边形的性质得出即可．
【详解】
解：∵点E，F分别是AB，AO的中点，
∴是的中位线，
∴，
又∵EF=2，
∴OB=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线，平行四边形的性质，熟练掌握三角形中位线的判定定理及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
40．如图，的对角线与相交于点，且．若是边的中点，，，则的长为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用平行四边形的性质得出OC和OD，由勾股定理得出CD的长，再由三角形的中位线定理得出OE的长．
【详解】
解：∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO=DO=BD=10，AO=CO=AC=6
∵
∴CD=
∵点E是BC边的中点，BO=DO
∴OE=CD=4
故选：C
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出DC是解题关键．
二、填空题
41．如图，是的中线，点、分别是、的中点，，则_________．
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【答案】1.5
【分析】
先由中线知BD=AD，求出AD，再利用三角形中位线是性质即可解答．
【详解】
解：∵CD是ABC的中线，
∴AD=BD= 3
∵点E、F分别是AC、DC的中点，
∴EF是ACD的中位线，
∴EF=AD=1.5，
故答案为：1.5．
【点睛】
本题考查了三角形的中线和中位线，熟练掌握三角形中位线的性质是解答的关键．
42．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若BC＝10，则DE＝____．
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【答案】5
【解析】
试题分析：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE，∵BC=10，∴DE=5．故答案为5．
考点：三角形中位线定理．
43．如图，两点被池塘隔开，在池塘外选取点，连接，并分别取的中点若测得则两点间的距离是__________
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【答案】
【分析】
连接AB，由中位线定理解题即可．
【详解】
连接AB，
是OA，OB的中点
是的中位线
故答案为：100m．
【点睛】
本题考查中位线的性质，是重要考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．
44．如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，且BC=7，则DE=______．
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【答案】3.5
【分析】
根据三角形的中位线定理解答即可．
【详解】
解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，且BC=7，
∴．
故答案为：3.5．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，属于基本题型，熟练掌握该定理是解题关键．
45．如图，四边形中，，，若，，为的中点，则的长为_______．
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【答案】
【分析】
延长，使，根据题意先证明四边形是平行四边形，可解得，继而得到是的中点，再结合中位线的性质解题即可.
【详解】
解：延长，使，
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四边形是平行四边形，
∴DE=AB，
是的中点，
为的中点，
故答案为：.
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质、中位线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识、作出正确的辅助线是解题关键.
46．如图，在中，已知AB=8，BC=6，AC=7，依次连接的三边中点，得到，再依次连接的三边中点，得到，，按这样的规律下去，的周长为____．
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【答案】
【分析】
由再利用中位线的性质可得：再总结规律可得：从而运用规律可得答案．
【详解】
解：探究规律：
AB=8，BC=6，AC=7，
分别为的中点，
同理：
总结规律：
运用规律：
当时，
故答案为：
【点睛】
本题考查的是图形周长的规律探究，三角形中位线的性质，掌握探究规律的方法与三角形中位线的性质是解题的关键．
47．如图，点D、E分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )边AB、AC上的点，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点，连接FG、GH、FH，若BD=8，CE=6，∠FGH=90°，则FH长为____．
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【答案】5
【分析】
根据三角形中位线定理分别求出、的长度，根据勾股定理计算，即可得到答案．
【详解】
F，G分别是，的中点，
∴，
∵，分别是BE，BC的中点，
∴，
∵∠FGH=90°，
∴由勾股定理得，
，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查的是勾股定理、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
48．如图，在平行四边形中，平分，，连接，是的中点，连接，若，则_____．
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【答案】2
【分析】
根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解，即可得，利用等腰三角形的性质得到，进而可得是的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．
【详解】
解：在平行四边形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴
∵，
∴；
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明是的中位线是解题的关键．
49．如图，ABC中，DE垂直平分BC，CE平分∠ACB，FG为ACE的中位线，连接DF，若∠DFG＝108°，则∠AED＝_____．
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【答案】126°
【分析】
设∠EBC=∠ECB=x，利用垂直平分线和外角和中位线的性质表示∠DFG，从而可求得x，由此可求得∠AED．
【详解】
解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
设∠EBC=∠ECB=x，
∴∠AEC=∠EBC+∠ECB=2x，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ACE=x，
∵FG是△ACE的中位线，
∴FG∥AC，
∴∠EFG=∠ACE=x，
∵D为BC的中点，F为CE的中点，
∴DF∥AB，
∴∠EFD=∠AEF=2x，
∵∠DFG=∠GFE+∠EFD=x+2x=3x，
∴3x=108°，
∴x=36°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=2x+90°-x=90°+x=90°+36°=126°，
故答案为：126°．
【点睛】
此题考查三角形的中位线定理，关键是根据线段平分线、角平分线以及三角形中位线定理解答．
50．如图，四边形ABCD中，∠A＝ ( http: / / www.21cnjy.com )90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为_____．
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【答案】5
【分析】
连接DN，根据三角形中位线定理得到，根据题意得到当点N与点B重合时，DN最大，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】
解：连接DN，
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∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MND的中位线，
∴，
∵点M，N分别为线段BC，AB上的动点，
∴当点N与点B重合时，DN最大，此时
∴EF长度的最大值为：，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
51．如图，在中，，．，分别是，的中点，，为上的动点，且．连接，，则图中阴影部分的面积和为______．
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【答案】30
【分析】
连接MN，根据题意可以得到MN是三角形ABC的中位线，过点A作AF垂直于BC与点F，进而求解面积即可；
【详解】
连接MN，
∵ M、N分别是AB、AC的中点，
∴ MN为三角形ABC的中位线，
∵BC=10，
∴ ，
过点A作AF垂直于BC与点F，
∵AB=AC=13，
∴点F为BC的中点，
∴，
∴ ，
∴阴影部分的高为12，
∵MN=DE=5，
∴ ，
故答案为：30．
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【点睛】
本题考查了三角形的面积和中位线的性质，掌握数形结合的方法是解题的关键；
三、解答题
52．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程
已知：直线l及直线l外一点P．
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求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
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①在直线l上取一点A，作射线AP，以点P为圆心，PA长为半径画弧，交AP的
延长线于点B；
②以点B为圆心，BA长为半径画弧，交l于点C（不与点A重合），连接BC；
③以点B为圆心，BP长为半径画孤，交BC于点Q；
④作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：∵PB＝PA，BC＝ ，BQ＝PB，
∴PB＝PA＝BQ＝ ．
∴PQ∥l（ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）详见解析；（2）BA，QC，三角形的中位线定理
【分析】
（1）根据要求画出图形．
（2）利用三角形的中位线定理证明即可．
【详解】
解：（1）直线PQ即为所求．
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（2）证明：∵PB＝PA，BC＝BA，BQ＝PB，
∴PB＝PA＝BQ＝QC．
∴PQ∥l（三角形的中位线定理）．
故答案为：BA，QC，三角形的中位线定理
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
53．如图，已知：、分别是的边和边的中点，连接、，若，求的面积.
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【答案】6cm2．
【分析】
首先根据三角形的中线将三角形分成面 ( http: / / www.21cnjy.com )积相等的两部分，求出S△ACD是多少；然后根据E是AC的中点，用△ACD的面积除以2，求出△DEC的面积的面积为多少即可．
【详解】
解：∵D是△ABC的边BC的中点 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴S△ACD=24÷2=12（cm2）；
又∵E是AC的中点，
∴S△DEC=12÷2=6（cm2）．
故答案为6cm2．
【点睛】
本题考查三角形的面积的求法，要熟练掌握，解题的关键是要明确：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
54．如图，D、 E 、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H.求证：DF=EH.
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【答案】见解析.
【分析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF=AC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EH=AC，从而得证．
【详解】
证明：∵D、E 、F分别是△ABC三边中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=AC，
∵AH⊥BC于H，E是AC的中点，
∴EH=AC，
∴DF=EH．
【点睛】
本题考查三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记定理和性质是解题的关键．
55．如图，在△ABC中，D是BC上一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，求证：EG、HF互相平分．
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【答案】见解析.
【解析】
【分析】
根据三角形的中位线定理可判定四边形EFGH为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到EG、HF互相平分．
【详解】
连结EH、FG.，
∵E、H分别是BD、AD的中点，
∴EH∥AB ，EH=AB.
同理，FG∥AB ，FG=AB.
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EG、HF互相平分．
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【点睛】
本题考查三角形中位线定理, 平行四边形的判定与性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键.
56．已知：如图，在四边形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD．E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H．求证：OG=OH．
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【答案】见解析
【分析】
取BC边的中点M，连接EM ( http: / / www.21cnjy.com )，FM，则根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得∠MEF=∠MFE，然后根据平行线的性质证得∠OGH=∠OHG，根据等角对等边即可证得．
【详解】
证明：取BC边的中点M，连接EM，FM
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∵M、F分别是BC、CD的中点
∴MF∥BD，MF=BD
同理：ME∥AC，ME=AC
∵AC=BD
∴ME=MF
∴∠MEF=∠MFE
∵MF∥BD
∴∠MFE=∠OGH
同理，∠MEF=∠OHG
∴∠OGH=∠OHG
∴OG=OH
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，正确证明△EMF是等腰三角形是关键．
57．在中，，E、F分别是、的中点，延长到点D，使，连接、、、，与交于点O．
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（1）试说明与互相平分；
（2）若，求的长．
【答案】（1）理由见详解；（2）
【分析】
（1）由题意易得，，进而可得，则四边形是平行四边形，然后问题得证；
（2）由（1）可得，，，由勾股定理可得，进而可得，然后根据勾股定理可求解．
【详解】
解：（1）∵E、F分别是、的中点，
∴，，
∵，
∴
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分；
（2）由（1）得：与互相平分，，，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查三角形中位线、平行四边形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握三角形中位线、平行四边形的判定与性质及勾股定理是解题的关键．
58．已知：在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：四边形BEFD是平行四边形．
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【答案】见解析
【分析】
根据三角形中位线定理以及平行四边形的判定定理证明即可．
【详解】
证明：∵D，F分别是AB，AC的中点，
∴DF//BC，则DF//BE．
又∵E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF//AB，则EF//DB，
∴四边形BEFD是平行四边形．
【点睛】
本题考查三角形中位线定理以及平行四边形的判定，理解并熟练运用中位线定理是解题关键．
59．如图，中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．
（1）求证：；
（2）求证：．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）连接DF，根据直角三角形的性质得到DF＝AB＝BF，进而证明DC＝DF，根据等腰三角形的三线合一证明结论；
（2）根据三角形的外角性质得到，根据等腰三角形的性质证明结论．
【详解】
解：（1）连接DF，
∵AD是边BC上的高，
∴，
∵点F是AB的中点，
∴DF＝AB＝BF，
∵DC＝BF，
∴DC＝DF，
∵点E是CF的中点．
∴；
（2）∵DC＝DF，
∴，
∴，
∵DF＝BF，
∴，
∴．
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【点睛】
本题考查了直角三角形斜边中线定理、等腰三角形的性质、三角形的外角性质；关键在于掌握好相关考点的基础知识，灵活运用．
60．已知：如图，是的中位线，是边上的中线，和交于点O．求证：与互相平分．
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【答案】见解析
【分析】
连接DF、EF，根据DE是中位线、AF ( http: / / www.21cnjy.com )是中线证DF、EF是△ABC的中位线，据此知DF∥AC，EF∥AB，从而得出四边形ADFE是平行四边形，即可得证．
【详解】
解：证明：如图所示，连接DF、EF，
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∵DE是△ABC的中位线，
∴点D是AB中点、点E是AC中点，
又∵AF是BC边上的中线，
∴F是BC中点，
∴DF、EF是△ABC的中位线，
∴DF∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴DE与AF互相平分．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质及三角形中位线定理的运用．【出处：21教育名师】
61．如图，为的角平分线，为上一点，，连结．
（1）求证：；
（2）若，，，求的面积．
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【答案】（1）证明见解析；（2）7
【分析】
（1）根据角平分线的性质可得，再根据已知条件，，即可证明；
（2）根据（1）中结果，得，，即可求得的面积．
【详解】
（1）∵平分，
∴，
∴在和中，
，，，
∴≌；
（2）∵≌，
∴，，
∴．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、全等三角形的证明和性质、三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握运用以上知识点．21·世纪*教育网
62．如图，在中，点、分别为、的中点，点在的延长线上，．
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求证：．
【答案】证明见解析
【分析】
在中，点、分别为、的中点，可得是的中位线，从而证明，结合，得到四边形为平行四边形，即可完成的证明．
【详解】
∵在中，点、分别为、的中点
∴是的中位线
∴
即
∵
∴四边形为平行四边形
∴．
【点睛】
本题考查了三角形和平行四边形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形中位线和平行四边形的性质，从而完成求解．
63．阅读下面材料，完成任务．
三角形中位线定理
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．关于中位线有如下定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图①，在中，，分别是，的中点．（是的一条中位线)则有，．
下面是该定理的部分证明过程：如图②延长至点，使，连结，……
任务：
（1）请按照上面的思路，写出该证明的剩余部分．
（2）已知：如图③，在中，，，．
求证：、互相平分．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
(1)证明，得到，，再证明四边形是平行四边形，从而可得结论；
(2)连接、，证明四边形为平行四边形，即可得到结论．
【详解】
证明：(1)在和中，
， ， ，
∴
∴，，
∴
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，,
又∵
∴，，
(2)连接、，
∵，,
∴，
同理，
∴四边形为平行四边形，
∴、互相平分．
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【点睛】
本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键．21·cn·jy·com
64．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．
求证：四边形EGFH是平行四边形．
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【答案】见解析
【分析】
由G、F、H分别是BE、BC、CE的中点，根据三角形中位线的性质，可得FH∥BE，FG∥CE，则可判定四边形EGFH是平行四边形．
【详解】
证明：∵G、F、H分别是BE、BC、CE的中点，
∴FH∥BE，FG∥CE，
∴四边形EGFH是平行四边形．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质．注意准确利用三角形中位线的性质证明是解此题的关键．
65．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF=DE，连接BF．求证：BF=DC；
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【答案】见解析
【分析】
连接DB，CF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形CDBF是平行四边形，进而可得CD=BF．21cnjy.com
【详解】
证明：连接DB，CF，
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∵DE是△ABC的中位线，
∴CE=BE，
∵EF=ED，
∴四边形CDBF是平行四边形，
∴CD=BF．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定和性质以及三角形中位线定理，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形．
66．如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点位置，点B和点C重合．求证：四边形ACE是平行四边形．
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【答案】证明见解析
【分析】
根据三角形中位线的性质可得DE∥AC，DE=AC，根据旋转的性质，可得DE=D，E=2DE=AC，即可证明四边形ACE是平行四边形．
【详解】
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE=AC
∵将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，
点E到了点位置，
∴DE=D，E=2DE=AC
∴四边形ACE是平行四边形
【点睛】
本题考查了平行四边形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，考查了三角形中位线的性质，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，同时考查了图形旋转的性质．
67．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，点、、都在格点上，点、分别是线段、的中点．
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（1）图中的是不是直角三角形？答：__________；(填“是”或“不是”)
（2）计算线段的长．
【答案】（1）不是；（2）
【分析】
（1）利用勾股定理求出三边长，再根据勾股定理的逆定理判断即可；
（2）得出DE是△ABC的中位线，再根据AB的长求出DE即可．
【详解】
解：（1）由图可知：
AB=，AC=，BC=，
则有AC2＜AB2+BC2，
∴△ABC不是直角三角形，
故答案为：不是；
（2）∵D和E分别是AC和BC中点，
∴DE=AB=．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理，中位线，解题的关键是掌握在网格中利用勾股定理计算线段长度．
68．如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF＝2，则BC＝_____．
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【答案】4
【分析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边 ( http: / / www.21cnjy.com )的一半可得BC=2DE，DE∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DEG=∠FCG，然后利用“角边角”证明△DEG和△FCG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=CF，然后求解即可．
【详解】
解：∵D、E分别是AB和AC的中点，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴∠DEG＝∠FCG，
∵DF平分CE于点G，
∴EG＝CG，
∵在△DEG和△FCG中，
，
∴△DEG≌△FCG（ASA），
∴DE＝CF，
∵CF＝2，
∴DE＝2，
∴BC＝2DE＝2×2＝4．
故答案是：4．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线平 ( http: / / www.21cnjy.com )行于第三边并且等于第三边的一半的性质，全等三角形的判定与性质，是基础题，熟练掌握定理并判定出三角形全等是解题的关键．
69．如图，D是△ABC内一点，连接DB、DC、DA，并将AB、DB、DC、AC的中点E、H、G、F依次连接，得到四边形EHGF．
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（1）求证：四边形EHGF是平行四边形；
（2）若BD⊥CD，AD＝7，BD＝8，CD＝6，求四边形EHGF的周长．
【答案】（1）见解析；（2）17
【分析】
（1）证EF是△ABC的中位线，HG是△DBC的中位线，得出EF∥BC，EF=BC，HG∥BC，HG=BC，则EF∥HG，EF=HG，即可得出结论； 【来源：21·世纪·教育·网】
（2）由勾股定理求出BC=10，则EF=GH=BC=5，由三角形中位线定理得出EH= AD=，即可得出答案．
【详解】
证明：（1）∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，EF＝BC．
∵H、G分别是DB、DC的中点，
∴HG∥BC，HG＝BC．
∴HG＝EF，HG∥EF．
∴四边形EHGF是平行四边形．
（2）∵BD⊥CD，BD＝8，CD＝6，
∴BC＝＝＝10，
∵E、F、H、G分别是AB、AC、BD、CD的中点，
∴EH＝FG＝AD＝3.5，
EF＝GH＝BC＝5，
∴四边形EHGF的周长＝EH＋GH＋FG＋EF＝17．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
70．小易同学在数学学习时，遇到这样一个问题：如图，已知点在直线外，请用一把刻度尺（仅用于测量长度和画直线），画出过点且平行于的直线，并简要说明你的画图依据.
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小易想到一种作法：
①在直线上任取两点、（两点不重合）；
②利用刻度尺连接并延长到，使；
③连接并量出中点；
④作直线.
∴直线即为直线的平行线.
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（1）请依据小易同学的作法，补全图形.
（2）证明：∵，
∴为的中点，
又∵为中点，
∴（ ）
（3）你还有其他画法吗？请画出图形，并简述作法.
作法：
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【答案】（1）见解析；（2）三角形的中位线平行于三角形的第三边；（3）见解析．
【分析】
（1）根据已知条件按步骤画图即可；
（2）分析可知PD是的中位线，然后依据的是三角形中位线定理；
（3）可利用全等三角形的性质去画图．
【详解】
（1）图形如下：
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（2）∵P,D分别是AC,BC的中点，
∴PD是的中位线，
∴（三角形的中位线平行于三角形的第三边）；
（3）如图：
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作法：（1）在直线上任取两点、（两点不重合）；
（2）连接AP，取AP的中点E，
（3）连接BE，并延长至点F，使，
（4）作直线PF，则直线即为直线的平行线．
【点睛】
本题主要考查尺规作图，掌握三角形中位线定理和全等三角形的性质是解题的关键．
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