中小学教育资源及组卷应用平台
第六章 平行四边形
【提升评测】
一、单选题
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥DC，AD＝BC
2．在四边形中，给出下列条件：①；②；③；④．从以上选择两个条件使四边形为平行四边形的选法有（ ）21·世纪*教育网
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
3．如图：在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝10，BF＝3，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F．连接DF，求DF的长（ ）21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．10 B．9 C．8 D．7
4．如图，ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．11 B．17 C．18 D．16
5．如图，在边长为1的正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形网格中，平行四边形ABCD的顶点在格点上，平行四边形EFGH的顶点E、F在边CD上，且AD∥EH， AD＝EH，AG交CD于点O，则S阴影为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．7平方单位 B．8平方单位 C．14平方单位 D．无法确定
6．如图，在平行四边形中，，平分交于点，若，则的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．10° B．15°
C．20° D．25°
7．如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=6，BC=9，点D为BC边上的中点，将ACD沿AD对折，使点C落在同一平面内的点处，连接，则的长为（ ）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
8．如图，△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )B＝90°，过点C作AB的平行线，与∠BAC的平分线交于点D，若AB＝6，BC＝8．E，F分别是BC，AD的中点，则EF的长为 （ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．1.5 C．2 D．4
9．如图，四边形中，分别为线段上的动点（含端点，但点不与点重合），分别为的中点，则长度的最大值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
10．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．平行四边形对角线互相平分
11．如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为、的中点，则长度的最大值为（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B． C．4 D．2
12．如图，分别以RtABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形ACD和ABE，F为AB的中点，连接DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，其中错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．AC⊥DF B．四边形BCDF为平行四边形
C．DA+DF＝BE D．÷S四边形BCDE＝
13．已知四边形，对角线和交于点O，从下列条件中：①；②；③；④．任选其中两个，以下组合能够判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
14．如图，等边的边长为，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当（ ）时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1或2 B．2或3 C．2或4 D．2或6
15．如图，在中，P是对角线上一点，过点P作，与和分别交于点E和点F，连结．已知，则阴影部分的面积和是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．5 D．10
16．已知在平行四边形ABCD中，∠A＝∠B+40°，则∠A的度数为（ ）
A．35° B．70° C．110° D．140°
17．如图，中，对角线相交于点交于点，连接，若的周长为28，则的周长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．28 B．24 C．21 D．14
18．如图，直线m经过点B且平行于AC，点P为直线m上的一动点，连接PC，PA，随着点P在直线m上移动，则下列说法中一定正确的是（ ）21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．与全等 B．与的周长相等
C．与的面积相等 D．四边形ACBP是平行四边形
19．如图，在四边形ABCD中，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．AB∥DC， AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AD∥BC，AB＝DC D．AB∥DC，AB＝DC
20．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B．3 C．4 D．5
21．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BO的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．5 B．8 C．10 D．11
22．如图，在四边形中，，分别是两组对边延长线的交点，，分别是，的角平分线．若，，则（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
23．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④；成立的个数有（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
24．一个多边形的每一外角都等于60°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．1440° B．1080° C．720° D．360°
25．如图，周长为24的平行四边形对角线、交于点，且，若，则的周长为（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6 B．9 C．12 D．15
26．如图，在中，，，，过的中点E作，垂足为点F，与的延长线相交于点H，则的面积是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
27．已知的面积为36，将沿平移到，使和重合，连接交于，则的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．10 B．14 C．18 D．24
28．如图，在平行四边形ABCD中， 对角线 ( http: / / www.21cnjy.com )AC、BD相交于点O． E、F是对角线AC上的两个不同点，当E、F两点满足下列条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（ ）．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．AE＝CF B．DE＝BF
C．∠ADE=∠CBF D．∠AED=∠CFB
29．如图，在中，，对角线与相交于点，交于，若的周长为，则的周长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．无法确定
30．如图，在中，，点P为上任意一点，连结，以为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（ ）【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6 B．12 C． D．
31．如图，四边形是平行四边形，P是上一点，且和分别平分和．如果，，则的面积等于（ ）．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．24 B．30 C． D．
32．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
33．在面积为15的平行四边形中，过点A作垂直于直线于点E，作垂直于直线于点F，若，，则的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
34．如图，分别以的斜边，直角边为边向外作等边和，为的中点，，相交于点，若，下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④，其中正确结论的序号是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
35．如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，．现给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．当在内绕顶点旋转时（点不与点，重合），上述结论中始终正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
36．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝3，则EF的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
37．如图，在四边形ABCD中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝6，BC＝10，∠A＝130°，∠D＝100°，AD＝CD．若点E，F分别是边AD，CD的中点，则EF的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B．4 C．2 D．
38．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ）
A． B． C．或 D．或或
39．如图，将平行四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D绕点D逆时针旋转150°，得到平行四边形DEFG，这时点C，E，G恰好在同一直线上，延长AD交CG于点H．若AD＝2，∠A＝75°，则HG的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
40．如图，，、分别是、的中点，则下列结论：①，②，③，④，其中正确有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．个 B．个 C．个 D．个
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
41．如图，平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止）．在运动以后，当______时以、、、四点组成的四边形为平行四边形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
42．如图，直角坐标系中，原点O是的对称中心，点A在x正半轴上，点B在第一象限，边交y轴于点E，，则点D的坐标为________．21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
43．如果多边形的每一个内角都等于144°，那么这个多边形的边数是______．
44．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )5，AD＝7，AE⊥BC于点E，AE＝4，则AC的长为_____；平行四边形ABCD的面积为_____．21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
45．如图所示，中，的平分线交边于点，而平分，若，则__________，__________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、解答题
46．如图1，在 ABCD中，∠D＝45°，E为BC上一点，连接AC，AE．
（1）若 ABCD中BC边上的高为2，求AB的长．
（2）若AB＝2，AE＝4，求BE的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
47．如图，在 ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F， ABCD周长为20，DE＝4，DF＝6，求 ABCD的面积．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
48．已知：如图，点、在平行四边形的边上，，延长到点，使得．
求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
49．如图，平行四边形中，，垂足分别是E，F．
（1）求证：．
（2）连结，，若，求四边形的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
50．如图，在平行四边形中，连接，且，过点 作于点，过点作于点 ，且直线与之间的距离为，在的延长线上取一点 满足，求 的长度．
( http: / / www.21cnjy.com / )
51．如图，平行四边形ABCD中，点E在BC上，且AE＝EC，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度直尺画图．（保留作图痕迹）
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）在图1中，画出∠DAE的平分线；
（2）在图2中，画出∠AEC的平分线．
52．如图，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E、F．
（1）若∠BCF=55°，求∠ABC的度数；
（2）求证：BF=DE．
( http: / / www.21cnjy.com / )
53．如图，AD∥BC，E是BC中点，且AD＝BE，若DC＝5，求AE的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
54．已知：ABC中，以AC、BC为边分别向形外作等边三角形ACD和BCE，M为CD中点，N为CE中点，P为AB中点．
（1）如图1，当∠ACB＝120°时，∠MPN的度数为 ；
（2）如图2，当∠ACB＝α（0°＜α＜180°）时，∠MPN的度数是否变化？给出你的证明．
( http: / / www.21cnjy.com / )
55．如图，是平行四边形，是边上一点，只用一把无刻度的直尺在边上作点，使得．画出满足题意的点，并简要说明你的画图过程．
( http: / / www.21cnjy.com / )
56．平面上有与与相交于点与相交于点与相交于点N，若．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：；
（2），求的度数．
57．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，AC＜BC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）试用无刻度的直尺和圆规，在BC上作一点E，使得直线ED平分ABC的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．【版权所有：21教育】
（2）在（1）的条件下，若AB＝8，ED＝3，求△ABC的面积．
58．如图，平行四边形，，是直线上两点，且．求证：四边形是平行四边形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
59．如图，在等边中，点是射线上一动点（点在点的右侧），．点是线段的中点，连接．
（1）请你判断线段与的数量关系，并给出证明；
（2）若，求线段长度的最小值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
60．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE，点F是BE上一点，连接CF．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）如图1，若EC＝3DE；BC＝BF＝4，DC＝，求EF的长．
（2）如图2，若BC＝EC，连 ( http: / / www.21cnjy.com )接BE，在BE上取点F，使∠FCD＝45°，过点E作EM⊥CF交CF延长线于点M，延长ME、CD相交于点G，连接BG交CM于点N．求证：EG＝2MN．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第六章 平行四边形
【提升评测】
一、单选题
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥DC，AD＝BC
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的定义，平行四边形的判定定理两个角度思考判断即可．
【详解】
解：∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选项A不符合题意；
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选项B不符合题意；
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选项C不符合题意；
∵AB∥DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，熟练平行四边形的定义法，判定定理法是解题的关键．
2．在四边形中，给出下列条件：①；②；③；④．从以上选择两个条件使四边形为平行四边形的选法有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的判定方法即可找到所有组合方式 ( http: / / www.21cnjy.com )：（1）两组对边平行①④；（2）间接利用两组对边平行两①③或③④；（3）一组对边平行且相等②④，所以有四种组合．
【详解】
解（1）①④，
利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定；
∵；．
∴四边形ABCD为平行四边形，
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）①③或③④，可推出两组对对边分别平行，利用两组对边分别平行的的四边形是平行四边形判定；
①；③；
∵，
∴∠A+∠D=180°，
又∵，
∴∠C+∠D=∠A+∠D=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
③；④．
∵，
∴∠A+∠B=180°，
又∵，
∴∠C+∠B=∠A+∠B=180°，
∴AB∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）②④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定；
②；④．
∵，，
∴四边形ABCD为平行四边形；
( http: / / www.21cnjy.com / )
共4种组合方法，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：1、四边形的两组对边分别平行；2、一组对边平行且相等；3、两组对边分别相等；4、对角线互相平分；5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．
3．如图：在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝10，BF＝3，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F．连接DF，求DF的长（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【分析】
延长，，交于点，构造直角三角形，求出，利用勾股定理即可解决问题；
【详解】
解：延长，，交于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
四边形是平行四边形，
，，，
，．
，，
，．
是的中点，
，
在和中
，
，．
，
，
，
在中，，
则由勾股定理可得：，
，，
在中，，
则由勾股定理可得： ．
故选：C．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、全等三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
4．如图，ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．11 B．17 C．18 D．16
【答案】B
【分析】
根据等腰三角形的性质得到BD=DC，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】
解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴，
∵点E为AC的中点，
∴，
∴△CDE的周长=CD+CE+DE=17，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．【出处：21教育名师】
5．如图，在边长为1的正方形网格中，平行四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形ABCD的顶点在格点上，平行四边形EFGH的顶点E、F在边CD上，且AD∥EH， AD＝EH，AG交CD于点O，则S阴影为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．7平方单位 B．8平方单位 C．14平方单位 D．无法确定
【答案】A
【分析】
先求出平行四边形ABCD面积，再根据平行四边形的性质结合已知条件得出△DOA≌△FOG，从而得出
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD的面积=7×2=14，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴EH//GF，EH=GF，
∵AD//EH， AD＝EH，
∴AD//GF，EH=AD，
∴∠DAO=∠FGO，
∵∠DOA=∠FOG，
∴△DOA≌△FOG
∴，
∴，
故选：A
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
6．如图，在平行四边形中，，平分交于点，若，则的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．10° B．15°
C．20° D．25°
【答案】C
【分析】
先根据平行四边形，，平分得出△BAE是等边三角形，从而可求出△EAD≌△CDA，再求出∠ACE的度数，即可求出答案．
【详解】
∵平行四边形
∴AD∥BC，AB=DC，∠B=∠ADC
∴∠AEB=∠DAE
∵平分
∴∠BAE=∠DAE
∴∠BAE=∠AEB
∵
∴△BAE是等边三角形
∴∠BAE=∠DAE =，AB=AE=BE
∴AE=DC，∠ADC=∠DAE
∵AD=AD
∴△EAD≌△CDA
∴∠DAC=∠ADE
∵AD∥BC
∴∠DAC=∠ACE=∠ADE=∠DAC
∵
∴∠DAC=∠ACE=∠ADE=∠DAC=40°
∴=120
∴=180 ∠ACE=20
故答案选C．
【点睛】
本题主要考察了平行四边形，等边三角形，全等三角形等知识点，找出里面的全等三角形是解题关键．
7．如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=6，BC=9，点D为BC边上的中点，将ACD沿AD对折，使点C落在同一平面内的点处，连接，则的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由折叠的性质可得AD⊥CC'，CN=C'N，由勾股定理可求AD，DN的长，即可求BC'的长．
【详解】
解：如图，连接CC'，
∵将△ACD沿AD对折，使点C落在同一平面内的点C'处，
∴AD⊥CC'，CN=C'N，
∵点D为BC边上的中点，
∴CD=BC=
AD=
∵S△ACD=×AC×CD=×AD×CN
∴CN=
∴DN=，
∵CN=C'N，CD=DB，
∴C'B=2DN=，
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查翻折变换，勾股定理，三角形中位线定理，利用勾股定理可求DN的长是本题的关键．
8．如图，△ABC中，∠B＝90° ( http: / / www.21cnjy.com )，过点C作AB的平行线，与∠BAC的平分线交于点D，若AB＝6，BC＝8．E，F分别是BC，AD的中点，则EF的长为 （ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．1.5 C．2 D．4
【答案】C
【分析】
延长EF交AC于点G，根据勾股定理求出AC=10，再根据角平分定义结合平行线的性质得出AC=CD，最后根据三角形中位线的性质得出结论即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8
∴
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∵AB//CD
∴∠BAD=∠CDA
∴∠CDA=∠CAD
∴DC =AC=10
延长EF交AC于点G，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴EG是△ADC的中位线，FG是△ABC的中位线，
∴
∴
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理以及三角形中位线性质定理，作出三角形中位线是解答此题的关键．
9．如图，四边形中，分别为线段上的动点（含端点，但点不与点重合），分别为的中点，则长度的最大值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
连接BN，根据三角形的中位线定理得出EFDN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN＝DB＝6，从而求得EF的最大值为3．
【详解】
解：如图，连接BN，
∵分别为的中点，
∴EFDN，
∴DN最大时，EF最大，
∴N与B重合时DN最大，
此时DN＝DB6，
∴EF的最大值为3．
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选：A
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握两个定理是解题的关键．
10．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．平行四边形对角线互相平分
【答案】D
【分析】
先写出各选项的逆命题，再判断真假即可求解．
【详解】
解：A. 若，则，逆命题为若，则，是假命题，不合题意；
B. 若，则，逆命题为若，则，是假命题，不合题意；
C. 若，则，逆命题为若，则，是假命题，不合题意；
D. 平行四边形对角线互相平分，逆命题为对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意．
故选：D
【点睛】
本题考查了原命题与逆命题，命题真假的判断，熟知相关定义，并能正确进行判断是解题关键．
11．如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为、的中点，则长度的最大值为（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B． C．4 D．2
【答案】D
【分析】
由题中条件可判定EF是中位线，可得，当动点N与点B重合时，DN值最大，，此时EF长度取最大值．
【详解】
解：如图，连接DN，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点E、F分别为、的中点，
∴EF是中位线，，
当动点N与点B重合时，，此时DN长度取最大值，即此时EF长度取最大值．
∵，，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了中位线性质，用勾股定理解三角形，理解长度的最大值就是求DN长度最大值是解题关键．
12．如图，分别以RtABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形ACD和ABE，F为AB的中点，连接DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，其中错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．AC⊥DF B．四边形BCDF为平行四边形
C．DA+DF＝BE D．÷S四边形BCDE＝
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的判定定理判断B，根据平行四边形的性质和平行线的性质判断A，根据三角形三边关系判断C，根据等边三角形的性质分别求出、、的面积，计算即可判断D．
【详解】
解：，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
为的中点，
，
，，
四边形为平行四边形，B选项正确，不符合题意；
四边形为平行四边形，
，，又，
，A选项正确，不符合题意；
∵等边三角形ACD和ABE，
， ，
，C选项错误，符合题意；
设，则，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，，
，D选项正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、等边三角形的有关计算是解题的关键．www.21-cn-jy.com
13．已知四边形，对角线和交于点O，从下列条件中：①；②；③；④．任选其中两个，以下组合能够判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
【答案】A
【分析】
以①④作为条件能够判定四边形ABCD是平行四边形，根据平行得出全等三角形，即可得解；
【详解】
以①④作为条件能够判定四边形ABCD是平行四边形；
理由：如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，
∴，
在△AOB和△COD中，
，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形；
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定，准确分析判断是解题的关键．
14．如图，等边的边长为，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当（ ）时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1或2 B．2或3 C．2或4 D．2或6
【答案】D
【分析】
首先根据平行四边形的性质得到AE=CF，再分点F在线段BC上和点F在线段BC的延长线上两种情况进行解答即可求出t的值．21*cnjy*com
【详解】
解：若以A、、、为顶点的四边形是平行四边形，则有AE=CF
当点F在线段BC上时，AE=BC-BF，即：
t=6-2t
解得，t=2；
当点F在线段BC的延长线上时，AE=BF-BC，即：
t=2t-6
解得，t=6
所以，当t=6s或2s时，以A、、、为顶点的四边形是平行四边形．
故选：D.
【点睛】
此题主要考查了动点几何问题以及平行四边形的性质和等边三角形的性质，熟练掌握相关性质是解答此题的关键.
15．如图，在中，P是对角线上一点，过点P作，与和分别交于点E和点F，连结．已知，则阴影部分的面积和是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．5 D．10
【答案】B
【分析】
过点P作MN∥AD，交AB于 ( http: / / www.21cnjy.com )M，交CD于N，过点P作PH⊥AE于H，易证S△ABD=S△CBD，AB∥EF∥CD，AD∥MN∥BC，得出四边形AEPM、四边形BFPM、四边形DEPN、四边形CFPN都是平行四边形，则S△AEP=S△AMP，S△DEP=S△DNP，S△BMP=S△BFP，S△CFP=S△CNP，得出S△AEP=S△CFP，由MN∥BC，求出PH，由S阴影部分=2S△AEP即可得出结果．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
解：过点P作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，过点P作PH⊥AE于H，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥AB，MN∥AD，
∴S△ABD=S△CBD，AB∥EF∥CD，AD∥MN∥BC，
∴四边形AEPM、四边形BFPM、四边形DEPN、四边形CFPN都是平行四边形，
∴S△AEP=S△AMP，S△DEP=S△DNP，S△BMP=S△BFP，S△CFP=S△CNP，
∴S△AEP=S△CFP，
∵MN∥BC，
∴∠AMP=∠ABC=60°，
∵四边形AEPM是平行四边形，
∴∠PEH=60°，
∴∠EPH=30°，
∴HE=EP=1，
∴PH=，
∴S阴影部分=2S△AEP=2×AE PH=2××5×=，
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、三角形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
16．已知在平行四边形ABCD中，∠A＝∠B+40°，则∠A的度数为（ ）
A．35° B．70° C．110° D．140°
【答案】C
【分析】
根据题意得：∠A+∠B＝180°，∠A＝∠B+40°，代入解方程即可求得∠A的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B+40°，
∴∠B+40°+∠B＝180°，
∴∠B＝70°，
∴∠A＝110°，
故选：C．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质,解题关键是根据已知条件列出方程求解．
17．如图，中，对角线相交于点交于点，连接，若的周长为28，则的周长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．28 B．24 C．21 D．14
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的性质OA=OC及OE⊥AC，可得AE=CE，从而△ADE的周长为AD+CD，由此可得结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
∵OE⊥AC
∴OE是线段AC的垂直平分线
∴AE=CE
∵平行四边形ABCD的周长为28，即2（AD+CD）=28
∴AD+CD=14
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DE+CE=AD+CD=14
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、线段垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直平分线的性质、多边形的周长，关键是根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，从而把△ADE的周长转化为平行四边形的两邻边的和．
18．如图，直线m经过点B且平行于AC，点P为直线m上的一动点，连接PC，PA，随着点P在直线m上移动，则下列说法中一定正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．与全等 B．与的周长相等
C．与的面积相等 D．四边形ACBP是平行四边形
【答案】C
【分析】
由全等三角形和平行四边形的判定，以及同底等高三角形的面积相等，可以得出正确的选项．
【详解】
解：选项A，因为点A，B，C是定点，而点P是直线m上的动点，所以与不一定全等，故A错误；
选项B，的周长是定值，而的周长随着点P位置的变化而变化，所以B错误；
选项C，由于与都可以看作是以AC为底边的三角形，且直线m平行于AC，可由平行线间的距离处处相等知道与属于同底等高的三角形，故二者面积相等，所以选项C正确；
选项D，由于P是动点，点A，B，C，是定点，所以BP不总是等于AC，而平行四边形的对边应该相等，所以选项D错误．
故选：C．
【点睛】
本题是考查全等三角形和平行四边形的判定，以及同底等高三角形的面积相等的，属于中等难度的题目．
19．如图，在四边形ABCD中，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．AB∥DC， AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AD∥BC，AB＝DC D．AB∥DC，AB＝DC
【答案】C
【分析】
注意题目所问是“不能”，根据平行四边形的判定条件可解出此题．
【详解】
解：平行四边形的判定条件：
A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
C、可能是等腰梯形，不能判定，符合题意；
D、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的基本性质是解答本题的关键
20．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
由在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，易证得△ABE是等腰三角形，即可得AB＝AE，继而求得DE的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝7，
∴AD∥BC，AD＝BC＝7，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵AD是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝4，
∴DE＝AD﹣AE＝3．
故选：B．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，关键是证明等腰三角形．
21．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BO的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．5 B．8 C．10 D．11
【答案】A
【分析】
根据平行四边形的性质可得AO＝CO＝AC＝3，再利用勾股定理可得BO的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC＝3，
∵AB⊥AC，AB＝4，
∴BO＝，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
22．如图，在四边形中，，分别是两组对边延长线的交点，，分别是，的角平分线．若，，则（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
连接EF，根据三角形内角和等于180°及三角形角平分线的性质，即可得出∠EGF ，代入∠ADC=60°、∠ABC=80°，即可求出∠EGF的度数．
【详解】
解：连接EF，如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∠EGF=180°-（∠GFE+∠GEF）
=180°-（∠CFE-∠CFG+∠CEF-∠CEG）
=180°-（∠CFE+∠CEF）+（∠CFG+∠CEG）
，
∵∠ADC=60°、∠ABC=80°，
∴∠EGF=(360°-60°-80°)
=110°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质，根据角与角之间的关系找出∠EGF(360°-∠ABC-∠ADC)是解题的关键．
23．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④；成立的个数有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
利用平行四边形的性质可得，，利用角平分线的性质证明是等边三角形，然后推出，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，，
平分，
是等边三角形，
，，
，
，
，故①错误；
可得
，
，故②错误；
，
为中点，
，
，
，
；故③不正确；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
故正确的个数为1个，
故选：A．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．注意证得是等边三角形是关键．
24．一个多边形的每一外角都等于60°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．1440° B．1080° C．720° D．360°
【答案】C
【分析】
由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个多边形的边数，由多边形内角和公式可求解．
【详解】
解：∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360°÷60°=6，
∴这个多边形的内角和=180°×（6-2）=720°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于360度是关键．
25．如图，周长为24的平行四边形对角线、交于点，且，若，则的周长为（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】B
【分析】
依据平行四边形ABCD的周长为24，即可得到AB+BC=12，再根据AO=AC，OE=AB，AE=BC，即可得到△AOE的周长．
【详解】
解：∵平行四边形ABCD的周长为24，
∴AB+BC=12，
∵平行四边形ABCD对角线AC、BD交于点O，且BE=CE，
∴AO=AC=3，OE=AB，
∵AC⊥CD，且BE=CE，
∴Rt△ABC中，AE=BC，
∴△AOE的周长=AO+AE+OE=3+（BC+AB）=3+×12=9，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
26．如图，在中，，，，过的中点E作，垂足为点F，与的延长线相交于点H，则的面积是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的性质得到AB=CD=3，AD=BC=4，求出BE、BF、EF，根据相似得出CH=1，EH=，根据三角形的面积公式求△DFH的面积，即可求出答案．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4，AB∥CD，AB=CD=3，
∵E为BC中点，
∴BE=CE=2，
∵∠B=60°，EF⊥AB，
∴∠FEB=30°，
∴BF=1，
由勾股定理得：EF=，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠ECH，
在△BFE和△CHE中，
，
∴△BFE≌△CHE（ASA），
∴EF=EH=，CH=BF=1，
∴DH=4，
∵S△DHF=DH FH=，
∴S△DEF=S△DHF=，
故选：C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查对平行四边形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
27．已知的面积为36，将沿平移到，使和重合，连接交于，则的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．10 B．14 C．18 D．24
【答案】C
【分析】
连接，根据平移的性质可知，AC∥ ，AC=，即可解答；
【详解】
连接，根据平移的性质可知，AC∥ ，AC=，
∴四边形是平行四边形，
∴点D是AC、 的中点，
∴=CD，
∴
故选：C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题利用了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等；21·cn·jy·com
28．如图，在平行四边形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com ) 对角线AC、BD相交于点O． E、F是对角线AC上的两个不同点，当E、F两点满足下列条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．AE＝CF B．DE＝BF
C．∠ADE=∠CBF D．∠AED=∠CFB
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的性质以及平行四边形的判定定理即可得出判断．
【详解】
解：A、∵在平行四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，
若AE=CF，则OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
B、若DE=BF，没有条件能够说明四边形DEBF是平行四边形，则选项错误；
C、∵在平行四边形ABCD中，OB=OD，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
若∠ADE=∠CBF，则∠EDB=∠FBO，
∴DE∥BF，
则△DOE和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF，
∴DE=BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．故选项正确；
D、∵∠AED=∠CFB，
∴∠DEO=∠BFO，
∴DE∥BF，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF，
∴DE=BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．故选项正确．
故选B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质以及判定定理，涉及到全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
29．如图，在中，，对角线与相交于点，交于，若的周长为，则的周长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】
根据平行四边形的性质，及交于可以证明是线段的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质，可以得到，再利用线段间的关系可以证明的周长为周长的两倍.
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴，；
∵交于；
∴是线段的垂直平分线，
∴；
∴；
∴的周长为
∴的周长为.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质和垂直平分线的性质，具有一定的综合性，属于中等题型.
30．如图，在中，，点P为上任意一点，连结，以为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6 B．12 C． D．
【答案】C
【分析】
设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2OP′．
【详解】
解：设与交于点，作于．如图所示：
在中，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
当与重合时，的值最小，则的值最小，
的最小值．
故选：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．21·世纪*教育网
31．如图，四边形是平行四边形，P是上一点，且和分别平分和．如果，，则的面积等于（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．24 B．30 C． D．
【答案】A
【分析】
根据平行四边形性质得出AD ( http: / / www.21cnjy.com )∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB=90°，由勾股定理求出BP，证出AD=DP=5cm，BC=PC=5cm，得出DC=10cm=AB，再利用直角三角形面积求法即可得出答案．
【详解】
解：过点P作PQ∥AD，交AB于Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°，
在△APB中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=90°；
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB，
∵AB∥CD，
∴∠PAB=∠DPA，
∴∠DAP=∠DPA，
∴△ADP是等腰三角形，
∴AD=DP=5cm，
同理：PC=CB=5cm，
即AB=DC=DP+PC=10cm，
在Rt△APB中，AB=10cm，AP=8cm，
∴BP==6cm，
∴△ABP的面积=×AP×BP=24cm2，
故选：A．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用，正确得出BP的长是解题关键．
32．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，所以平行四边形ABCD的面积即可求出．
【详解】
解：∵AC＝2，BD＝4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC＝1，BO＝BD＝2，
∵AB＝，
∴AB2+AO2＝BO2，
∴∠BAC＝90°，
∵在Rt△BAC中，BC＝，S△BAC＝×AB×AC＝×BC×AE，
∴×2＝AE，
∴AE＝，
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．
33．在面积为15的平行四边形中，过点A作垂直于直线于点E，作垂直于直线于点F，若，，则的值为（ ）21cnjy.com
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】
根据平行四边形面积求出AE和AF，有两种情况，求出BE、DF的值，求出CE和CF的值，相加即可得出答案．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，，
①如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由平行四边形面积公式得：，
求出，，
在和中，由勾股定理得：，
把，代入求出，
同理，即在的延长线上（如上图），
，，
即，
②如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，在中，由勾股定理得：，
同理，由①知：，，
．
故选：．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
34．如图，分别以的斜边，直角边为边向外作等边和，为的中点，，相交于点，若，下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④，其中正确结论的序号是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】
根据直角三角形斜边上的中 ( http: / / www.21cnjy.com )线等于斜边的一半，可得FA＝FC，根据等边三角形的性质可得EA＝EC，根据线段垂直平分线的判定可得EF是线段AC的垂直平分线；根据条件及等边三角形的性质可得∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，从而得到DF∥AE，DA∥EF，即可得到四边形ADFE为平行四边形；根据平行四边形的对角线互相平分可得AD＝AB＝2AF＝4AG；易证DB＝DA＝EF，∠DBF＝∠EFA＝60°，BF＝FA，即可得到△DBF≌△EFA．
【详解】
解：连接FC，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠ACB＝90°，F为AB的中点，
∴FA＝FB＝FC．
∵△ACE是等边三角形，
∴EA＝EC．
∵FA＝FC，EA＝EC，
∴点F、点E都在线段AC的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AC，即：，故①正确；
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，
∴DF⊥AB即∠DFA＝90°，BD＝DA＝AB＝2AF，∠DBA＝∠DAB＝∠EAC＝∠ACE＝60°．
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠EAF＝90°，
∴∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，
∴DF∥AE，DA∥EF，
∴四边形ADFE为平行四边形，故②正确；
∴DA＝EF，AF＝2AG，
∴BD＝DA＝EF，DA＝AB＝2AF＝4AG，故③正确；
在△DBF和△EFA中，
，
∴△DBF≌△EFA，
故④正确；
综上所述：①②③④都正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形斜边上 ( http: / / www.21cnjy.com )的中线等于斜边的一半、等边三角形的性质、线段垂直平分线的判定、平行四边形判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，综合性比较强，出现了直角三角形斜边上的中点，就应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质．
35．如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，．现给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．当在内绕顶点旋转时（点不与点，重合），上述结论中始终正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【分析】
根据等腰直角三角形的性质得出∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，求出∠APE=∠CPF，证△APE≌△CPF，推出AE=CF，EP=PF，推出S△AEP=S△CPF，求出S四边形AEPF=S△APC=S△ABC，EF不是△ABC的中位线，故EF≠AP，即可得出答案．
【详解】
解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，
∴∠EPF-∠APF=∠APC-∠APF，
∴∠APE=∠CPF，
在△APE和△CPF中
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，EP=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，
∴①正确；②正确；
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP=BC，
∵EF不是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，故③错误；
∵△APE≌△CPF，
∴S△AEP=S△CPF，
∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△APF=S△APC=S△ABC，
∴④正确；
∴正确的有①②④，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形性质，三角形中位线的性质，三角形三边关系定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．
36．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝3，则EF的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【答案】D
【分析】
连接DE并延长交AB于H，证明△DCE≌ ( http: / / www.21cnjy.com )△HAE，根据全等三角形的性质可得DE＝HE，DC＝AH，则EF是△DHB的中位线，再根据中位线的性质可得答案．
【详解】
解：连接DE并延长交AB于H，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵CD∥AB，
∴∠C＝∠A，
∵E是AC中点，
∴CE＝EA，
在△DCE和△HAE中，
，
∴△DCE≌△HAE（ASA），
∴DE＝HE，DC＝AH，
∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣DC＝2，
∵F是BD中点，
∴EF是△DHB的中位线，
∴EF＝BH，
∴EF＝1，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形中位线性质，关键是正确画出辅助线，证明△DCE≌△HAE，得出EF是中位线．21教育网
37．如图，在四边形ABCD中，AB＝6， ( http: / / www.21cnjy.com )BC＝10，∠A＝130°，∠D＝100°，AD＝CD．若点E，F分别是边AD，CD的中点，则EF的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B．4 C．2 D．
【答案】B
【分析】
连接AC，根据等腰三角形的性质、三角形内角 ( http: / / www.21cnjy.com )和定理求出∠DAC，结合图形求出∠BAC＝90°，根据勾股定理求出AC，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【详解】
解：连接AC，
∵DA＝DC，∠D＝100°，
∴∠DAC＝∠DCA＝40°，
∴∠BAC＝∠BAD﹣∠DAC＝130°﹣40°＝90°，
∴AC＝，
∵点E，F分别是边AD，CD的中点，
∴EF＝AC＝4，
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
38．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ）
A． B． C．或 D．或或
【答案】D
【分析】
首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．
【详解】
解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11，
∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12：
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选D．
【点睛】
本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键．
39．如图，将平行四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD绕点D逆时针旋转150°，得到平行四边形DEFG，这时点C，E，G恰好在同一直线上，延长AD交CG于点H．若AD＝2，∠A＝75°，则HG的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
证明△CDG是顶角为150°的等腰三角形，再证明DH⊥CG，由直角三角形的性质求出DH，进而解决问题．
【详解】
解：由题意：∠ADE＝150°，AD＝DE＝2，
∴∠EDH＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠CDH＝∠A＝75°，
∵∠CDG＝150°，
∴∠CDH＝∠GDH＝75°，
∵DC＝DG，
∴DH⊥CG，
∴EH＝DE＝1，DH＝EH＝
在CG上取一点k，使得DK＝GK，
∵∠KDG＝∠KGD＝15°，
∴∠DKH＝15°+15°＝30°，
∴KG＝DK＝2DH＝2，HK＝DH＝3，
∴HG＝HK+KG＝3+2，
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查旋转变换的性质、含30°角的直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
40．如图，，、分别是、的中点，则下列结论：①，②，③，④，其中正确有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】
根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”可得，，再由45°角可证△ABQ为等腰直角三角形，从而可得可得，进而证明，利用三角形的全等性质求解即可．
【详解】
解：如图所示：连接，延长交于点，延长交于，延长交于．
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
，
，
点为两条高的交点，
为边上的高，即：，
由中位线定理可得，，
，故①正确；
，，
，
，
，
，
根据以上条件得，
，
，故②正确；
，
，
，故③
成立；
无法证明，故④错误．
综上所述：正确的是①②③，故选C．
【点睛】
本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用．解题关键是证明．
二、填空题
41．如图，平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止）．在运动以后，当______时以、、、四点组成的四边形为平行四边形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】4.8s或8s或9.6s
【分析】
根据平行四边形的判定可得当DP=BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP=BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C-B，方程为12-4t=12-t，
此时方程t=0，此时不符合题意；
②点Q的运动路线是C-B-C，方程为4t-12=12-t，
解得：t=4.8；
③点Q的运动路线是C-B-C-B，方程为12-（4t-24）=12-t，
解得：t=8；
④点Q的运动路线是C-B-C-B-C，方程为4t-36=12-t，
解得：t=9.6；
综上所述，t=4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：4.8s或8s或9.6s．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．
42．如图，直角坐标系中，原点O是的对称中心，点A在x正半轴上，点B在第一象限，边交y轴于点E，，则点D的坐标为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
设AD与y轴交于点F，连接BD，过点D作DH⊥y轴于H，利用平行四边形的性质证明≌，得到，，再利用勾股定理和等腰直角三角形的性质求出OH和DH即可得到点D坐标．
【详解】
解：设AD与y轴交于点F，连接BD，过点D作DH⊥y轴于H，
∵平行四边形ABCD关于原点O中心对称，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴≌（ASA），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点D的坐标为：，
故答案为：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造全等和直角三角形．
43．如果多边形的每一个内角都等于144°，那么这个多边形的边数是______．
【答案】10
【分析】
根据题意可知这个多边形是正多边形，先计算外角，再用外角和进行计算即可．
【详解】
解：有题意可知：多边形为正多边形，则每个外角为180°-144°=36°
又因为多边形的外角和为360°，则这个正多边形的边数为：
故答案为：10
【点睛】
本题考查多边形的外角和、正多边形的外角与边数的关系．灵活使用多边形的内角、外角解决问题是难点．
44．如图，在平行四边形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB＝5，AD＝7，AE⊥BC于点E，AE＝4，则AC的长为_____；平行四边形ABCD的面积为_____．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】 28
【分析】
在中求出，再在中求出，利用平行四边形的面积公式即可解决问题；
【详解】
解：，
，
在中，，，
，
在平行四边形中，，
，
，
，
在中，，
．
故答案为，28．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
45．如图所示，中，的平分线交边于点，而平分，若，则__________，__________．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】60° 120°．
【分析】
设根据AM是平分线可得到，由的性质，可用含x的代数式表示出和，进而利用DM平分，又可表示出的大小，这样在中，根据三角形的内角和定理构成一个以x为未知数的一元一次方程，解之即可求出x的值，可得的度数，最后利用平行四边形的性质易求出的大小．
【详解】
设，
∵AM平分，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中， ，，
∴，
∴，
∴，
即，
又∵，
∴，
故答案为：（1）；（2）．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形的内角的定理，在解题中理清角与角之间的关系，利用三角形的内角和定理构建方程是解题的关键．
三、解答题
46．如图1，在 ABCD中，∠D＝45°，E为BC上一点，连接AC，AE．
（1）若 ABCD中BC边上的高为2，求AB的长．
（2）若AB＝2，AE＝4，求BE的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）如图，过作于，再根据平行四边形的性质可得：，最后根据勾股定理计算即可；
（2）先根据平行四边形的性质可得：，然后解和 即可求出BE的长．
【详解】
解：（1）如图，过作于，
在 ABCD中，，
，中BC边上的高为2，
，
又
，
;
（2）在中，，，
，
，
，
．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线解题的关键．
47．如图，在 ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F， ABCD周长为20，DE＝4，DF＝6，求 ABCD的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】24
【分析】
已知平行四边形的高，，根据“等面积法”列方程，求，根据平行四边形的面积底乘以高可得出答案．
【详解】
解： ABCD周长为20，
，
设，则，根据平行四边形的面积公式可得：，
解之得，
即，
，，
平行四边形的面积等于．
【点睛】
本题主要考查的知识点：（1）平行四边形的两组对边分别相等；（2）平行四边形的面积等于边长乘以高．
48．已知：如图，点、在平行四边形的边上，，延长到点，使得．
求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见解析．
【分析】
连接，，，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，，又四边形也是平行四边形，所以，，从而得到，，然后得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边平行即可得证．【版权所有：21教育】
【详解】
证明：连接，，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
，（平行四边形对边相等且平行），
平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，作出辅助线构造出平行四边形是解题的关键．
49．如图，平行四边形中，，垂足分别是E，F．
（1）求证：．
（2）连结，，若，求四边形的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到CD=AB，CD∥AB，可得∠DCE=∠BAF，利用AAS证明△CDE≌△ABF，可得结论；
（2）根据30°的直角三角形的性质得到DE，利用勾股定理求出AE，同理得到CF和BF，求出EF，从而计算四边形DEBF的面积．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴∠DCE=∠BAF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠BFA=90°，
∴△CDE≌△ABF（AAS），
∴CE=AF；
（2）∵AD=4，∠DAC=30°，∠DEA=90°，
∴DE=2，
∴AE==，
同理：CF=，BF=DE=2，
∵AC=7，
∴EF=AC-AE-CF=7-，
∴四边形DEBF的面积==．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )和性质，直角三角形的性质，勾股定理，知识点较多，难度中等，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质得到相等线段和角．
50．如图，在平行四边形中，连接，且，过点 作于点，过点作于点 ，且直线与之间的距离为，在的延长线上取一点 满足，求 的长度．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】8．
【分析】
在平行四边形中，，可得，再根据，得到，即有，利用与之间的距离为，得到，根据，可求出，再根据求出答案．
【详解】
解：在平行四边形中，，
∵
之间的距离为
（外角）
又
中，
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的判定与性质的运用，熟悉相关性质是解决问题的关键．
51．如图，平行四边形ABCD中，点E在BC上，且AE＝EC，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度直尺画图．（保留作图痕迹）
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）在图1中，画出∠DAE的平分线；
（2）在图2中，画出∠AEC的平分线．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
(1)连接AC，再由平行线的性质及等腰三角形的性质可知AC是∠DAE的平分线；
(2)连接AC，BD，交于点O，连接EO，由平行线的性质及等腰三角形的性质可知EO平分∠AEC的平分线．
【详解】
（1）如图所示，连接AC，则AC平分∠DAE；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）如图所示，连接AC，BD，交于点O，连接EO，则EO平分∠AEC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考察了等腰三角形的性质，平行四边形的性质，作图-角的平分线等知识点，理解并记住它们是解题关键．
52．如图，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E、F．
（1）若∠BCF=55°，求∠ABC的度数；
（2）求证：BF=DE．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）70°；（2）见解析．
【分析】
（1）先由平行四边形的性质得到AB∥CD，则∠ABC＋∠BCD＝180°，再由角平分线的定义得到∠BCD＝2∠BCF，于是得到结论；
（2）先由平行四边形的性质得 ( http: / / www.21cnjy.com )到AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，求得∠ABE＝∠CDF，再证△ABE≌△CDF（ASA），然后由全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°，
∵CF平分∠DCB，
∴∠BCD＝2∠BCF，
∵∠BCF＝55°，
∴∠BCD＝110°，
∴∠ABC＝180° 110°＝70°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠DCB，
∴∠BAE＝∠DCE，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝DF，
∴BE+EF=DF+EF，
即BF=DE．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定和性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
53．如图，AD∥BC，E是BC中点，且AD＝BE，若DC＝5，求AE的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】5
【分析】
证四边形AECD是平行四边形，得AE＝DC＝5即可．
【详解】
解：∵E是BC中点，
∴BE＝CE，
∵AD＝BE，
∴AD＝CE，
又∵AD//BC，
∴AD//CE，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE＝DC＝5．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
54．已知：ABC中，以AC、BC为边分别向形外作等边三角形ACD和BCE，M为CD中点，N为CE中点，P为AB中点．
（1）如图1，当∠ACB＝120°时，∠MPN的度数为 ；
（2）如图2，当∠ACB＝α（0°＜α＜180°）时，∠MPN的度数是否变化？给出你的证明．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）60°；（2）不变，见解析
【分析】
（1）设AC中点G、BC中点H，连接MG、 ( http: / / www.21cnjy.com )PG；NH，PH．利用中位线定理可以证明△MGP全等于△PHN，然后利用角之间的关系可以得到60°，
（2）由题意可知MF是等边△ACD的中位 ( http: / / www.21cnjy.com )线，PG是△ABC的中位线，根据中位线的性质可知四边形CFPG是平行四边形，再根据平行四边形的性质可证明△MFP≌△PGN，再根据题意可得出∠MPN＝60°．
【详解】
解：（1）设AC中点G、BC中点H，连接MG、PG；NH，PH．
( http: / / www.21cnjy.com / )
由中位线定理，得MG//AD，MG＝AD；
PG//BC，PG＝BC；
PH//AC，PH＝AC；
HN//BE，HN＝BE．
∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AD＝AC，BC＝BE，∠MGC＝∠DAC＝60°，∠CGP＝∠ECB＝60°，∠PHC＝∠ACD＝60°，∠CHN＝∠CBE＝60°．
在△MGP与△PHN中，，
∴△MGP≌△PHN（SAS），
∴∠MPG＝∠PNH．
∵∠PNH+∠NPH＝180°﹣∠PHN＝60°，
∴∠MPG+∠NPH＝60°．
∠2+∠3＝∠1+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝60°，
∴∠MPN＝180°﹣（∠MPG+∠NPH）﹣（∠2+∠3）＝60°．
故∠MPN的度数为 60°；
（2）∠MPN的度数不变，仍是60°，理由如下：
证明：取AC、BC的中点分别为F，G，连接MF、FP、PG、GN，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵MF是等边三角形ACD的中位线，
∴MF＝AD＝AC，MF//AD，
∵PG是△ABC的中位线，
∴PG＝AC，PG//AC，
∴MF＝PG，
同理：FP＝CG，
∴四边形CFPG是平行四边形，
∴∠CFP＝∠CGP，
∴∠MFC+∠CFP＝∠CGN+∠CGP，
即∠MFP＝∠PGN，
∴△MFP≌△PGN（SAS），
∴∠FMP＝∠GPN，
∵PG//AC，
∴∠1＝∠2，
在△MFP中，∠MFC+∠CFP+∠FMP+∠FPM＝180°，
又∵∠MFC＝60°，
∴∠CFP+∠FMP+∠FPM＝120°，
∵∠CFP＝∠1+∠3，
∴∠1+∠3+∠FMP+∠FPM＝120°，
∵∠1＝∠2，∠FMP＝∠GPN，
∴∠2+∠3+∠GPN+∠FPM＝120°，
又∵∠3+∠FPM+∠MPN+∠GPN+∠2＝180°，
∴∠MPN＝60°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，中位线的性质以及平行四边形的性质，通过作辅助线来解决问题，难度较大．
55．如图，是平行四边形，是边上一点，只用一把无刻度的直尺在边上作点，使得．画出满足题意的点，并简要说明你的画图过程．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见解析
【分析】
连接交于点，作射线交于点，点为所求作的点．
【详解】
解：如图，连接交于点，作射线交于点，点为所求作的点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，AD∥BC，
∴∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO，
∴△OBE≌ODF，
∴BE=DF．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
56．平面上有与与相交于点与相交于点与相交于点N，若．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：；
（2），求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠BPD=140°．
【分析】
（1）利用SAS证明△ACD≌△BCE即可；
（2）由全等三角形的性质可知：∠A=∠B，再根据已知条件和四边形的内角和为360°，即可求出∠BPD的度数．21教育名师原创作品
【详解】
解：（1）证明：∵∠ACB=∠ECD，∠ACE=∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠A=∠B，∠BCE=∠ACD，
∴∠BCA=∠ECD，
∵∠ACE=55°，∠BCD=155°，
∴∠BCA+∠ECD=100°，
∴∠BCA=∠ECD=50°，
∵∠ACE=55°，
∴∠ACD=105°
∴∠A+∠D=75°，
∴∠B+∠D=75°，
∵∠BCD=145°，
∴∠BPD=360°-75°-145°=140°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体的数学思想求出∠B+∠D=75°．
57．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，AC＜BC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）试用无刻度的直尺和圆规，在BC上作一点E，使得直线ED平分ABC的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，若AB＝8，ED＝3，求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（3）6．
【分析】
（1）以B为圆心，AC为半径画弧，交BC于一点，再运用尺规作图，作这点与点C构成线段的垂直平分线，垂足点就是所求；
（2）过点D作DF⊥BC，垂足为F，设AC=x，EC=y，则DF是△ABC的中位线，DF==，由BC=AC+2EC=x+2y，则FC==，故EF=FC-EC=，在直角三角形DEF中，实施勾股定理；可得x，从而得到AC，根据勾股定理计算BC，面积可求．
【详解】
（１）作图如下；
（2）过点D作DF⊥BC，垂足为F，设AC=x，EC=y，
∵∠C＝90°，DF⊥BC，
∴DF∥AC，
∵点D是AB的中点，
∴DF是△ABC的中位线，DF==，
∵BC=AC+2EC=x+2y，
∴FC==，
∴EF=FC-EC=，
在直角三角形DEF中，
，
∴，
解得x=6，
∴BC==，
∴△ABC的面积为：= 6．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了了线段的垂直平分线的作图，三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理是解题的关键．
58．如图，平行四边形，，是直线上两点，且．求证：四边形是平行四边形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见解析
【分析】
连接AC，交BD于点O，易证得OA=OC，OE=OF，则可证得四边形AECF是平行四边形．
【详解】
证明：连接AC，交BD于点O，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OD=OB，
∵DF=BE，
∴OB+BE=OD+DF，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质与判定，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，熟练掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解答本题的关键．
59．如图，在等边中，点是射线上一动点（点在点的右侧），．点是线段的中点，连接．
（1）请你判断线段与的数量关系，并给出证明；
（2）若，求线段长度的最小值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1），理由见解析；（2）1
【分析】
（1）结论，延长到，使，连接BH，EH，先证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得， ，再证明，根据全等三角形的性质可得AH=AD，∠3=∠5，即可得∠HAD=60°，所以是等边三角形，由此即可证得结论；
（2）连接EC，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求得；取中点，连接FG，可知为中位线，根据三角形的中位线定理可得，即可得，所以点的轨迹为射线，且；当时，最小，由此即可求得线段长度的最小值为1．
【详解】
延长到，使，连接BH，EH，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点是线段的中点，
∴BF=EF，
∴四边形是平行四边形，
， ，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
，
在△ABH和△ACD中，
，
，
∴AH=AD，∠3=∠5，
∵∠3+∠4=60°，
∴∠4+∠5=60°，
即∠HAD=60°，
∴是等边三角形，
∴HD=AD，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
连接EC，
，
，
取中点，连接FG，
( http: / / www.21cnjy.com / )
是中点
为中位线
，
的轨迹为射线，且，
∵，
∴，
当时，最小，
中，，
∴．
即线段长度的最小值为1．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定与性质、平行四边形的判定与性质就、三角形的中位线定理及30°角直角三角形的性质，正确作出辅助线，熟练运用相关知识是解决问题的关键．
60．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE，点F是BE上一点，连接CF．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）如图1，若EC＝3DE；BC＝BF＝4，DC＝，求EF的长．
（2）如图2，若BC＝EC，连接BE，在 ( http: / / www.21cnjy.com )BE上取点F，使∠FCD＝45°，过点E作EM⊥CF交CF延长线于点M，延长ME、CD相交于点G，连接BG交CM于点N．求证：EG＝2MN．
【答案】（1）1；（2）见解析
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得：CE⊥AD，由已知可求得CE，在直角△BCE中由勾股定理可得BE，从而可得EF的长；
（2）延长GM到H，使得MH=MG，连接CH，BH，可证得△BCH≌△ECG，可得BH=EG，再可证得MN∥BH，即可得结论．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵EC⊥BC，
∴AD⊥EC，
∴∠BCE=∠CED=90°，
∵EC=3DE，DC=，
∴在Rt△CED中，由勾股定理得：，
∴DE=1，
∴CE=3，
在Rt△BCE中，BC=4，由勾股定理得：，
∵BF=4，
∴EF=BE-BF=5-4=1，
（2）证明:如图2中，延长GM到H，使得MH=MG，连接CH，BH．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵EM⊥CF，
∴CH=CG，
∵∠DCF=45°，
∴CM=MG=HM，
∴∠HCG=90°，
∴∠HCG=∠BCE＝90°，
∴∠BCH+∠HCE=∠HCE+∠ECG
∴∠BCH=∠ECG，
在△BCH和△ECG中
∴△BCH≌△ECG(SAS)，
∴BH=EG，∠CHB=∠CGE=45°，
∵∠CHG=45°，
∴∠BHG=90°，
∴∠BHG=∠CMG=90°，
∴MN∥BH，
∵HM=HG，
∴BN=NG，
∴BH=2MN，
∴EG=2MN．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，是一个综合性较强的题目．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
