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第四讲 多边形及其内角和
一、单选题
1．如图，在四边形中，，分别是两组对边延长线的交点，，分别是，的角平分线．若，，则（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
连接EF，根据三角形内角和等于180°及三角形角平分线的性质，即可得出∠EGF ，代入∠ADC=60°、∠ABC=80°，即可求出∠EGF的度数．
【详解】
解：连接EF，如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∠EGF=180°-（∠GFE+∠GEF）
=180°-（∠CFE-∠CFG+∠CEF-∠CEG）
=180°-（∠CFE+∠CEF）+（∠CFG+∠CEG）
，
∵∠ADC=60°、∠ABC=80°，
∴∠EGF=(360°-60°-80°)
=110°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质，根据角与角之间的关系找出∠EGF(360°-∠ABC-∠ADC)是解题的关键．
2．如图，在正八边形中，是对角线，则的大小是 （ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求出正八边形的内角和，算出每个内角的度数，再根据△ABC为等腰三角形以及内角和为180°，可求出∠CAB的大小
【详解】
解：∵正八边形的内角和为：
每个内角的度数为
又∵AB=BC
∴△ABC是等腰三角形
∴
故选：A
【点睛】
本题考查多边形内角和与等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键
3．一个多边形的每一外角都等于60°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．1440° B．1080° C．720° D．360°
【答案】C
【分析】
由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个多边形的边数，由多边形内角和公式可求解．
【详解】
解：∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360°÷60°=6，
∴这个多边形的内角和=180°×（6-2）=720°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于360度是关键．
4．下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形的外角和是360°
B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
D．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等
【答案】D
【分析】
根据三角形外角和的性质即 ( http: / / www.21cnjy.com )可对A进行判断；根据垂直平分线的性质即可对B进行判断；根据等边三角形的判定即可对C进行判断；根据三角形全等的证明即可对D进行判断；【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
A、三角形的外角和为360°，故A正确；
B、垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故B正确；
C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故C正确；
D、由两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，故D错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理，命题的真假是就命题的内容而言，正确掌握定理是解题的关键．
5．一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，则它是（ ）边形．
A．六 B．七 C．八 D．九
【答案】C
【分析】
根据多边形的内角和等于它的外角和的3倍可列方程求得边数．
【详解】
解：设多边形的边数为n，
根据题意得：（n 2）×180°＝360°×3．
解得n＝8．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
6．如果一个多边形的内角和为，那么从这个多边形的一个顶点可以作（ ）条对角线．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先利用n边形的内角和公式算出n，再利用n边形的每一个顶点有(n-3)条对角线计算即可.
【详解】
根据题意,得
(n-2)×180=1260，
解得n=9，
∴从这个多边形的一个顶点可以作对角线的条数为：
n-3
=9-3
=6.
故选C.
【点睛】
本题考查了n边形的内角和和经过每一个顶点可作的对角线条数，熟记多边形内角和公式，计算经过每一个顶点的对角线条数计算公式是解题的关键.
7．一个多边形的每个外角都等于相邻内角的，这个多边形为（ ）
A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形
【答案】B
【分析】
设一个外角是x，则一个内角是3x，列得3x+x=180°，求得x，再用外角和360°除以x即可得到答案．
【详解】
设一个外角是x，则一个内角是3x，3x+x=180°，
解得：x=45°，
由于多边形的外角和为360°，
则边数为360°÷45°=8，
故选：B．
【点睛】
此题考查多边形内角与外角互补计算，多边形外角和，求多边形边数，熟记多边形外角与内角的关系是解题的关键．【版权所有：21教育】
8．如图，用一条宽相等的足够长的纸条 ( http: / / www.21cnjy.com )，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠BAE的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．90° B．108° C．120° D．135°
【答案】B
【分析】
先求出正五边形的内角和，再除以内角的个数即可得到答案．
【详解】
解：正五边形的内角和=，
∴∠BAE=，
故选：B．
【点睛】
此题考查正多边形内角和公式及求正多边形的一个内角的度数，熟记多边形内角和公式是解题的关键．
9．一个多边形的内角和外角和之比为4：1，则这个多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】
设多边形有n条边，则内角和为180°（n﹣2），再根据内角和等于外角和4倍可得方程180（n﹣2）＝360×4，再解方程即可．
【详解】
解：设多边形有n条边，由题意得：
180（n﹣2）＝360×4，
解得：n＝10，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180°（n﹣2）．
10．在△ABC中，高BD和CE所在的直线相交于点O，且点O与点B、C不重合，∠A=50°，则∠BOC的度数为（ ）．2·1·c·n·j·y
A．50°或130° B．40°或130° C．50°或65 D．40°或65°
【答案】A
【分析】
分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用四边形内角和定理和三角形内角和定理求解即可．
【详解】
解：当△ABC是锐角三角形时，如图①
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵
∴∠ADB=∠AEC=90°
∵∠ADB+∠DOE+∠AEO+∠A=360°，∠A=50°
∴∠DOE=360°-∠ADB-∠AEC-∠A=360°-90°-90°-50°=130°
∵∠BOC=∠DOE
∴∠BOC=130°；
当△ABC是钝角三角形时，如图②
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠
∴∠
∵∠
∴∠
综上所述，∠BOC的度数为130°或50°
故选：A
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解决问题的关键是画出图形分类讨论，利用三角形内角和是180°进行推算．21·世纪*教育网
11．如图，在中，，沿图中虚线截去，则（ ）
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A．288 B．252 C．180 D．144
【答案】B
【分析】
根据三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理解决问题即可．
【详解】
解：∵∠C=72°，
∵∠ ( http: / / www.21cnjy.com )A+∠B=180°-72°=108°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°，
∴∠1+∠2=360°-108°=252°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，四边形的面积和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
12．一个正多边形内角和是，则这个正多边形的一个外角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据多边形的内角和公式求出边数，再根据多边形的外角和即可求解．
【详解】
解：∵正多边形的内角和是，
∴,
解得,
∴正多边形的一个外角等于，
故选：D．
【点睛】
本题考查多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
13．五边形ABCDE中，、、、对应的邻补角和等于215°，则的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】B
【分析】
由外角和内角的关系可求得的内角和，由五边形内角和可求得五边形ABCDE的内角和，继而求得.
【详解】
解：∵的外角的角度和为，
∴，
∴，
∵五边形ABCDE内角和为：，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考察多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得的和是解题的关键．
14．在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．10或11
【答案】B
【分析】
设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，根据多边形内角和定理，列出等式，进而即可求解．
【详解】
设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，
则(n-2)×180+x=1500，
(n-2)×180=8×180+60-x，
∵n-2为正整数，
∴60-x能被180整除，
又∵x＞0，
∴60-x=0，
∴(n-2)×180=8×180，
∴n=10，
故选B
【点睛】
本题主要考查多边形的内角和定理，根据定理，列出方程，是解题的关键．
15．正多边形的每个外角为60度，则多边形为（ ）边形．
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】
利用多边形的外角和除以外角得到多边形的边数．
【详解】
多边形的边数为=6，
故选：B．
【点睛】
此题考查多边形的外角和定理，正多边形的性质，利用外角和除以外角的度数求正多边形的边数是最简单的题型．21*cnjy*com
16．已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】
先根据多边形的外角和等于可得其内角和的度数，再根据多边形的内角和公式即可得．
【详解】
设这个多边形的边数为，
这个多边形的内角和是外角和的4倍，
其内角和为，
由多边形的内角和公式得：，
解得，
故选：B．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和问题，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．
17．若过边形的一个顶点的所有对角线正好将该边形分成个三角形，则的值是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据n边形从一个顶点出发可引出（n 3）条对角线，可组成n 2个三角形，依此可得n的值．
【详解】
解：经过边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，由题意，得，解得．
故选．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
18．一个多边形的每一个内角都是135°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【答案】B
【分析】
已知每一个内角都等于135°，就可以知道每个外角是45度，根据多边形的外角和是360度就可以求出多边形的边数．
【详解】
多边形的边数是：n＝360°÷（180°﹣135°）＝8．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．
19．下列角度中，不能成为多边形内角和的是（ ）
A．600° B．900° C．1080° D．720°
【答案】A
【分析】
利用多边形的内角和公式即可作出判断．
【详解】
解：∵多边形内角和公式为（n 2）×180，
∴多边形内角和一定是180的倍数．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了多边形内角和公式，在解题时要记住多边形内角和公式，并加以应用即可解决问题．
20．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
多边形的外角和是，则内角和是,设这个多边形是n边形，内角和是，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值.
【详解】
解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
，
解得：．
即这个多边形为六边形．
故选：C.
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外 ( http: / / www.21cnjy.com )角和，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键，根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决.
21．一个多边形少算一个内角，其余内角之和是1500°，则这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】
根据n边形的内角和是(n-2) 180°，可以得到内角和一定是180度的整数倍，即可求解．
【详解】
，
则正多边形的边数是8+1+2=11．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，掌握n边形的内角和公式(n-2) 180°是解题的关键．
22．有公共顶点，的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接交正六边形于点，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据正多边形的内角可得、和的度数，再根据四边形内角和是求出的度数．
【详解】
解：正五边形的内角是，
∵，
∴，
正六边形的内角是，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查多边形的内角和，解题的关键是利用多边形内角和公式求出正多边形的内角度数．
23．如图，在△ABC中，∠A=70°，直线DE分别与AB，AC交于D，E两点，则∠1+∠2=（ ）
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A．110° B．140° C．180° D．250°
【答案】D
【分析】
先利用三角形内角和定理计算出∠B+∠C=110°，然后根据四边形内角和为360°计算∠1+∠2的度数．
【详解】
∵∠A+∠B+∠C=180°，
而∠ ( http: / / www.21cnjy.com )A=70°，
∴∠B+∠C=110°，
∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°，
∴∠1+∠2=250°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理以及四边形的内角和，注意：三角形的内角和为180°；四边形的内角和为360°．
24．如图，多边形中，，，则的值为（ ）
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A．84° B．80° C．72° D．60°
【答案】D
【分析】
连接CD，根据多边形的内角和公式可得四边形CDEF的内角和，进而得出∠DCF+∠EFC，由可得∠AFC+∠BCF的度数，再根据三角形的内角和公式即可得解．21教育网
【详解】
解：连接CD，
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四边形CDEFG的内角和为：（4-2）×180°=360°，
∴∠DCF+∠EFC=360°-（∠E+∠D）=360°-108°×2=144°，
∴∠AFC+∠BCF=∠DCF+∠EFC -（∠AFC+∠BCF）=144°-42°×2=60°，
∴∠A+∠B=∠AFC+∠BCF =60°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和和外角和定理：n边形的内角和为（n-2）×180°；n边的外角和为360°．
25．如图，EC，BD是正五边形ABCDE的对角线，则∠1的大小为（ ）
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A．72° B．75° C．60° D．80°
【答案】A
【分析】
首先根据正五边形的性质得到BC=C ( http: / / www.21cnjy.com )D=DE，∠BCD=∠CDE=108°，然后利用三角形内角和定理得∠CBD=∠CDB=∠CED=∠DCE=36°，再利用三角形的外角的性质求解．
【详解】
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴BC=CD=DE，∠BCD=∠CDE=108°，
∴∠CBD=∠CDB=∠CED=∠DCE==36°，
∴∠1=∠BDC+∠DCE=72°．
故选：A．
【点睛】
考查的是多边形内角与外角，正五边形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解题关键是利用数形结合．
26．如图，点P在∠MON ( http: / / www.21cnjy.com )的内部，点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，连接AB，交OM于点C，交ON于点D，连接PC，PD．若∠MON＝50°，则∠CPD＝( )
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A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】B
【分析】
根据轴对称的性质、等边对等角的性质以及三角形内角和定理求出∠OAB=40°．设∠COP=，∠DOP=，则．再求出∠CPA=∠CAP=∠OAP-∠OAB=．∠DPB=．根据四边形内角和定理求出∠EPF=130°，即可求解．
【详解】
如图，连接OA、OB、OP，设PA与OM交于点E，PB与ON交于点F．
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∵点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，
∴OA=OP=OB，CA=CP，DP=DB，∠AOC=∠COP，∠POD=∠DOB，
∴∠AOB=∠AOC+∠COP+∠POD+∠DOB=2∠COD=100°，
∴∠OAB=∠OBA=(180°-∠AOB)=40°，
设∠COP=，∠DOP=，则，
∵OA=OP，∠AOP=，
∴∠OPA=∠OAP=(180°)=，
∵∠OAB=40°，
∴∠CPA=∠CAP=∠OAP-∠OAB=．
同理，∠DPB=．
∵∠EPF=360°-∠EOF-∠OEP-∠OFP=360°-50°-90°-90°=130°，
∴∠CPD=∠EPF-(∠CPA+∠DPB)=130°-()=30°+()=80°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，等腰三角形等边对等角的性质，三角形、四边形内角和定理．熟记各性质并确定出相等的角是解题的关键．
27．如图，小明从点出发，沿直线前进10米后向左转10°再沿直线前进10米后向左转20°再沿直线前进10米后向左转30°……照这样下去，他第一次回到出发地点时，一共走了（ ）
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A．80米 B．160米
C．300米 D．640米
【答案】A
【分析】
利用多边形的外角和得出小明回到出发地点时左转的次数，即可求出多边形的边数，即可解决问题．
【详解】
解：由题意可知，小明第一次回到出发地点时，他一共转了，由题意得10°+20° +30°+40°+50°+60°+70°+80°=360°，所以共转了8次，每次沿直线前进10米，所以一共走了80米．
故选：A．
【点睛】
本题考查根据多边形的外角和解决实际问题，注意多边形的外角和是，要注意第一次转了10°，第二次转了20°，第三次转了30°……，利用好规律解题．21教育名师原创作品
28．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2100°则这个多边形的对角线共有（ ）
A．104条 B．90条 C．77条 D．65条
【答案】C
【分析】
边形的内角和是，即内角和一定是180度的整数倍，即可求解，据此可以求出多边形的边数，在根据多边形的对角线总条数公式计算即可．
【详解】
解：，则正多边形的边数是11+2+1=14．
∴这个多边形的对角线共有条．
故选：C．
【点睛】
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理；要注意每一个内角都应当大于而小于180度．同时要牢记多边形对角线总条数公式．
二、填空题
29．如图所示，在五边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCDE中，∠A＝∠C＝80°，∠B＝140°，∠DEF为五边形ABCDE的一个外角，且∠DEF＝60°，则∠D＝_____．【出处：21教育名师】
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【答案】120°
【分析】
利用内角与外角的关系可得∠AED＝120°，然后再利用多边形内角和定理进行计算即可．
【详解】
解：∵∠DEF＝60°，
∴∠AED＝120°，
∵∠A＝∠C＝80°，∠B＝140°，
∴∠D＝180°×（5﹣2）﹣80°﹣80°﹣140°﹣120°＝120°，
故答案为：120°．
【点睛】
此题主要考查了多边形内角与外角，关键是掌握多边形内角和定理：（n-2） 180° （n≥3且n为整数）．
30．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_______°．
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【答案】360
【分析】
根据多边形的内角和定理可求解∠A+∠B+∠1+∠C+∠D+∠3+∠E+∠F+∠2=540°，结合三角形的内角和定理可求解．
【详解】
解：∵∠A+∠B+∠1=180°，∠C+∠D+∠3=180°，∠E+∠F+∠2=180°，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠A+∠B+∠1+∠C+∠D+∠3+∠E+∠F+∠2=540°，
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，
故答案为：360．
【点睛】
本题主要考查多边形的内角和外角，三角形的内角和定理，掌握相关定理是解题的关键．
31．如图，AE平分∠BAC，DE平分∠BDC，已知∠B=10°，∠C=40°，则∠E=____________．
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【答案】15°
【分析】
根据周角定义和四边形的内角和为360°可得∠BDC﹣∠BAC=50°，根据角平分线的定义可得∠EAC=∠BAC，∠EDC=∠BDC，再根据对顶角相等和三角形的内角和为180°可证得∠E+∠EDC=∠C+∠EAC，进而可求得∠E的度数．
【详解】
解：∵∠B+∠BAC+∠C+(360°﹣∠BDC)=360°，∠B=10°，∠C=40°，
∴∠BDC﹣∠BAC=50°，
∵AE平分∠BAC，DE平分∠BDC，
∴∠EAC=∠BAC，∠EDC=∠BDC，
∴∠EDC﹣∠EAC==∠BDC﹣∠BAC=25°，
设CD与AE相交于F，则∠DFE=∠AFC，
∵∠E+∠EDC+∠DFE=∠C+∠EAC+∠AFC，
∴∠E+∠EDC=∠C+∠EAC，
∴∠E=∠C﹣(∠EDC﹣∠EAC)=40°﹣25°=15°，
故答案为：15°．
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【点睛】
本题考查角平分线的定义、四边形的内角和为360°、周角定义、三角形的内角和定理、对顶角相等，熟练掌握这些知识的运用与联系是解答的关键．
32．科技小组制作了一个机器人 ( http: / / www.21cnjy.com )，它能根据指令要求行走和旋转．某一指令规定：如图，机器人先向前行走1米，然后左转45°向前行走1米，……．若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了______米．
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【答案】8
【分析】
结合题意，根据正多边形外角和的性质计算，即可得到多边形的边数，经计算即可得到答案．
【详解】
根据题意得：机器人行走的多边形外角为
∴多边形的边数为：
∴多边形的周长为：米
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了正多边形的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形外角和的性质，从而完成求解．
33．边长相等的正方边形ABFG和正五边形BCDEF如图所示拼接在一起，则∠FGE=____°．
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【答案】9
【分析】
根据多边形的内角和定理计算即可；
【详解】
∵四边形ABFG是正方形，
∴，
又∵五边形BCDEF是正五边形，
∴正五边形的内角和为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
故答案是9．
【点睛】
本题主要考查了多边形内角和定理，准确分析计算是解题的关键．
34．如图，在△ABC中，∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )C＝124°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM，PN，垂足分别是点M，N．以下说法：①∠P＝56°；②∠EAF＝68°；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等．正确的是_____（填序号）．
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【答案】①②④
【分析】
根据垂直的定义、四边形的内角和等于360° ( http: / / www.21cnjy.com )计算，判断①；根据线段垂直平分线的性质得到EC＝EA，FB＝FA，进而得到∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，经过计算判断②；根据等腰三角形的性质判断③，根据线段垂直平分线的性质判断④．
【详解】
解：∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴∠PMA＝∠PNA＝90°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣124°＝56°，①说法正确；
∵∠BAC＝124°，
∴∠B+∠C＝180°﹣124°＝56°，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴EC＝EA，FB＝FA，
∴∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，
∴∠EAF＝∠BAC﹣∠EAC﹣∠FAB＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝124°﹣56°＝68°，②说法正确；
△ABC不一定是等腰三角形，
∴BF不一定等于CE，
∴无法判定PE与PF是否相等，③说法错误；
连接PC、PA、PB，
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∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴PC＝PA，PB＝PA，
∴PB＝PC，即点P到点B和点C的距离相等，④说法正确，
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查的是四边形的内角和，线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
35．如图，已知正五边形，过点作的平行线，交的延长线于点，点在正五边形的边上运动，运动路径为．当为等腰三角形时，则的顶角为______度．
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【答案】36或72或108
【分析】
根据题意可以分情况谈论：①当AP=AF；②当PF=FA；③当FA=PF；分别求其顶角的度数；
【详解】
解：易知正五边形的内角为： ；
∴∠CBA=108°=∠BAE，
∴∠ABF=180°-108°=72°，
∠BAF= ，
∴∠BFA=180°-72°-36°=72°；
∴AB=AF，
若P在AB边上，不可能有PF=FA，
①若PA=PF，则∠PAF=∠PFA=36°，∴顶角为∠APF=180°-36°×2=108°；
②若PA=AF，则P与B重合，此时顶角为∠PAF=36°；
若P在BC边上，连接AC，易知AC=CF，不存在PA=AF；
①若PF=FA，此时顶角为∠ PFA=72°，
②若PA=PF，则P与C重合，顶角为36°；
若P在CD上，不存在等腰三角形；
综上：顶角为108°或36°或72°；
故答案为：36或72或108；
【点睛】
本题考查了正多边形的内角和公式和三角形的内角和问题，要注意分类讨论的问题，不要遗漏.
36．如图，小明从A点出发，沿直 ( http: / / www.21cnjy.com )线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为____米．
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【答案】64
【分析】
根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×8=64米．
【详解】
解：设边数为n，
多边形外角和为360°，所以n=360°÷45°=8，总边长为8×8=64米，
故答案为：64．
【点睛】
此题考查多边形的外角和，正多边形的性质，正确理解题意是解题的关键．
37．从如图的五边形ABCDE纸片中减去一个三角形，剩余部分的多边形的内角和和是__________
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【答案】 或或.
【分析】
从一个五边形中剪去一个三角形，得到的可能是四边形、可能是五边形、可能是六边形，再根据多边形的内角和的公式求解.www.21-cn-jy.com
【详解】
分三种情况：
①若剩余部分的多边形是四边形，则内角和为360°，
②若剩余部分的多边形是五边形，则内角和为，
③若剩余部分的多边形是六边形，则内角和为，
故答案为： 或或.
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【点睛】
此题考查多边形的内角和公式，多边形的剪切问题，培养空间的想象能力非常重要.
38．如图，已知：四边形ABCD中，对角线 ( http: / / www.21cnjy.com )BD平分∠ABC，∠ACB＝74°，∠ABC＝46°，且∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠BDC的度数为_____．2-1-c-n-j-y
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【答案】30°
【分析】
延长BA和BC，过D点作DE⊥B ( http: / / www.21cnjy.com )A于E点，过D点作DF⊥BC于F点，根据BD是∠ABC的平分线可得出△BDE≌△BDF，故DE=DF，过D点作DG⊥AC于G点，可得出△ADE≌△ADG，△CDG≌△CDF，进而得出CD为∠ACF的平分线，得出∠DCA=53°，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
解：
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延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，
∵BD是∠ABC的平分线
在△BDE与△BDF中， ，
∴△BDE≌△BDF（ASA），
∴DE＝DF，
又∵∠BAD+∠CAD＝180°
∠BAD+∠EAD＝180°
∴∠CAD＝∠EAD，
∴AD为∠EAC的平分线，
过D点作DG⊥AC于G点，
在Rt△ADE与Rt△ADG中， ，
∴△ADE≌△ADG（HL），
∴DE＝DG，
∴DG＝DF．
在Rt△CDG与Rt△CDF中， ，
∴Rt△CDG≌Rt△CDF（HL），
∴CD为∠ACF的平分线，
∠ACB＝74°，
∴∠DCA＝53°，
∴∠BDC＝180°﹣∠CBD﹣∠DCA﹣∠ACB＝180°﹣23°﹣53°﹣74°＝30°．
故答案为：30°
【点睛】
本题考查了多边形的外角和内角，能熟 ( http: / / www.21cnjy.com )记三角形的外角性质和三角形的内角和定理是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
39．如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则_______度．
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【答案】72．
【解析】
【分析】
根据五边形的内角和公式求出，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．
【详解】
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
，
，
，
同理，
故答案为：72
【点睛】
本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键．
三、解答题
40．平面上有与与相交于点与相交于点与相交于点N，若．
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（1）求证：；
（2），求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠BPD=140°．
【分析】
（1）利用SAS证明△ACD≌△BCE即可；
（2）由全等三角形的性质可知：∠A=∠B，再根据已知条件和四边形的内角和为360°，即可求出∠BPD的度数．
【详解】
解：（1）证明：∵∠ACB=∠ECD，∠ACE=∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠A=∠B，∠BCE=∠ACD，
∴∠BCA=∠ECD，
∵∠ACE=55°，∠BCD=155°，
∴∠BCA+∠ECD=100°，
∴∠BCA=∠ECD=50°，
∵∠ACE=55°，
∴∠ACD=105°
∴∠A+∠D=75°，
∴∠B+∠D=75°，
∵∠BCD=145°，
∴∠BPD=360°-75°-145°=140°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体的数学思想求出∠B+∠D=75°．
41．小红把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，求的度数．
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【答案】
【分析】
如图，由三角形的外角的性质可得： 可得 再利用三角形的内角和求解 再利用四边形的内角和求解 再求解 从而可得结论．
【详解】
解：如图，由三角形的外角的性质可得：
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【点睛】
本题考查的是三角形的内角和，四边形的内角和定理，三角形的外角的性质，平角的定义，掌握以上知识是解题的关键．
42．（1）一个多边形的内角和比它的外角和多，求该多边形的边数；
（2）如图，已知是的角平分线，是的高，与相交于点F，，，求和的度数．
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【答案】（1）该多边形的边数为8；（2）；．
【分析】
（1）根据多边形的内角和公式以及外角和为360°建立关于边数的方程，求解即可；
（2）根据角平分线的性质得到，再由三角形的外角性质可得，根据是的高及三角形的外角性质可得．
【详解】
解：（1）设该多边形的边数为n，由已知，得
，
解得，
∴该多边形的边数为8；
（2）∵是的角平分线，且，
∴，，
又∵，
∴，
∵是的高，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查多边形的内角与外角、三角形的外角性质，解题的关键是掌握多边形的内角和定理及三角形外角的性质．
43．（1）如图1，在△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，已知OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB，的外角∠DBC，∠ECB．
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①若∠A=50 ，则∠O=______，∠P=______；
②若∠A=α，则∠O=______，∠P=______．（用含α的式子表示）
（2）如图2，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，请探究∠P与∠A，∠D的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在六边形ABCDEF中，CP， ( http: / / www.21cnjy.com )DP分别平分外角∠GCD，∠HDC，请直接写出∠P与∠A，∠B，∠E，∠F的数量关系______．
【答案】（1）①115 ；65 ；②，；（2） ，理由见解析 ；（3）
【分析】
（1）①由OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，可得∠ABO=，∠ACO=，由外角推出∠O=90°+=115°，由BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB的外角∠DBC，∠ECB，可得∠DBP=，∠ECP=，可推求出，即可，②由①得∠O=90°+， ，把∠A=α 代入可得∠O=90°+，；
（2）由BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，可得∠CBP=；∠BCP=，推出 ；
（3）延长CB，DE交直线AF与M、N如图，由（2）得，由外角可求∠M=∠FAB+∠CBA-180 ，∠N=∠EFA+∠DEF-180 ，可求∠M+∠N=∠FAB+∠CBA+∠EFA+∠DEF-360 ，即可推出结论．
【详解】
解：（1）①连结AO并延长到Q，连结PA
∵OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠ABO=；∠ACO=，
∴∠BOQ=∠ABO+∠BAO，∠QOC=∠OCA+∠OAC，
∴∠BOC=∠BOQ+∠QOC=∠ABO+∠BAO+∠OCA+∠OAC，
∴∠BOC=∠BAC++，
=∠A++，
=∠A+180°- ，
=90°+，
=115°，
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BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB的外角∠DBC，∠ECB，
∴∠DBP=；∠ECP=，
∠DBP=∠BAP+∠BPA，∠ECP=∠CAP+∠CPA，
∴∠DBP+∠ECP=∠BAP+∠BPA+∠CAP+∠CPA=∠A+∠P，
∴，
∴，
∴90 +，
∴，
故答案为：115 ；65 ；
②由①得∠O=90°+， ，
∵∠A=α，
∴∠O=90°+，，
故答案为：∠O=90°+，，
解：，
理由如下：
在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，
∴∠CBP=；∠BCP=，
，
，
，
，
；
（3）延长CB，DE交直线AF与M、N如图，
由（2）得，
∴∠M=∠FAB+∠CBA-180 ，∠N=∠EFA+∠DEF-180 ，
∴∠M+∠N=∠FAB+∠CBA-180 +∠EFA+∠DEF-180 =∠FAB+∠CBA+∠EFA+∠DEF-360 ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
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【点睛】
本题考查两内角平分线夹角的性质，与两外角平分线夹角性质，掌握角平分线的性质，多边形内角和公式，外角与内角关系是解题关键．
44．如图，在中．是边上一点，平分是上一点，是边上一点．且．
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（1）若，直接写出的度数（用含的式子表示）．
（2）求证：．
【答案】（1）a；（1）证明见解析．
【分析】
（1）根据四边形内角和及已知条件可得，又根据邻补角可知，从而得到；
（2）连接PC，由等腰三角形三线合一的性质可得AD垂直平分BC，从而得到PB=PC，然后利用SSS定理求得△ABP≌△ACP，由此根据全等三角形的性质得到∠ABP=∠ACP，结合（1）中所求可得，从而使问题得证．
【详解】
解：（1）在四边形ABPQ中，
∴
∵
∴
（2）连接PC
∵AB=AC，平分
∴AD垂直平分BC
∵P是AD上一点
∴PB=PC
在△ABP和△ACP中
∴△ABP≌△ACP（SSS）
∴∠ABP=∠ACP
又由（1）已证
∴
∴PQ=PC
∴PB=PQ
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【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，题目难度不大，有一定的综合性，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键21·cn·jy·com
45．如图，在正五边形中，是对角线．
（1）求的度数；
（2）过点作的垂线，与边交于点，探究三者之间的数量关系，并说明理由．
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【答案】（1）∠ABE=36°；（2）；理由见解析．
【分析】
（1）根据正五边形的内角和是，得到，再根据AE=AB即可求解.
（2）延长交的延长线于点，连接，得出，证明，得到，由 ，得到，即可求解.
【详解】
解：（1）正五边形的内角和是
又∵AE=AB
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠ABE=(180 108 )÷2=36 .
（2）方法1：，理由如下，
延长交的延长线于点，连接，
正五边形
，，
，，
，
，
，
同理：
在和中
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，
，
由题可知： ，
，
；
方法2：，理由如下：
连接交于点，连接，
由（1）同理可得：，
，
，
又，
，
，
又 ，，
，
，
，
，
，
，
.
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【点睛】
本题考查了正五边形的性质，以及多边形的内角和定理，等腰三角形的判定的性质，全等三角形的判定和性质，熟悉以上性质并灵活运用，是解题的关键.
46．阅读材料
在平面中，我们把大于且小于的角称为优角．如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组．
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（1）若，互为组角，且，则______．
习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形．
（2）如图，在镖形ABCD中，优角与钝角互为组角，试探索内角，，与钝角之间的数量关系，并至少用两种以上的方法说明理由．
【答案】（1）225°；（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D，理由见解析．
【分析】
（1）根据互为组角的定义可知∠2=360°-∠1，代入数据计算即可；
（2）理由①：根据四边形内角和定理可得∠ ( http: / / www.21cnjy.com )A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，根据周角的定义可得优角∠BCD+钝角∠BCD=360° ，再利用等式的性质得出钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；
理由②：连接AC并延长，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵∠1、∠2互为组角，且∠1=135°，
∴∠2=360°-∠1=225°，
故答案为：225°；
（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D．
理由如下：
理由①：∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，
又∵优角∠BCD+钝角∠BCD=360° ，
∴钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；
理由②：如下图，连接AC并延长，
∵∠BAC+∠B=∠BCE，∠DAC+∠D=∠DCE（三角形外角的性质），
∴钝角∠BCD=∠BCE+∠DCE=∠BAC+∠B+∠DAC+∠D=∠A+∠B+∠D．
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【点睛】
本题考查三角形的外角，四边形内角和．能正确作出辅助线，将四边形分成两个三角形是理由②的关键．
47．如图，和都是等边三角形，并且
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（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见详解；（2）150°
【分析】
（1）根据全等三角形的判定和性质定理，结合等边三角形的性质，即可得到结论；
（2）由△ACD≌△BCE，得∠EBC=∠CAD，结合周角和四边形内角和定理，即可求解．
【详解】
证明：(1)∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且∠EBD=90°，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
又∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠ECD=∠BCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴；
(2)∵△ACD≌△BCE，
∴∠EBC=∠CAD，
∵∠ADB+∠ADC+∠BDC=360°，
∴∠ADB=360° (∠ADC+∠BDC)=360° (∠BEC+∠BDC)
在四边形BDCE中，∠EBD+∠BEC+∠ECD+∠BDC=360°，
其中,∠EBD=90°，∠ECD=60°，
∴∠BEC+∠BDC=360° (∠EBD+∠ECD)=360°-90°-60°=210°，
∴∠ADB=360° (∠ADC+∠BDC) =360° (∠BEC+∠BDC)= 360° 210°=150°．21世纪教育网版权所有
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质，灵活进行等量代换，是解题的关键．
48．已知在四边形ABCD中，．
（1）如图1，若BE平分，DF平分的邻补角，请写出BE与DF的位置关系并证明；
（2）如图2，若BF、DE分别平分、的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明；
（3）如图3，若BE、DE分别五等分、的邻补角（即），求度数．
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【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3）54°
【分析】
（1）结论：BE⊥DF，如图1中，延长BE交FD的延长线于H，证明∠DEG+∠EDG=90°即可；
（2）结论：DE//BF，如图2中，连接BD，只要证明∠EDB+∠FBD=180°即可；
（3）延长DC交BE于H．由（1）得：，利用五等分线的定义可求，由三角形的外角性质得，代入数值计算即可．
【详解】
（1）．
证明：延长BE、FD交于G．在四边形ABCD中，
，，
．
，．
平分，DF平分，
，，
，
∵∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB=∠DEG，∠FDN=∠EDG，
∴∠DEG+∠EDG=90°，
∴∠EGD=90°，即BE⊥DF．
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（2）．
证明：连接DB．
，．
又，．
、DF平分、的邻补角，
，，
．
在中，
，
，
，．
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（3）延长DC交BE于H．由（1）得：
．
、DE分别五等分、的邻补角，
，
由三角形的外角性质得，
，，
，
．
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【点睛】
本题考查多边形内角和，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
49．如图，凸四边形中，已知，，射线平分．
（1）填空：________；（直接写答案）
（2）已知为射线上一点，记的面积为，的面积为，且．
①请你用直尺圆规作图，找到点的位置，并说明作图理由．
②过点作，分别交、于点、．请你探究、、三者之间的数量关系，并证明．
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【答案】（1）180°；（2）①见解析；②，证明见解析
【分析】
（1）根据四边形内角和等于360°求解即可；
（2）①作出∠BCD的角平分线，与射线BE的交点即可；
②证明△△可得，再证明即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵∠
∠
∴∠
故答案为：180°
（2）①作图步骤：
a．以点C为圆心，适当长度为半径作圆，与BC，CD交于两点P，Q；
b．分别以点P，点Q为圆心，大于PQ长度为半径画弧，两弧交于点G，
c．连接CG，并延长与射线BE相交，交点即为所求点F．
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理由如下：
∵
∴△ABF看作以AB为底，△CDF看作以CD为底
∴△ABF，△CDF中AB，CD边上的高相等，
即点F到AB，CD边上的距离相等，
又∵F在△ABC的角平分线上，
∴点F到AB，BC边上的距离相等，
∴点F到BC，CD边上的距离相等，
∴点F在∠BCD的角平分线上
（3）数量关系为：
理由如下：如图，过点F作
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∵
∴∠
∵
∴∠，∠
又∵∠，∠
∴∠
∵∠，∠
∴∠
过点F作，
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∵BF平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴
∴
∴△△
∴
∴
∵BF平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠，∠
∴
∴
即：
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质以及三角形全等的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键.
50．如图，四边形中，和的平分线交于点．
（1）如果，，求的度数；
（2）请直接写出与的数量关系．
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【答案】（1）120°；（2）
【分析】
（1）先由四边形内角和定理求出∠ABC+∠D ( http: / / www.21cnjy.com )CB=120°，再由角平分线定义得出∠OBC+∠OCB=60°，最后根据三角形内角和定理求出∠O=120°即可；www-2-1-cnjy-com
（2）方法同（1）
【详解】
解：（1）∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，且∠A+∠D=130°+110°=240°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D）=360°-240°=120°，
∵OB，OC分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠OBC+∠OCB= ，
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°；21*cnjy*com
（2）
证明：在四边形ABCD中，
∴
∵OB，OC分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠OBC+∠OCB=
∴
【点睛】
此题主要考查了四边形内角和定 ( http: / / www.21cnjy.com )理，三角形的内角和定理以及角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°；一个角的角平分线把这个角分成两个大小相等的角．
51．如图1，已知是的一个外角，我们容易证明，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：
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（1）如图2，与分别为的两个外角，则_______（横线上填“>”、“<”或“=”）．
初步应用：（2）如图3，在纸片中剪去，得到四边形，，则_______．
（3）解决问题：如图4，在中，、分别平分外角、，与有何数量关系？请尝试证明．
（4）如图5，在四边形中，、分别平分外角、，请利用上面的结论直接写出与、的数量关系．
【答案】（1）= （2） 45° （3）；证明见解析 （4）
【分析】
（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC＝∠A＋∠ACB，∠ECB＝∠A＋∠ABC，两式相加可得结论；
（2）利用（1）的结论：∵∠2＋∠1 ∠C＝180°，将∠1＝135°代入可得结论；
（3）根据角平分线的定义得：∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，根据三角形内角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC＋∠ECB＝180°＋∠A，可得：∠P＝90° ∠A；
（4）根据平角的定义得：∠EBC＝180° ∠1，∠FCB＝180° ∠2，由角平分线得：∠3＝∠EBC＝90° ∠1，∠4＝∠FCB＝90° ∠2，相加可得：∠3＋∠4＝180° （∠1＋∠2），再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论．
【详解】
（1）∠DBC＋∠ECB ∠A＝180°，
理由是：∵∠DBC＝∠A＋∠ACB，∠ECB＝∠A＋∠ABC，
∴∠DBC＋∠ECB＝2∠A＋∠ACB＋∠ABC＝180°＋∠A，
∴∠DBC＋∠ECB＝∠A＋180°，
故答案为：＝；
（2）∠2 ∠C＝45°．
理由是：∵∠2＋∠1 ∠C＝180°，∠1＝135°，
∴∠2 ∠C＋135°＝180°，
∴∠2 ∠C＝45°．
故答案为：45°；
（3）∠P＝90° ∠A，
理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，
∴∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，
∵△BPC中，∠P＝180° ∠CBP ∠BCP＝180° （∠DBC＋∠ECB），
∵∠DBC＋∠ECB＝180°＋∠A，
∴∠P＝180° （180°＋∠A）＝90° ∠A；
（4）∠P＝180° （∠A＋∠D）．
理由是：如图：
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∵∠EBC＝180° ∠1，∠FCB＝180° ∠2，
∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，
∴∠3＝∠EBC＝90° ∠1，∠4＝∠FCB＝90° ∠2，
∴∠3＋∠4＝180° （∠1＋∠2），
∵四边形ABCD中，∠1＋∠2＝360° （∠A＋∠D），
又∵△PBC中，∠P＝180° （∠3＋∠4）＝（∠1＋∠2），
∴∠P＝×[360° （∠A＋∠D）]＝180° （∠A＋∠D）．
【点睛】
本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，难度适中，熟练掌握三角形外角的性质是关键．21cnjy.com
52．（1）如图①，在中，分别以，为边向外作等边和等边，与交于点，求的度数；
（2）如图②，在中，分别以，为边向外作正边形和正边形，与交于点，直接写出的度数：______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据等边三角形性质，推导得，通过证明，得；根据三角形内角和的性质计算，得，从而得到答案；
（2）结合（1）的结论，得正多边形内角；根据正多边形的内角和性质计算，即可得到，再根据补角性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）∵等边和等边
∴，，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴；
（2）根据（1）的结论：等边三角形内角，得正多边形内角
∵正多边形内角和
∴正多边形内角
∴
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等边三角形、全等三角形、三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )内角和、多边形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、全等三角形、三角形内角和、多边形内角和、补角的性质，从而完成求解．
53．如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，∠FMH＝120°，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H．
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（1）当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM＝∠BMH．
（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明．
【答案】（1）见解析；（2）猜想：FM＝MH．证明见解析．
【分析】
（1）先由正六边形的性质得出每个内角为 ( http: / / www.21cnjy.com )120°，再根据三角形内角和、平角为180°∠AFM+∠FMA＝∠FMA+∠BMH＝60°，等量代换即可得到答案．
（2）分两种情况①当点M与点A重合时 ( http: / / www.21cnjy.com )，可直接得出结果；②当点M与点A不重合时，先在AF上截取FP＝MB并连接PM，证明△FPM≌△MBH即可．
【详解】
（1）证明：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴每个内角均为120°．
∵∠FMH＝120°，A、M、B在一条直线上，
∴∠AFM+∠FMA＝∠FMA+∠BMH＝60°，
∴∠AFM＝∠BMH．
（2）解：猜想：FM＝MH．
证明：①当点M与点A重合时，∠FMB＝120°，MB与BQ的交点H与点B重合，有FM＝MH．
②当点M与点A不重合时，
如图，在AF上截取FP＝MB，连接PM．
∵AF＝AB，FP＝MB，
∴PA＝AM
∵∠A＝120°，
∴∠APM＝×（180°﹣120°）＝30°，
有∠FPM＝150°，
∵BQ平分∠CBN，
∴∠MBQ＝120°+30°＝150°，
∴∠FPM＝∠MBH，
由（1）知∠PFM＝∠HMB，
∴△FPM≌△MBH．
∴FM＝MH．
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【点睛】
本题主要考查了正六边形的性质、几何动点问题，熟练掌握正六边形的性质和正确做出辅助线是解决本题的关键．
54．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．
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性质理解：如图，在“对顶三角形”与中，，，求证：；
性质应用：
①如图，则的度数为________；
②如图，在中，点，分别在，上，若比大，求的度数；
拓展提高：
如图，已知，是的角平分线，且和的平分线和相交于点，设，求的度数（用表示）．
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【答案】（1）见解析；（2）①180°；②100°；（3）
【分析】
（1）根据“对顶三角形”的性质，结合，，即可证明；
（2）①利用三角形的外角性质结合三角形内角和定理即可证明；
②根据“对顶三角形”的性质，结合四边形内角和定理证得，由，即可求得的度数；
（3）由角平分线的定义得到，，由“对顶三角形”的性质，得到和，计算得到再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】
（1）证明：据题意，得，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：①
；
故答案为：；
②由题意得，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
故，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：，
理由如下：
∵和的平分线和相交于点，
∴，，
由（1）得①，
②，
由①②得，
∴，
即，
∴．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定 ( http: / / www.21cnjy.com )理以及四边形内角和，角平分线的定义，三角形的外角性质，解决问题时注意运用：三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°．理解并运用“对顶三角形”性质是解题的关键．
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第四讲 多边形及其内角和
一、单选题
1．如图，在四边形中，，分别是两组对边延长线的交点，，分别是，的角平分线．若，，则（ ）21·cn·jy·com
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A． B． C． D．
2．如图，在正八边形中，是对角线，则的大小是 （ ）
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A． B． C． D．
3．一个多边形的每一外角都等于60°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．1440° B．1080° C．720° D．360°
4．下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形的外角和是360°
B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
D．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等
5．一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，则它是（ ）边形．
A．六 B．七 C．八 D．九
6．如果一个多边形的内角和为，那么从这个多边形的一个顶点可以作（ ）条对角线．
A． B． C． D．
7．一个多边形的每个外角都等于相邻内角的，这个多边形为（ ）
A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形
8．如图，用一条宽相等的 ( http: / / www.21cnjy.com )足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠BAE的度数是（ ）21cnjy.com
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A．90° B．108° C．120° D．135°
9．一个多边形的内角和外角和之比为4：1，则这个多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．在△ABC中，高BD和CE所在的直线相交于点O，且点O与点B、C不重合，∠A=50°，则∠BOC的度数为（ ）．www.21-cn-jy.com
A．50°或130° B．40°或130° C．50°或65 D．40°或65°
11．如图，在中，，沿图中虚线截去，则（ ）
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A．288 B．252 C．180 D．144
12．一个正多边形内角和是，则这个正多边形的一个外角等于（ ）
A． B． C． D．
13．五边形ABCDE中，、、、对应的邻补角和等于215°，则的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
14．在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．10或11
15．正多边形的每个外角为60度，则多边形为（ ）边形．
A．4 B．6 C．8 D．10
16．已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
17．若过边形的一个顶点的所有对角线正好将该边形分成个三角形，则的值是( )
A． B． C． D．
18．一个多边形的每一个内角都是135°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
19．下列角度中，不能成为多边形内角和的是（ ）
A．600° B．900° C．1080° D．720°
20．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
21．一个多边形少算一个内角，其余内角之和是1500°，则这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
22．有公共顶点，的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接交正六边形于点，则的度数为（ ）2·1·c·n·j·y
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A． B． C． D．
23．如图，在△ABC中，∠A=70°，直线DE分别与AB，AC交于D，E两点，则∠1+∠2=（ ）
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A．110° B．140° C．180° D．250°
24．如图，多边形中，，，则的值为（ ）
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A．84° B．80° C．72° D．60°
25．如图，EC，BD是正五边形ABCDE的对角线，则∠1的大小为（ ）
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A．72° B．75° C．60° D．80°
26．如图，点P在∠MON的内部 ( http: / / www.21cnjy.com )，点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，连接AB，交OM于点C，交ON于点D，连接PC，PD．若∠MON＝50°，则∠CPD＝( )【来源：21·世纪·教育·网】
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A．70° B．80° C．90° D．100°
27．如图，小明从点出发，沿直线前进10米后向左转10°再沿直线前进10米后向左转20°再沿直线前进10米后向左转30°……照这样下去，他第一次回到出发地点时，一共走了（ ）
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A．80米 B．160米
C．300米 D．640米
28．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2100°则这个多边形的对角线共有（ ）
A．104条 B．90条 C．77条 D．65条
第II卷（非选择题）
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二、填空题
29．如图所示，在五边形ABCDE中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )A＝∠C＝80°，∠B＝140°，∠DEF为五边形ABCDE的一个外角，且∠DEF＝60°，则∠D＝_____．21教育网
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30．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_______°．
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31．如图，AE平分∠BAC，DE平分∠BDC，已知∠B=10°，∠C=40°，则∠E=____________．
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32．科技小组制作了一个机器人，它能 ( http: / / www.21cnjy.com )根据指令要求行走和旋转．某一指令规定：如图，机器人先向前行走1米，然后左转45°向前行走1米，……．若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了______米．21世纪教育网版权所有
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33．边长相等的正方边形ABFG和正五边形BCDEF如图所示拼接在一起，则∠FGE=____°．
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34．如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC＝124°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM，PN，垂足分别是点M，N．以下说法：①∠P＝56°；②∠EAF＝68°；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等．正确的是_____（填序号）．21·世纪*教育网
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35．如图，已知正五边形，过点作的平行线，交的延长线于点，点在正五边形的边上运动，运动路径为．当为等腰三角形时，则的顶角为______度．
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36．如图，小明从A点出发，沿直线前进8 ( http: / / www.21cnjy.com )米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为____米．www-2-1-cnjy-com
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37．从如图的五边形ABCDE纸片中减去一个三角形，剩余部分的多边形的内角和和是__________
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38．如图，已知：四边形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，对角线BD平分∠ABC，∠ACB＝74°，∠ABC＝46°，且∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠BDC的度数为_____．21*cnjy*com
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39．如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则_______度．
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三、解答题
40．平面上有与与相交于点与相交于点与相交于点N，若．
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（1）求证：；
（2），求的度数．
41．小红把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，求的度数．
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42．（1）一个多边形的内角和比它的外角和多，求该多边形的边数；
（2）如图，已知是的角平分线，是的高，与相交于点F，，，求和的度数．
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43．（1）如图1，在△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，已知OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB，的外角∠DBC，∠ECB．【出处：21教育名师】
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①若∠A=50 ，则∠O=______，∠P=______；
②若∠A=α，则∠O=______，∠P=______．（用含α的式子表示）
（2）如图2，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，请探究∠P与∠A，∠D的数量关系，并说明理由；21教育名师原创作品
（3）如图3，在六边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CDEF中，CP，DP分别平分外角∠GCD，∠HDC，请直接写出∠P与∠A，∠B，∠E，∠F的数量关系______．21*cnjy*com
44．如图，在中．是边上一点，平分是上一点，是边上一点．且．
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（1）若，直接写出的度数（用含的式子表示）．
（2）求证：．
45．如图，在正五边形中，是对角线．
（1）求的度数；
（2）过点作的垂线，与边交于点，探究三者之间的数量关系，并说明理由．
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46．阅读材料
在平面中，我们把大于且小于的角称为优角．如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组．
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（1）若，互为组角，且，则______．
习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形．
（2）如图，在镖形ABCD中，优角与钝角互为组角，试探索内角，，与钝角之间的数量关系，并至少用两种以上的方法说明理由．
47．如图，和都是等边三角形，并且
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（1）求证：；
（2）求的度数．
48．已知在四边形ABCD中，．
（1）如图1，若BE平分，DF平分的邻补角，请写出BE与DF的位置关系并证明；
（2）如图2，若BF、DE分别平分、的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明；
（3）如图3，若BE、DE分别五等分、的邻补角（即），求度数．
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49．如图，凸四边形中，已知，，射线平分．
（1）填空：________；（直接写答案）
（2）已知为射线上一点，记的面积为，的面积为，且．
①请你用直尺圆规作图，找到点的位置，并说明作图理由．
②过点作，分别交、于点、．请你探究、、三者之间的数量关系，并证明．
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50．如图，四边形中，和的平分线交于点．
（1）如果，，求的度数；
（2）请直接写出与的数量关系．
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51．如图1，已知是的一个外角，我们容易证明，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？【版权所有：21教育】
尝试探究：
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（1）如图2，与分别为的两个外角，则_______（横线上填“>”、“<”或“=”）．
初步应用：（2）如图3，在纸片中剪去，得到四边形，，则_______．
（3）解决问题：如图4，在中，、分别平分外角、，与有何数量关系？请尝试证明．
（4）如图5，在四边形中，、分别平分外角、，请利用上面的结论直接写出与、的数量关系．【来源：21cnj*y.co*m】
52．（1）如图①，在中，分别以，为边向外作等边和等边，与交于点，求的度数；
（2）如图②，在中，分别以，为边向外作正边形和正边形，与交于点，直接写出的度数：______．
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53．如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，∠FMH＝120°，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H．
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（1）当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM＝∠BMH．
（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明．
54．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．
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性质理解：如图，在“对顶三角形”与中，，，求证：；
性质应用：
①如图，则的度数为________；
②如图，在中，点，分别在，上，若比大，求的度数；
拓展提高：
如图，已知，是的角平分线，且和的平分线和相交于点，设，求的度数（用表示）．2-1-c-n-j-y
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