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第三讲 三角形的中位线
一、单选题
1．如图，△ABC中，∠B＝9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，过点C作AB的平行线，与∠BAC的平分线交于点D，若AB＝6，BC＝8．E，F分别是BC，AD的中点，则EF的长为 （ ）21教育网
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A．1 B．1.5 C．2 D．4
2．如图，四边形中，分别为线段上的动点（含端点，但点不与点重合），分别为的中点，则长度的最大值为（ ）
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A． B． C． D．
3．如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为、的中点，则长度的最大值为（ ）．
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A．3 B． C．4 D．2
4．如图，ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（ ）21cnjy.com
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A．11 B．17 C．18 D．16
5．如图，在中，，是的中点，过点作的平行线，交于点E，作的垂线交于点，若，且的面积为1，则的长为（ ）
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A． B．5 C． D．10
6．如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，．现给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．当在内绕顶点旋转时（点不与点，重合），上述结论中始终正确的是（ ）21·cn·jy·com
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A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
7．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，，E，F，G分别是的中点，交于点H．下列结论：①；②；③；成立的个数有( )
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A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
8．如图，点D和点E分别是BC和BA的中点，已知AC＝4，则DE为（ ）
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A．1 B．2 C．4 D．8
9．如图，在中，是的中点，在上，且，连接，交于点，若，则（ ）
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A．15 B．18 C．20 D．25
10．如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．12 B．11 C．10 D．9
11．如图，D，E，F分别是的中点，则：S梯形BCED是（ ）
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A． B． C． D．
12．在中，，点是上一动点，作，且，连结分别是的中点连结，则长为（ ）
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A． B． C．6 D．6.5
13．如图，中，，，直角的顶点是边中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转时（点不与，重合），给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③四边形的面积等于的面积的一半；④当最短时，．上述结论始终正确的个数为（ ）．
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A．1 B．2 C．3 D．4
14．顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
15．如图，是等边三角形，F、G分别为AC和BC的中点，D在线段BG上，连接DF，以DF为边作等边，ED的延长线交AB于H．连接EC，则以下结论：①；②；③；④当D在线段BG上（不与G点重合）运动时，．其中正确的结论个数有（ ）【版权所有：21教育】
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°， ( http: / / www.21cnjy.com )点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BF，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则线段MN的长（ ）
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A． B．3 C．3 D．
17．如图，平行四边形ABCD的周长为52，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝18，则△DOE的周长是（ ）
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A．22 B．26 C．31 D．35
18．如图所示， ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是CD中点，连接OE，若OE＝3cm，则AD的长为（ ）
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A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
19．如图，将△ABC沿着它的中位线DE折叠后，点A落到点，若∠C＝120°，∠A＝25°，则∠DB的度数是（ ）21·世纪*教育网
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A．100° B．110° C．115° D．120°
20．已知在四边形ABCD中，，，M，N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）2·1·c·n·j·y
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A． B． C． D．
21．如图，在四边形中，，点分别为线段上的动点(含端点，但点不与点重合)，点分别为的中点，则长度的最大值为( )
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A． B． C． D．
22．如图，A、B两处被池塘隔开， ( http: / / www.21cnjy.com )为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF＝20m，则AB长为（ ）【出处：21教育名师】
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A．10m B．20m C．30m D．40m
23．如图，平行四边形ABCD的周长为36cm，若点E是AB的中点，则线段OE与线段AE的和为（ ）
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A．18cm B．12cm C．9cm D．6cm
24．如图，在中，AD= 10，点M、N分别是BD、CD的中点，则MN等于（ ）
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A．4 B．5 C．6 D．不能确定
25．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为 ( )
A．1 B．2 C． D．1＋
26．如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，则第2020个三角形的周长是（ ）
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A． B． C． D．
27．如图，已知△ABC中∠A＝90°， ( http: / / www.21cnjy.com )点E、D分别在AB、AC边上，且BE等于8，CD＝10，点F、M、N分别是BC、BD、CE的中点，则MN的长为（ ）
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A． B．6 C．4 D．3
28．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD，下列结论错误的是（ ）
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A．AD=CD B．∠A=∠DCE C．∠ADE=∠DCB D．∠A=2∠DCB
29．如图，小明为了测量学校里一池塘的宽度，选取可以直达，两点的点处，再分别取，的中点，，量得，则池塘的宽度为（ ）．
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A． B． C． D．
30．如图，在中，，，点D，E分别是AB, BC的中点，连接DE，CD，如果,那么的周长（ ）
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A．28 B．28.5 C．32 D．36
31．如图，在中，，点，分别是，的中点，点在的延长线上，，，，则四边形的周长为（ ）
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A．14 B．16 C．18 D．20
32．如图，在△ABC中，D ( http: / / www.21cnjy.com )、E分别是AB、AC边的中点，F是BC边上的动点，G、H分别是线段DF、EF的中点，若BC=8，则GH的值为 （ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
33．如图所示，已知P、R分别 ( http: / / www.21cnjy.com )是四边形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么EF的长（ ）
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A．逐渐增大 B．逐渐变小
C．不变 D．先增大，后变小
34．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若BC＝6，则DE＝（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
35．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝3，则EF的长为（ ）
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A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
36．如图，在平行四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，AB＝10，∠BAD的平分线与DC交于点F，AF⊥BF，DG⊥AF，垂足为G，DG＝4，则AF的长为（ ）
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A．6 B．5 C． D．8
37．如图，在四边形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB＝6，BC＝10，∠A＝130°，∠D＝100°，AD＝CD．若点E，F分别是边AD，CD的中点，则EF的长是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．3 B．4 C．2 D．
38．如图，，、分别是、的中点，则下列结论：①，②，③，④，其中正确有（ ）
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A．个 B．个 C．个 D．个
39．如图，在△ABC中，∠ABC和∠AC ( http: / / www.21cnjy.com )B的角平分线相交于点O．过点O作EF∥BC交AB于E．交AC于F．过点O作OD⊥AC于D．下列五个结论：其中正确的有（ ）
（1） EF=BE+CF； （2）∠BOC=90°+∠A；（3）点O到△ABC各边的距离都相等；（4）设OD=m．若AE十AF =n，则S△AEF= mn；（5）S△AEF=S△FOC．
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
40．如图，ABC中，DE垂直平分BC，CE平分∠ACB，FG为ACE的中位线，连接DF，若∠DFG＝108°，则∠AED＝_____．
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41．如图，四边形ABCD中，∠A＝90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为_____．
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42．如图，在中，，．，分别是，的中点，，为上的动点，且．连接，，则图中阴影部分的面积和为______．
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43．如图，在中，平分，于点，交BC于点F，点是的中点，若，，则的长为______．【来源：21cnj*y.co*m】
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44．在△ABC中， AD是BC边 ( http: / / www.21cnjy.com )上的高线，CE 是AB边上的中线，CD=AE，且CE
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45．如图，在中，，，点D是边的中点，点E在边上，若，那么的长是__________．
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46．如图，已知，点在边上，，过点作于点，以为一边在内作等腰直角三角形，点是围成的区域（不包括各边）内的一点，过点作交于点，作交于点，设，则取值范围是______．
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三、解答题
47．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，AC＜BC．
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（1）试用无刻度的直尺和圆规，在BC上作一点E，使得直线ED平分ABC的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．www.21-cn-jy.com
（2）在（1）的条件下，若AB＝8，ED＝3，求△ABC的面积．
48．已知：如图，在中，中线交于点分别是的中点．
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求证：（1）；
（2）和互相平分．
49．如图，在中，，D为CA延长线上一点，于点E，交AB于点F．
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（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求线段DE的长．
50．如图，点在外，连接，，延长交于，为的中点．
（1）求证：；
（2）若，，，，求的长．
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51．如图，的对角线、交于点，，分别是、的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长度．
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52．如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，，，求的度数．
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53．如图，在中，，．
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（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）
①作的平分线交于点D；
②作边的中点E，连接；
（2）在（1）所作的图中，若，则的长为__________．
54．如图，在中，是边的中线，是的中点，连接并延长交于点．求证：．
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55．如图，在和中，， ，，点C在边AB上，点 G是线段AD的中点．
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（1）求的度数；
（2）求证：OG平分．
56．如图，为的中线，为的中线．
（1），，求 的度数；
（2）若的面积为40，，则到边的距离为多少．
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57．已知：如图AB＝AC，AB⊥AC，AD＝AE，AD⊥AE，点M为CD的中点
求证：2AM＝BE
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58．如图，在中， ，延长至点，使，连接，分别为中点，连接，若，求线段的长度．2-1-c-n-j-y
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59．如图，在中有如下3个论断；①点是的边的中点；②点是边的中点；③.选择其中两个作为题设另一个为结论，可以写出所有以下三个命题，（1）：①②③，（2）：①③②，（3）：②③①.21*cnjy*com
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（1）正确的命题有______.（填番号）
（2）请对命题（2）的正误作出证明.
60．已知，如图，在ΔABC与ΔADE中，AB=AC，AD=AE，
（1）如图①，连接CD、BE， 交于G点，若∠BAC=∠DAE=，求∠BGC度数．
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①
（2）如图②，连接CE、BD，若P为BD中点，且∠EAC=∠ABD＋∠ADB，试探究AP与CE的数量关系，并说明理由．21世纪教育网版权所有
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②
61．如图，在等边中，点是射线上一动点（点在点的右侧），．点是线段的中点，连接．
（1）请你判断线段与的数量关系，并给出证明；
（2）若，求线段长度的最小值．
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62．在中，，，点D为的中点．
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（1）如图1，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转90°得到线段，连结，过点F作，交直线于点H．判断与的数量关系并加以证明．21教育名师原创作品
（2）如图2，若E为线段的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，给出证明．21*cnjy*com
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第三讲 三角形的中位线
一、单选题
1．如图，△ABC中，∠B＝9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，过点C作AB的平行线，与∠BAC的平分线交于点D，若AB＝6，BC＝8．E，F分别是BC，AD的中点，则EF的长为 （ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．1 B．1.5 C．2 D．4
【答案】C
【分析】
延长EF交AC于点G，根据勾股定理求出AC=10，再根据角平分定义结合平行线的性质得出AC=CD，最后根据三角形中位线的性质得出结论即可．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8
∴
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∵AB//CD
∴∠BAD=∠CDA
∴∠CDA=∠CAD
∴DC =AC=10
延长EF交AC于点G，如图，
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∴EG是△ADC的中位线，FG是△ABC的中位线，
∴
∴
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理以及三角形中位线性质定理，作出三角形中位线是解答此题的关键．
2．如图，四边形中，分别为线段上的动点（含端点，但点不与点重合），分别为的中点，则长度的最大值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
连接BN，根据三角形的中位线定理得出EFDN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN＝DB＝6，从而求得EF的最大值为3．21·cn·jy·com
【详解】
解：如图，连接BN，
∵分别为的中点，
∴EFDN，
∴DN最大时，EF最大，
∴N与B重合时DN最大，
此时DN＝DB6，
∴EF的最大值为3．
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故选：A
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握两个定理是解题的关键．
3．如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为、的中点，则长度的最大值为（ ）．
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A．3 B． C．4 D．2
【答案】D
【分析】
由题中条件可判定EF是中位线，可得，当动点N与点B重合时，DN值最大，，此时EF长度取最大值．
【详解】
解：如图，连接DN，
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∵点E、F分别为、的中点，
∴EF是中位线，，
当动点N与点B重合时，，此时DN长度取最大值，即此时EF长度取最大值．
∵，，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了中位线性质，用勾股定理解三角形，理解长度的最大值就是求DN长度最大值是解题关键．
4．如图，ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（ ）
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A．11 B．17 C．18 D．16
【答案】B
【分析】
根据等腰三角形的性质得到BD=DC，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】
解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴，
∵点E为AC的中点，
∴，
∴△CDE的周长=CD+CE+DE=17，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
5．如图，在中，，是的中点，过点作的平行线，交于点E，作的垂线交于点，若，且的面积为1，则的长为（ ）
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A． B．5 C． D．10
【答案】A
【分析】
过A作AH⊥BC于H，根据已知条件得到AE=CE，求得DE=BC，求得DF=AH，根据三角形的面积公式得到DE DF=2，得到AB AC=8，求得AB=2（负值舍去），根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：过A作AH⊥BC于H，
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∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵DE∥BC，
∴AE=CE，
∴DE=BC，
∵DF⊥BC，
∴DF∥AH，DF⊥DE，
∴BF=HF，
∴DF=AH，
∵△DFE的面积为1，
∴DE DF=1，
∴DE DF=2，
∴BC AH=2DE 2DF=4×2=8，
∴AB AC=8，
∵AB=CE，
∴AB=AE=CE=AC，
∴AB 2AB=8，
∴AB=2（负值舍去），
∴AC=4，
∴BC=．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
6．如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，．现给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．当在内绕顶点旋转时（点不与点，重合），上述结论中始终正确的是（ ）
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A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【分析】
根据等腰直角三角形的性质得出∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，求出∠APE=∠CPF，证△APE≌△CPF，推出AE=CF，EP=PF，推出S△AEP=S△CPF，求出S四边形AEPF=S△APC=S△ABC，EF不是△ABC的中位线，故EF≠AP，即可得出答案．21cnjy.com
【详解】
解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，
∴∠EPF-∠APF=∠APC-∠APF，
∴∠APE=∠CPF，
在△APE和△CPF中
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，EP=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，
∴①正确；②正确；
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP=BC，
∵EF不是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，故③错误；
∵△APE≌△CPF，
∴S△AEP=S△CPF，
∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△APF=S△APC=S△ABC，
∴④正确；
∴正确的有①②④，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形性质，三角形中位线的性质，三角形三边关系定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．
7．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，，E，F，G分别是的中点，交于点H．下列结论：①；②；③；成立的个数有( )
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A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【分析】
由平行四边形性质和等腰三角形“三线合一”即可得ED⊥CA，根据三角形中位线定理可得EF =AB；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG=CD，即可得EF＝EG；连接EG，可证四边形DEFG是平行四边形，即可得EH=EG．
【详解】
解：如图，连接FG，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，
∵BD＝2AD，
∴OD＝AD，
∵点E为OA中点，
∴ED⊥CA，故①正确；
∵E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，
∴EF∥AB，EF=AB，
∵∠CED＝90°，CG＝DG=CD，
∴EG=CD，
∴EF＝EG，故②正确；
∵EF∥CD，EF＝DG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴EH＝HG，
即EH=EG，故③正确；
故选：A．
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【点睛】
本题考查了平行四边形性质和判定 ( http: / / www.21cnjy.com )，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，等腰三角形性质等；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形“三线合一”、直角三角形斜边上中线等于斜边一半等性质是解题关键．
8．如图，点D和点E分别是BC和BA的中点，已知AC＝4，则DE为（ ）
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A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】
根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
解：∵点D和点E分别是BC和BA的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC＝4＝2，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9．如图，在中，是的中点，在上，且，连接，交于点，若，则（ ）
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A．15 B．18 C．20 D．25
【答案】D
【分析】
过D作DG∥AB，交CE于G，连接DE ( http: / / www.21cnjy.com )，根据三角形中位线的定理可得CG＝EG，通过△DGF △AEF，可得AF=DF，再利用三角形的面积可求解．21*cnjy*com
【详解】
过D作DG∥AB，交CE于G，连接DE，
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∵D为BC的中点，
∴DG为△BCE的中位线，
∴BE＝2GD，CG＝EG，
∵，
∴AE=GD，
∵DG∥AB，
∴∠AEF=∠DGF，∠EAF=∠GDF，
∴△DGF △AEF，
∴AF=DF，
∵，
∴S△ABD＝30，S△AED＝10，
∴S△AEF＝5，
∴S四边形DCEF＝S△ABD S△AEF＝30 5＝25，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查三角形的面积，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
10．如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（ ）
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A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】A
【分析】
延长BN交AC于D，证明△ANB≌△AND，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：延长BN交AC于D，
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在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND，
∴AD=AB=8，BN=ND，
∵M是△ABC的边BC的中点，
∴DC=2MN=4，
∴AC=AD+CD=12，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
11．如图，D，E，F分别是的中点，则：S梯形BCED是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据三角形中位线的判定与性质可知DE//BC，DE=，则△DEF、△BDF、△CEF等底等高，从而可求出：S梯形BCED的值．21教育网
【详解】
解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE//BC，DE=，
∴△DEF中DE边上的高、△BDF中BF边上的高、△CEF中CF边上的高相等，
∵F是BC的中点，
∴BF=CF=，
∴BF=CF=DE，
∴△DEF、△BDF、△CEF的面积相等，
∴：S梯形BCED=1:3．
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线，连 ( http: / / www.21cnjy.com )接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．也考查了两平行线间的距离处处相等以及三角形的面积公式．
12．在中，，点是上一动点，作，且，连结分别是的中点连结，则长为（ ）
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A． B． C．6 D．6.5
【答案】A
【分析】
由勾股定理得出BC==12，取BD中点F，连接PF、QF，证出PF是△BDE的中位线，FQ是△BCD的中位线，由三角形中位线定理得出PF∥ED，PF=DE＝1，FQ∥BC，FQ=BC＝6，证出PF⊥FQ，再由勾股定理求出PQ即可．【出处：21教育名师】
【详解】
解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，
∴BC==12，
取BD中点F，连接PF、QF，如图所示：
∵P、Q分别是BE、DC的中点，
∴PF是△BDE的中位线，FQ是△BCD的中位线，
∴PF∥ED，PF=DE＝1，FQ∥BC，FQ=BC＝6，
∵DE∥AC，AC⊥BC，
∴PF⊥FQ，
∴PQ=，
故选：A．
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【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质；熟练掌握勾股定理，由三角形中位线定理得出PF∥ED，FQ∥BC是解题的关键．
13．如图，中，，，直角的顶点是边中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转时（点不与，重合），给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③四边形的面积等于的面积的一半；④当最短时，．上述结论始终正确的个数为（ ）．
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
根据等腰直角三角形的性质可得AP⊥BC，AP ( http: / / www.21cnjy.com )=CP=BP，从而得出∠APC=90°，∠PAE=∠PCF=45°，根据同角的余角相等可证∠APE=∠CPF，利用ASA即可证出△APE≌△CPF，从而得出S△APE≌S△CPF ，PE=PF，AE=CF，即可判断①、②；根据S四边形AEPF= S△APE＋S△APF和等量代换即可判断③；根据勾股定理和垂线段最短可知PE⊥AB时，PE最小，EF也最小，根据三角形中位线的性质即可判断④．
【详解】
解：∵，∠BAC=90°，是边中点，
∴AP⊥BC，AP=CP=BP，
∴∠APC=90°，∠PAE=∠PCF=45°，
∴∠CPF＋∠APF=90°
∵=90°
∴∠APE＋∠APF=90°，
∴∠APE=∠CPF，
在△APE和△CPF中，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴S△APE≌S△CPF ，PE=PF，AE=CF，故①正确；
∵=90°
∴△EPF是等腰直角三角形，故②正确；
S四边形AEPF= S△APE＋S△APF
= S△CPF＋S△APF
= S△APC
=S△ABC，故③正确；
∵△EPF是等腰直角三角形，
∴EF=
∴当PE最小时，EF也最小
根据垂线段最短，PE⊥AB时，PE最小，易知此时PF⊥AC
∵AP=CP=BP，
∴E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线
∴EF=BC
∵AP=BC，
∴EF=AP，故④正确．
综上：正确的有4个
故选D．
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的判定及性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
14．顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【分析】
由E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA ( http: / / www.21cnjy.com )的中点，得出EF，HG，FG，EH是中位线，再得出四条边相等，根据“四条边都相等的四边形是菱形”进行证明．
【详解】
解：如图所示，因为E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、BD，因为E、F分别是AB、BC的中点，
所以EF=AC，且EF∥AC
同理可得HG=AC，且HG∥AC，
FG=BD，且FG∥BD，
EH=BD，且EH∥BD，
∴EF∥HG，HE ∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又因为等腰梯形的对角线相等，即AC=BD，因此有EF=FG=GH=HE，
所以连接等腰梯形各中点所得四边形为菱形．
故选：C
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【点睛】
此题考查三角形中位线的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线定理及菱形的判定．
15．如图，是等边三角形，F、G分别为AC和BC的中点，D在线段BG上，连接DF，以DF为边作等边，ED的延长线交AB于H．连接EC，则以下结论：①；②；③；④当D在线段BG上（不与G点重合）运动时，．其中正确的结论个数有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
由等边三角形的性质可得BF⊥AC，可 ( http: / / www.21cnjy.com )判断①，由等边三角形的性质可求∠A+∠FDH=180°，由四边形内角和定理可得∠AHD+∠AFD=180°，可判断②，由“SAS”可证△CFE≌△GFD，可得CE=GD，∠FGD=∠FCE=120°，可判断③和④，即可求解．
【详解】
∵△ABC是等边三角形，点F是AC中点，
∴BF⊥AC，故①正确，
∵△ABC和△EFD是等边三角形，
∴∠A=∠EDF=60°=∠EFD，EF=FD，
∴∠FDH=120°，
∴∠A+∠FDH=180°，
∴∠AHD+∠AFD=180°，故②正确；
如图，连接FG，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵F、G分别为AC和BC的中点，
∴CG=BC=AC=CF，
又∵∠FCG=60°，
∴△CFG是等边三角形，
∴CF=FG=CG，∠FCG=60°=∠FGC，
∴∠FGD=120°，
∵∠CFG=∠EFD=60°，
∴∠CFE=∠GFD，
在△CFE和△GFD中，
，
∴△CFE≌△GFD（SAS），
∴CE=GD，∠FGD=∠FCE=120°，
∴CD=CG+GD=CF+CE，∠BCE=60°，故③④正确，
综上，①②③④都正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
16．如图，△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BF，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则线段MN的长（ ）
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A． B．3 C．3 D．
【答案】D
【分析】
取AB的中点F，连接NF、 ( http: / / www.21cnjy.com )MF，根据直角三角形的性质得到∠CAB＋∠CBA＝90°，根据三角形中位线定理分别求出MF、NF，以及∠MFN＝90°，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】
解：取AB的中点F，连接NF、MF，
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△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB＋∠CBA＝90°，
∵AM＝MD，AF＝FB，
∴MF是△ABD的中位线，
∴MF＝BD＝3，MF//BC，
∴∠AFM＝∠CBA，
同理，NF＝AE＝2，NF//AC，
∴∠BFN＝∠CAB，
∴∠AFM＋∠BFN＝∠CAB＋∠CBA＝90°，
∴∠MFN＝90°，
∴MN＝＝，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线，平行线的性质，以及勾股定理等知识，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
17．如图，平行四边形ABCD的周长为52，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝18，则△DOE的周长是（ ）
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A．22 B．26 C．31 D．35
【答案】A
【分析】
利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题．
【详解】
解：∵平行四边形ABCD的周长为52，
∴BC＋CD＝26，
∵OD＝OB，DE＝EC，
∴OE＋DE＝（BC＋CD）＝13，
∵BD＝18，
∴OD＝BD＝9，
∴△DOE的周长为13＋9＝22.
故选：A．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理．
18．如图所示， ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是CD中点，连接OE，若OE＝3cm，则AD的长为（ ）
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A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【答案】B
【分析】
先说明OE是△BCD的中位线，然后根据中位线定理求解即可．
【详解】
解：∵ ABCD
∴OB=OD
∵E是CD中点
∴OE是△BCD的中位线
∴AD＝2OE＝2×3＝6（cm）．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的判定和性质，证得OE是△BCD的中位线是解答本题的关键．
19．如图，将△ABC沿着它的中位线DE折叠后，点A落到点，若∠C＝120°，∠A＝25°，则∠DB的度数是（ ）21教育名师原创作品
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A．100° B．110° C．115° D．120°
【答案】B
【分析】
根据轴对称和平行线的性质，可得∠A'DE＝∠B，又根据∠C＝120°，∠A＝25°可求出∠B的值，继而求出答案．
【详解】
由题意得：∠A'DE＝∠B＝180° 120° 25°＝35°，
∠BDE＝180° ∠B＝145°，
故∠A'DB＝∠BDE ∠A'DE＝145° 35°＝110°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质及三角形中位线定理，有一定难度，根据题意得出各角之间的关系是关键．
20．已知在四边形ABCD中，，，M，N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用中位线定理作出辅助线，利用三边关系可得MN的取值范围．
【详解】
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连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．
∵M是边AD的中点，AB=3，MG∥AB，
∴MG是△ABD的中位线，BG=GD，；
∵N是BC的中点，BG=GD，CD=5，
∴NG是△BCD的中位线，，
在△MNG中，由三角形三边关系可知NG-MG＜MN＜MG+NG，即，
∴，
当MN=MG+NG，即MN=4时，四边形ABCD是梯形，
故线段MN长的取值范围是1＜MN≤4．
故选B．
【点睛】
解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理及三角形三边关系解答．
21．如图，在四边形中，，点分别为线段上的动点(含端点，但点不与点重合)，点分别为的中点，则长度的最大值为( )
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
连接BD、ND，由勾股定理得可得BD=5，由三角形中位线定理可得EF=DN，当DN最长时，EF长度的最大，即当点N与点B重合时，DN最长，由此即可求得答案.【版权所有：21教育】
【详解】
连接BD、ND，
由勾股定理得，BD==5
∵点E、F分别为DM、MN的中点，
∴EF=DN，
当DN最长时，EF长度的最大，
∴当点N与点B重合时，DN最长，
∴EF长度的最大值为BD=2.5，
故选B．
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【点睛】
本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，正确分析、熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
22．如图，A、B两处被池塘隔开，为 ( http: / / www.21cnjy.com )了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF＝20m，则AB长为（ ）
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A．10m B．20m C．30m D．40m
【答案】D
【分析】
根据题意直接利用三角形中位线定理，可求出AB．
【详解】
∵E、F是AC，AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=AB
∵EF=20m，
∴AB=40m．
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理在实际生活中的运用，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理.
23．如图，平行四边形ABCD的周长为36cm，若点E是AB的中点，则线段OE与线段AE的和为（ ）
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A．18cm B．12cm C．9cm D．6cm
【答案】C
【分析】
结合已知证明EO是△ABC的中位线，进而得出答案．
【详解】
解：∵平行四边形ABCD的周长为36cm，
∴AB+BC＝18cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又∵点E是AB的中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴EO＝BC，AE＝AB，
∴AE+EO＝×18＝9（cm）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和中位线定理，熟知“平行四边形的对角线互相平分”和“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”是解题关键．
24．如图，在中，AD= 10，点M、N分别是BD、CD的中点，则MN等于（ ）
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A．4 B．5 C．6 D．不能确定
【答案】B
【分析】
利用平行四边形的性质和三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=10，
∵点M、N分别是BD，CD的中点，
∴MN=BC=5，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
25．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为 ( )
A．1 B．2 C． D．1＋
【答案】A
【分析】
根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：如图∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°，
∴AB=2BC=2
又∵点D. E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ACB的中位线，
∴DE=AB=1
故选：A
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
26．如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，则第2020个三角形的周长是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，按规律求解．
【详解】
根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半，
那么第二个三角形的周长=△ABC的周长，
第三个三角形的周长=△ABC的周长，
，
第n个三角形的周长，
∴第2020个三角形的周长．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，解决本题的关键是利用三角形的中位线定理得到第n个三角形的周长与第一个三角形的周长的规律．
27．如图，已知△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )∠A＝90°，点E、D分别在AB、AC边上，且BE等于8，CD＝10，点F、M、N分别是BC、BD、CE的中点，则MN的长为（ ）
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A． B．6 C．4 D．3
【答案】A
【分析】
根据三角形中位线定理和勾股定理即可得到结论．
【详解】
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵点F、M、N分别是BC、BD、CE的中点，
∴NF∥BE，NF=BE=4，MF∥CD，MF=CD=5，
∴∠NFC=∠ABC，∠MFB=∠ACB，
∴∠MFN=180°﹣∠MFB﹣∠NFC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=90°，
∴MN=，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，三角形的内角和，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
28．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD，下列结论错误的是（ ）
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A．AD=CD B．∠A=∠DCE C．∠ADE=∠DCB D．∠A=2∠DCB
【答案】D
【分析】
根据题意可知DE是AC的垂直平分线，由此即可一一判断．
【详解】
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AE=EC，故A正确，
∴DE∥BC，∠A=∠DCE，故B正确，
∴∠ADE=∠CDE=∠DCB，故C正确，
故选D．
【点睛】
本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题．
29．如图，小明为了测量学校里一池塘的宽度，选取可以直达，两点的点处，再分别取，的中点，，量得，则池塘的宽度为（ ）．
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意知MN是△ABO的中位线，所以由三角形中位线定理来求AB的长度即可．
【详解】
解：∵点M、N是OA、OB的中点，
∴MN是△ABO的中位线，
∴AB=AMN．
又∵MN=20m，
∴AB=40m．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形中位线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
30．如图，在中，，，点D，E分别是AB, BC的中点，连接DE，CD，如果,那么的周长（ ）
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A．28 B．28.5 C．32 D．36
【答案】C
【分析】
根据三角形中位线定理得到 ( http: / / www.21cnjy.com )AC=2DE=7，AC//DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】
∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC=2DE=7，AC//DE，
AC +BC=7+24=625，
AB=25=625，
∴AC+BC=AB，
∴∠ACB=90°，
∵AC//DE，
∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC=BD，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=32，
故选C．
【点睛】
此题考查三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，勾股定理逆定理，解题关键在于求出∠ACB=90°.
31．如图，在中，，点，分别是，的中点，点在的延长线上，，，，则四边形的周长为（ ）
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A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【分析】
根据勾股定理先求出BC的长， ( http: / / www.21cnjy.com )再根据三角形中位线定理和直角三角形的性质求出DE和AE的长，进而由已知可判定四边形AEDF是平行四边形，即可求得其周长．
【详解】
在Rt△ABC中，
∵AC=6，AB=8，
∴BC=10，
∵E是BC的中点，
∴AE=BE=5，
∴∠BAE=∠B，
∵∠FDA=∠B，
∴∠FDA=∠BAE，
∴DF∥AE，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE= 12 AC=3
∴四边形AEDF是平行四边形
∴四边形AEDF的周长=2×（3+5）=16．
故选B．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及平行四边形的判定；熟练运用三角形的中位线定理和直角三角形的勾股定理是解题的关键．
32．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、 ( http: / / www.21cnjy.com )AC边的中点，F是BC边上的动点，G、H分别是线段DF、EF的中点，若BC=8，则GH的值为 （ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据三角形中位线定理求解即可；
【详解】
∵D、E分别是AB、AC边的中点，
∴，
又∵G、H分别是线段DF、EF的中点，
∴,
∴,
∵BC=8，
∴．
故答案是B．
【点睛】
本题主要考查了三角形中位线的应用，准确理解是解题的关键．
33．如图所示，已知P、R分别 ( http: / / www.21cnjy.com )是四边形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么EF的长（ ）
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A．逐渐增大 B．逐渐变小
C．不变 D．先增大，后变小
【答案】C
【分析】
根据三角形的中位线的定理，首先表示EF的长度，再根据AR是定值，从而可得EF是定值.
【详解】
解：∵E、F分别是PA、PR的中点，
∴EF＝AR，
∴EF的长不变，
故选C．
【点睛】
本题主要考查三角形的中位线的性质，关键在于表示变化的直线.
34．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若BC＝6，则DE＝（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
根据三角形中位线定理即可得到结论．
【详解】
解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝3，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
35．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝3，则EF的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【答案】D
【分析】
连接DE并延长交AB于H ( http: / / www.21cnjy.com )，证明△DCE≌△HAE，根据全等三角形的性质可得DE＝HE，DC＝AH，则EF是△DHB的中位线，再根据中位线的性质可得答案．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：连接DE并延长交AB于H，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵CD∥AB，
∴∠C＝∠A，
∵E是AC中点，
∴CE＝EA，
在△DCE和△HAE中，
，
∴△DCE≌△HAE（ASA），
∴DE＝HE，DC＝AH，
∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣DC＝2，
∵F是BD中点，
∴EF是△DHB的中位线，
∴EF＝BH，
∴EF＝1，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形中位线性质，关键是正确画出辅助线，证明△DCE≌△HAE，得出EF是中位线．
36．如图，在平行四边形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB＝10，∠BAD的平分线与DC交于点F，AF⊥BF，DG⊥AF，垂足为G，DG＝4，则AF的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6 B．5 C． D．8
【答案】A
【分析】
延长AD、BF交于点E，证明△DEF ( http: / / www.21cnjy.com )≌△CBF（AAS），得出DE＝BC，EF＝BF，证出DG是△AEF的中位线，得出EF＝2DG＝8，即可得出答案．
【详解】
解：延长AD、BF交于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠E＝∠CBF，∠BAF+∠DAF+∠ABF+∠CBF＝180°，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AF⊥BF，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，BC＝AD，
∴∠CFB＝∠ABF，∠BAF＝∠DFA，
∴∠CFB＝∠CBF，∠DFA＝∠DAF，
∴CB＝CF，DA＝DF，
∴DF＝CF，
在△DEF和△CBF中，
，
∴△DEF≌△CBF（AAS），
∴DE＝BC，EF＝BF，
∴AD＝DE，
∵AF⊥BF，DG⊥AF，
∴DG∥EF，
∴DG是△AEF的中位线，
∴EF＝2DG＝2×4＝8，
∴BF＝EF＝8，
；
故选：A．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键．21·世纪*教育网
37．如图，在四边形ABCD中，AB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )6，BC＝10，∠A＝130°，∠D＝100°，AD＝CD．若点E，F分别是边AD，CD的中点，则EF的长是（ ）
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A．3 B．4 C．2 D．
【答案】B
【分析】
连接AC，根据等腰三角形的性质、三角形内 ( http: / / www.21cnjy.com )角和定理求出∠DAC，结合图形求出∠BAC＝90°，根据勾股定理求出AC，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【详解】
解：连接AC，
∵DA＝DC，∠D＝100°，
∴∠DAC＝∠DCA＝40°，
∴∠BAC＝∠BAD﹣∠DAC＝130°﹣40°＝90°，
∴AC＝，
∵点E，F分别是边AD，CD的中点，
∴EF＝AC＝4，
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
38．如图，，、分别是、的中点，则下列结论：①，②，③，④，其中正确有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】
根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”可得，，再由45°角可证△ABQ为等腰直角三角形，从而可得可得，进而证明，利用三角形的全等性质求解即可．
【详解】
解：如图所示：连接，延长交于点，延长交于，延长交于．
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
，
，
点为两条高的交点，
为边上的高，即：，
由中位线定理可得，，
，故①正确；
，，
，
，
，
，
根据以上条件得，
，
，故②正确；
，
，
，故③
成立；
无法证明，故④错误．
综上所述：正确的是①②③，故选C．
【点睛】
本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用．解题关键是证明．
39．如图，在△ABC中，∠ABC ( http: / / www.21cnjy.com )和∠ACB的角平分线相交于点O．过点O作EF∥BC交AB于E．交AC于F．过点O作OD⊥AC于D．下列五个结论：其中正确的有（ ）
（1） EF=BE+CF； （2）∠BOC=90°+∠A；（3）点O到△ABC各边的距离都相等；（4）设OD=m．若AE十AF =n，则S△AEF= mn；（5）S△AEF=S△FOC．
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】
由在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故①正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设，，则，故③错误；、不可能是三角形的中点，则不能为中位线故④正确．
【详解】
解：在中，和的平分线相交于点，
，，，
，
；故（2）正确；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
故（1）正确；
过点作于，作于，连接，
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在中，和的平分线相交于点，
，
；故（3）正确，（4）错误；
，，
，不一定等于，
不一定等于．故（5）错误，
综上可知其中正确的结论是（1）（2）（3），
故选：．
【点睛】
此题考查了三角形中位线定理的运用，以及平行线的性质、等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
二、填空题
40．如图，ABC中，DE垂直平分BC，CE平分∠ACB，FG为ACE的中位线，连接DF，若∠DFG＝108°，则∠AED＝_____．
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【答案】126°
【分析】
设∠EBC=∠ECB=x，利用垂直平分线和外角和中位线的性质表示∠DFG，从而可求得x，由此可求得∠AED．
【详解】
解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
设∠EBC=∠ECB=x，
∴∠AEC=∠EBC+∠ECB=2x，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ACE=x，
∵FG是△ACE的中位线，
∴FG∥AC，
∴∠EFG=∠ACE=x，
∵D为BC的中点，F为CE的中点，
∴DF∥AB，
∴∠EFD=∠AEF=2x，
∵∠DFG=∠GFE+∠EFD=x+2x=3x，
∴3x=108°，
∴x=36°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=2x+90°-x=90°+x=90°+36°=126°，
故答案为：126°．
【点睛】
此题考查三角形的中位线定理，关键是根据线段平分线、角平分线以及三角形中位线定理解答．
41．如图，四边形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为_____．
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【答案】5
【分析】
连接DN，根据三角形中位线定理得到，根据题意得到当点N与点B重合时，DN最大，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】
解：连接DN，
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∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MND的中位线，
∴，
∵点M，N分别为线段BC，AB上的动点，
∴当点N与点B重合时，DN最大，此时
∴EF长度的最大值为：，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
42．如图，在中，，．，分别是，的中点，，为上的动点，且．连接，，则图中阴影部分的面积和为______．
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【答案】30
【分析】
连接MN，根据题意可以得到MN是三角形ABC的中位线，过点A作AF垂直于BC与点F，进而求解面积即可；
【详解】
连接MN，
∵ M、N分别是AB、AC的中点，
∴ MN为三角形ABC的中位线，
∵BC=10，
∴ ，
过点A作AF垂直于BC与点F，
∵AB=AC=13，
∴点F为BC的中点，
∴，
∴ ，
∴阴影部分的高为12，
∵MN=DE=5，
∴ ，
故答案为：30．
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【点睛】
本题考查了三角形的面积和中位线的性质，掌握数形结合的方法是解题的关键；
43．如图，在中，平分，于点，交BC于点F，点是的中点，若，，则的长为______．
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【答案】1.5
【分析】
根据角平分线的定义和全等三角形的判定和性质定理以及三角形的中位线定理即可得到结论；
【详解】
∵BD平分∠ABC，AF⊥BD，
∴∠ABE=∠FBE，∠AEB=∠FEB=90°，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△FBE(ASA)，
∴BF=AB=7，AE=EF，
∵BC=10，
∴CF=3，
∵点G是AC的中点，
∴AG=CG，
∴EG=CF=，
故答案为：1.5．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键；
44．在△ABC中， A ( http: / / www.21cnjy.com )D是BC边上的高线，CE 是AB边上的中线，CD=AE，且CE( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
先根据勾股定理求得AB，再做△ABD的中位线EF，可得EF=3，BF=DF=4，从而可得CF=1，再次利用勾股定理即可求得CE．
【详解】
解：∵AD是BC边上的高线，AD=6，AB=10，
∴∠D=90°，，
∵CE 是AB边上的中线，CD=AE，
∴，
取BD的中点F,连接CF，
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∴EF为△ABD的中位线，
∴,EF//AD，
∴∠EFB=∠D=90°，
在Rt△BEF中，根据勾股定理，
,
∴DF=BD-BF=8-4=4，
∴CF=CD-DF=5-4=1，
在Rt△CEF中，根据勾股定理，
,
故答案为：．
【点睛】
本题考查三角形中位线的定理，勾股定理．能正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．
45．如图，在中，，，点D是边的中点，点E在边上，若，那么的长是__________．
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【答案】
【分析】
过D作DF⊥AC于F，得到AB∥DF，求得AF＝CF，根据三角形中位线定理得到DF=AB＝1，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：过D作DF⊥AC于F，
∴∠DFC＝∠A＝90°，
∴AB∥DF，
∵点D是BC边的中点，
∴BD＝DC，
∴AF＝CF，
∴DF=AB＝1，
∵∠DEC＝45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE=DF=，
故答案为：．
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【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
46．如图，已知，点在边上，，过点作于点，以为一边在内作等腰直角三角形，点是围成的区域（不包括各边）内的一点，过点作交于点，作交于点，设，则取值范围是______．
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【答案】．
【分析】
结合题意，得四边形ODPE是平行四边形，从而得到；推导当点P在AC上时，取最小值；当点P与点B重合时，取最大值；再分别根据两种情况，结合平行四边形、等腰直角三角形、勾股定理的性质计算，结合点P是围成的区域（不包括各边）内的一点，即可完成求解．
【详解】
解：过点P做交于点H，
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∵，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∵，，
∴四边形ODPE是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵点P是围成的区域（先考虑包括各边）内的一点，
结合图形，当点P在AC上时，取最小值；当点P与点B重合时，取最大值；
当点P在AC上时， ，
∵，，
∴，
∴最小值；
当点P与点B重合时，如下图，AC和BD相交于点G，
∴ ，
∵，，，
∴ , ， ，
∵等腰直角三角形ABC，
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∴ ，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴GB是等腰直角三角形ABC的角平分线，
∴ ，
又∵，即 ，
∴是的中位线，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴最大值，
点是围成的区域（不包括各边）内的一点，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行四边形、勾股 ( http: / / www.21cnjy.com )定理、直角三角形、等腰直角三角形、三角形中位线、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、平行四边形、等腰直角三角形、勾股定理的性质，从而完成求解．
三、解答题
47．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，AC＜BC．
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（1）试用无刻度的直尺和圆规，在BC上作一点E，使得直线ED平分ABC的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．21世纪教育网版权所有
（2）在（1）的条件下，若AB＝8，ED＝3，求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（3）6．
【分析】
（1）以B为圆心，AC为半径画弧，交BC于一点，再运用尺规作图，作这点与点C构成线段的垂直平分线，垂足点就是所求；
（2）过点D作DF⊥BC，垂足为F，设AC=x，EC=y，则DF是△ABC的中位线，DF==，由BC=AC+2EC=x+2y，则FC==，故EF=FC-EC=，在直角三角形DEF中，实施勾股定理；可得x，从而得到AC，根据勾股定理计算BC，面积可求．
【详解】
（１）作图如下；
（2）过点D作DF⊥BC，垂足为F，设AC=x，EC=y，
∵∠C＝90°，DF⊥BC，
∴DF∥AC，
∵点D是AB的中点，
∴DF是△ABC的中位线，DF==，
∵BC=AC+2EC=x+2y，
∴FC==，
∴EF=FC-EC=，
在直角三角形DEF中，
，
∴，
解得x=6，
∴BC==，
∴△ABC的面积为：= 6．
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【点睛】
本题考查了了线段的垂直平分线的作图，三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理是解题的关键．2·1·c·n·j·y
48．已知：如图，在中，中线交于点分别是的中点．
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求证：（1）；
（2）和互相平分．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）利用三角形中位线定理即可得出FG=DE，且FG∥DE；
（2）由（1）的条件可以得出四边形DEFG为平行四边形，根据平行四边形的性质可以得出对角线和互相平分．
【详解】
（1）在△ABC中，
∵BE、CD为中线
∴AD=BD，AE=CE，
∴DE∥BC且DE=BC．
在△OBC中，
∵OF=FB，OG=GC，
∴FG∥BC且FG=BC．
∴DE∥FG
（2）由（1）知：
DE∥FG，DE=FG．
∴四边形DFGE为平行四边形．
∴和互相平分
【点睛】
此题主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，正确利用三角形中位线定理是解题关键．
49．如图，在中，，D为CA延长线上一点，于点E，交AB于点F．
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（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求线段DE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据等边对等角和直角三角形两锐角互余可得∠D=∠BFE，再等量代换可得∠D=∠AFD，根据等角对等边即可证明；
（2）过A作AH⊥BC，根据中位线定理可得EH=2，根据三线合一可得EC，再根据勾股定理可求．
【详解】
解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠C+∠D=90°，∠B+∠BFE=90°，
∴∠D=∠BFE，
又∵∠BFE=∠AFD，
∴∠D=∠AFD，
∴AD=AF，即△ADF为等腰三角形；
（2）过A作AH⊥BC，
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∵，DE⊥BC，
∴EF//AH，
∴EF是△BAH的中位线，
∵BE=2，
∴EH=2，
∵AB=AC，
∴BC=4BE=8，EC=HC+HE=BH+EH=6，
∵DA=AF=5，AC=AB=10，
∴DC=AD+AC=15，
∴．
【点睛】
本题考查中位线定理、勾股定理、等腰三角形的性质和判定等．（1）中注意等边对等角，以及等角对等边的使用；（2）中能正确作出辅助线是解题关键．
50．如图，点在外，连接，，延长交于，为的中点．
（1）求证：；
（2）若，，，，求的长．
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【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接交于点，根据平行四边形的性质可以判定OF为△DBE的中位线，即可证明；
（2）根据AD=2，∠ACD=90°，∠ADC=60°，可求出AC的长，再根据中位线的性质即可求解；
【详解】
解：（1）连接交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴OF为△DBE的中位线
∴．
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（2）∵AD=2，∠ACD=90°，∠ADC=60°，
∴．
∵是的中位线，
∴．
∴．
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了三角形中位线的性质以及平行四边形的性质，正确掌握知识点是解题的关键；
51．如图，的对角线、交于点，，分别是、的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长度．
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【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到AO＝OC，BO＝OD，根据三角形中位线的性质得到MO∥AD，NO∥AB，根据平行四边形的判定可证得结论；
（2）由勾股定理求得AB，根据三角形中位线的性质得到进而可得结论．
【详解】
（1）∵四边形是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD．
∵，分别是、的中点，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，，
∴，．
∵，
∴
∵是的中点，，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质，勾股定理，根据三角形中位线的性质得到是解决问题的关键．
52．如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，，，求的度数．
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【答案】∠PFE =20°
【分析】
根据三角形中位线定理得到,得到PE=PF，根据等腰三角形的性质解答．
【详解】
解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴，
同理，，
∵AD=BC，
∴PE=PF，
∴∠PFE=∠PEF=20°．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
53．如图，在中，，．
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（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）
①作的平分线交于点D；
②作边的中点E，连接；
（2）在（1）所作的图中，若，则的长为__________．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）6.5
【分析】
（1）①以A为圆心，小于AB的长度为半径画圆，交AB、AC于两个点，再分别以这两个点为圆心，一样的半径画弧，交于一点，连接这个点与点A，即可得到的平分线，再画出它与BC的交点D；
②作线段AC的垂直平分线，即可找到线段AC的中点E，连接DE；
（2）由等腰三角形“三线合一”的性质得，，用勾股定理求出AB的长，再根据中位线的性质得到DE的长．
【详解】
解：（1）①如图所示：
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②如图所示：
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（2）∵，AD平分，
∴，，
在中，，
∵E、D分别是AC和BC的中点，
∴，
故答案是：6.5．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，中位线的定理，以及角平分线和垂直平分线的作法，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理以及作图方法．21*cnjy*com
54．如图，在中，是边的中线，是的中点，连接并延长交于点．求证：．
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【答案】见解析
【分析】
取的中点，连接，则DM是△ABF的中位线，利用中位线定理结合全等三角形的判定即可证得．
【详解】
证明：取的中点，连接，
∵是边的中线，
∴是边的中点，
∴，
．
∴，．
∵是的中点，
∴，
在△MDE和△FCE中，
∴．
∴，
∴．
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【点睛】
此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
55．如图，在和中，， ，，点C在边AB上，点 G是线段AD的中点．
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（1）求的度数；
（2）求证：OG平分．
【答案】（1）∠ABD=90°；（2）证明见解析．
【分析】
（1）只需要证明△BOD≌△AOC，再根据等腰直角三角形的性质即可得出∠OBD=∠OAB=∠OBA=45°，从而求得的度数；www.21-cn-jy.com
（2）延长BD与AO的延长线交于E，可证明 ( http: / / www.21cnjy.com )△OBE≌△OBA，得出OA=OE，从而得出OG为△ADE的中位线，根据三角形中位线的性质可求得∠AOG=∠E=45°，继而证明结论．
【详解】
解：（1）∵∠AOB=∠COD=90°，，
∴∠OBA=∠OAB=45°，∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，即∠AOC=∠BOD，
又∵，，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴∠OBD=∠OAB=45°，
∴∠ABD=∠OBA+∠OBD=90°；
（2）延长BD与AO的延长线交于E，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOE=90°，
又∵OB=OB，∠OBD=∠OBA=45°，
∴△OBE≌△OBA（SAS），
∴∠E=∠OAB=45°，EO=OA，
又∵G为AD的中点，
∴OG为△ADE的中位线，即OG//ED，
∴∠AOG=∠E=45°，即 ，
∴OG平分．
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【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，三角形中位线 ( http: / / www.21cnjy.com )定理，等腰直角三角形的性质．（1）中掌握全等三角形的判定定理，并能结合题意选择合适的定理作为依据证明是解题关键；（2）中正确作出辅助线是解题关键．
56．如图，为的中线，为的中线．
（1），，求 的度数；
（2）若的面积为40，，则到边的距离为多少．
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【答案】（1）；（2）4．
【分析】
（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；
（2）过作边的垂线即可得：到边的距离为的长，然后过作边的垂线，再根据三角形中位线定理求解即可．
【详解】
解：（1）是的外角，
；
（2）过作边的垂线，为垂足，则为所求的到边的距离，
过作边的垂线，
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为的中线，，
，
的面积为40，
，即，解得，
∵为的中线，
∴，
又∵为的中线，
∴，
则有：
．
即到边的距离为4．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质、三角形中位线的性质及三角形的面积公式，添加适当的辅助线是解题的关键．
57．已知：如图AB＝AC，AB⊥AC，AD＝AE，AD⊥AE，点M为CD的中点
求证：2AM＝BE
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【答案】详见解析
【分析】
作CN∥AM，交DA延长线于N，根据AM∥CN，点M是CD的中点，得到AM是△DCN的中位线，推出CN=2AM，AE=AN，根据∠BAC=∠DAE=证出∠CAN=∠BAE，证得△BAE≌△CAN，推出BE=CN，由此得到结论．
【详解】
如图，作CN∥AM，交DA延长线于N，
∵AM∥CN，点M是CD的中点，
∴AM是△DCN的中位线，
∴CN=2AM，AD=AN，
∴AE=AN，
∵AD⊥AE，AB⊥AC，
∴∠BAC=∠DAE=
∴∠EAN=，
∴∠CAE+∠EAN=∠BAC+∠CAE，
∴∠CAN=∠BAE，
∵AB=AC，AE=AN，
∴△BAE≌△CAN，
∴BE=CN，
∴2AM=BE．
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【点睛】
此题考查全等三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )及性质，三角形中位线的性质，题中辅助线的引出是解题的关键，在三角形中，已知一边中点时，通常是利用中点构造全等三角形解决问题．
58．如图，在中， ，延长至点，使，连接，分别为中点，连接，若，求线段的长度．
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【答案】线段的长度为1．
【分析】
根据邻补角的定义得到∠ACB＝60°，根据等边三角形的性质得到BC＝AB＝2，根据三角形的中位线定理即可得到结论．
【详解】
∵∠ACD＝120°，
∴∠ACB＝60°，
∵AB＝AC＝2，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝2，
∴CD＝BC＝2，
∵E、F分别为AC、AD的中点，
∴EF＝CD＝1．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
59．如图，在中有如下3个论断；①点是的边的中点；②点是边的中点；③.选择其中两个作为题设另一个为结论，可以写出所有以下三个命题，（1）：①②③，（2）：①③②，（3）：②③①.
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（1）正确的命题有______.（填番号）
（2）请对命题（2）的正误作出证明.
【答案】（1）（1）、（2）、（3）；（2）证明见解析
【分析】
（1）这三个命题都是正确的，利用构造全等三角形的方法和平行四边形的性质和判定证明命题的正确性；
（2）延长至点，使，连接，证明，得到四边形为平行四边形，就可以证明结论．
【详解】
（1）命题（1）：延长至点，使，连接，
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∵点为中点，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴且，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴即；
命题（2）：延长至点，使，连接，
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∵点为中点，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴且，
∴即，
∵即，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴点为的中点；
命题（3）：延长线段至点，使得，
如下图：连接，
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∵点为的中点，
∴，
在中和中，
，
∴（SAS），
∴且，
由可得：，即，
又∵即，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
则点为的中点；
（2）延长至点，使，连接，
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∵点为中点，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴且，
∴即，
∵即，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴点为的中点．
【点睛】
本题考查中位线定理，解题的关键是掌握中位线定理的证明方法，通过构造全等三角形和平行四边形的性质和判断去证明中位线定理．
60．已知，如图，在ΔABC与ΔADE中，AB=AC，AD=AE，
（1）如图①，连接CD、BE， 交于G点，若∠BAC=∠DAE=，求∠BGC度数．
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①
（2）如图②，连接CE、BD，若P为BD中点，且∠EAC=∠ABD＋∠ADB，试探究AP与CE的数量关系，并说明理由．
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②
【答案】（1）∠BGC=；（2）CE=2AP，理由见解析
【分析】
（1）先利用“SAS”证明△BAE△CAD推出∠ABE=∠ACD，再利用三角形内角和定理结合对顶角相等即可求解；
（2）延长DA至O，使OA=DA，连接OB，利用“SAS”证明△BAO△CAE，再根据三角形中位线的性质即可得到结论．
【详解】
（1）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE =∠DAE+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD，
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在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE△CAD(SAS)，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠ABE+∠1+∠BAC=∠ACD+∠2+∠BGC，
且∠1=∠2，∠BAC=，
∴∠BGC=∠BAC=；
（2）CE=2AP，理由如下：
延长DA至O，使OA=DA，连接OB，如图：
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∵AD=AE，
∴OA=DA=AE，
∵∠EAC=∠ABD+∠ADB，
又∠BAO是△ABD的外角，
则∠BAO =∠ABD+∠ADB，
∴∠BAO=∠EAC，
在△BAO和△CAE中，
，
∴△BAO△CAE(SAS)，
∴BO = CE，
∵P为BD中点，
∴BO=2AP，
∴CE=2AP．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形的外角性质，三角形内角和定理等，作出合理的辅助线构造全等三角形是解题的关键．2-1-c-n-j-y
61．如图，在等边中，点是射线上一动点（点在点的右侧），．点是线段的中点，连接．
（1）请你判断线段与的数量关系，并给出证明；
（2）若，求线段长度的最小值．
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【答案】（1），理由见解析；（2）1
【分析】
（1）结论，延长到，使，连接BH，EH，先证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得， ，再证明，根据全等三角形的性质可得AH=AD，∠3=∠5，即可得∠HAD=60°，所以是等边三角形，由此即可证得结论；
（2）连接EC，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求得；取中点，连接FG，可知为中位线，根据三角形的中位线定理可得，即可得，所以点的轨迹为射线，且；当时，最小，由此即可求得线段长度的最小值为1．
【详解】
延长到，使，连接BH，EH，
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∵点是线段的中点，
∴BF=EF，
∴四边形是平行四边形，
， ，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
，
在△ABH和△ACD中，
，
，
∴AH=AD，∠3=∠5，
∵∠3+∠4=60°，
∴∠4+∠5=60°，
即∠HAD=60°，
∴是等边三角形，
∴HD=AD，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
连接EC，
，
，
取中点，连接FG，
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是中点
为中位线
，
的轨迹为射线，且，
∵，
∴，
当时，最小，
中，，
∴．
即线段长度的最小值为1．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性 ( http: / / www.21cnjy.com )质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质就、三角形的中位线定理及30°角直角三角形的性质，正确作出辅助线，熟练运用相关知识是解决问题的关键．
62．在中，，，点D为的中点．
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（1）如图1，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转90°得到线段，连结，过点F作，交直线于点H．判断与的数量关系并加以证明．
（2）如图2，若E为线段的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，给出证明．
【答案】（1）CF=FH；理由见解析；（2）结论不变，CF=FH；理由见解析．
【分析】
（1）延长DF交AB于点G， ( http: / / www.21cnjy.com )根据三角形中位线的判定得出点G为AB的中点，根据中位线的性质及已知条件AC=BC，得出DC=DG，从而EC=FG，易证∠1=∠2=90°-∠DFC，∠CEF=∠FGH=135°，于是证出△CEF≌△FGH．故CF=FH．
（2）类似（1）的证法证明△CEF≌△FGH，故CF=FH．
【详解】
解：（1）FH与FC的数量关系是：FH=FC．理由如下：
如图1，延长DF交AB于点G，
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由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF，
∴DG∥CB，
∵点D为AC的中点，
∴点G为AB的中点，且DC＝AC，
∴DG为△ABC的中位线，
∴DG＝BC．
∵AC=BC，
∴DC=DG，
∴DC-DE=DG-DF，
即EC=FG．
∵∠EDF=90°，FH⊥FC，
∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°，
∴∠1=∠2．
∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DGA=45°，
∴∠CEF=∠FGH=135°，
∴△CEF≌△FGH，
∴CF=FH．
（2）FH与FC仍然相等．理由如下：
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如图2，由题意可得出：DF=DE，
∴∠DFE=∠DEF=45°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠CBA=45°，
∵DF∥BC，
∴∠CBA=∠FGB=45°，
∴∠FGH=∠CEF=45°，
∵点D为AC的中点，DF∥BC，
∴DG= BC，DC= AC，
∴DG=DC，
∴EC=GF，
∵∠DFC=∠FCB，
∴∠GFH=∠FCE，
在△FCE和△HFG中，
，
∴△FCE≌△HFG（ASA），
∴HF=FC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理等知识，综合性强，难度较大．
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