2022届高考文科数学考前押题卷（全国甲卷）（Word版含解析）

2022年高考文科数学考前押题卷（全国甲卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.若复数z满足，则为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
4．2021年，我国通信业积极推进网络强国和数字中国建设，5G和千兆光网等新型信息基础设施建设覆盖和应用普及全面加速，移动电话用户规模小幅增长.截止2021年，全国电话用户净增4755万户，总数达到18.24亿户，其中移动电话用户总数16.43亿户，全年净增4875万户，其中，4G移动电话用户为10.69亿户，5G移动电话用户达到3.55亿户，周定电话用户总数1.81亿户，全年净减121万户.自2011年以来固定电话与移动电话普及率（单位：部/百人）如图所示，则以下说法错误的是
A．近十年以来移动电话普及率逐年递增
B．近十年以来固定电话普及率逐年递减
C．2021年移动电话普及率为116.3部/百人，比上年末提高3.4部/百人
D．2021年固定电话普及率为12.8部/百人，比上年末降低0.1个百分点
5.已知，则等于( )
A. B. C. D.
6.已知为锐角，且，，则( )
A. B. C. D.
7.如图，长、宽分别为50cm、30cm的矩形图片，现向图片中随机扔100粒豆子，落在图中阴影部分的有34粒，则该阴影区域所占的面积约为( )
A. B. C. D.
8．已知函数，且，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
9.已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象关于y轴对称，则的最小值为( )
A.1 B.2 C. D.5
10.为了提高学习兴趣，某数学老师把《九章算术》与《孙子算经》这两本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班甲、乙两名同学每人至少阅读其中的一本，则每本书都被同学阅读的概率为( )
A. B. C. D.
11.已知点是椭圆上的一个动点，，分别为椭圆的左，右焦点，O是坐标原点，若M是的平分线上的一点（不与点P重合），且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
12.已知函数在R上有且只有一个零点，则实数m的最小值为( )
A. B. C.1 D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知单位向量，的夹角为，则________.
14.已知A，B分别是双曲线的右顶点与虚轴的上端点，是双曲线C的右焦点，直线AB与双曲线C的一条渐近线垂直，则双曲线C的标准方程为_________.
15.在直角三角形中，在线段上，，则的最小值为__________.
16．如图，等腰所在平面与矩形所在平面垂直，且，则四棱锥的外接球的表面积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. （12分）随科技创新方面的发展，我国高新技术专利申请数也日益增加，2015年到2019年我国高新技术专利申请数的数据如表所示(把2015年到2019年分别用编号1到5来表示).
年份编号x 1 2 3 4 5
专利申请数y(万件) 1.6 1.9 2.2 2.6 3.0
(1)求高新技术专利申请数y关于年份编号x的回归方程；
(2)由此线性回归方程预测2022年我国高新技术专利申请数.
附：，.
18. （12分）2021年5月22日10时40分，“祝融号”火星车已安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测.为了增强学生的科技意识，某学校进行了一次专题讲座，讲座结束后，进行了一次专题测试(满分：100分)，其中理科学生有600名学生参与测试，其得分都在内，得分情况绘制成频率分布直方图如下，在区间的频率依次构成等差数列.
若规定得分不低于80分者为优秀，文科生有400名学生参与测试，其中得分优秀的学生有50名.
(1)若以每组数据的中间值代替本组数据，求理科学生得分的平均值；
(2)请根据所给数据完成下面的列联表，并说明是否有99.9%以上的把握认为，得分是否优秀与文理科有关？
优秀 不优秀 合计
理科生
文科生
合计 1000
附：，其中.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
19.（12分）我校开发一项实践课程，名为“厨房掌勺”（做菜），为了解该课程受欢迎程度，在全校男女学生中随机各抽取了30名学生进行调研，统计得到如下的列联表：
喜欢 不喜欢 总计
女生 24
男生 12 30
总计
附：参考公式及数据，其中.
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）补全列联表中所缺的数据，判断是否有85%的把握认为“喜欢该课程与性别有关”？
（2）现用分层抽样的方法从喜欢该课程的学生中，抽取7人进行进一步的VIP问卷调查，再从接受VIP问卷调查的学生中随机抽取2人赠送小礼品，求这2人中至少有1名女生获得小礼品的概率.
20.（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为M，直线与E的另一个交点为P，连接，若的周长为，且的面积为.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线与椭圆E交于A，B两点，当m为何值时，恒成立？
21. （12分）已知函数.
(1)求函数的单调区间及极值；
(2)当时，证明：.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．【选修4–4：坐标系与参数方程】（10分）
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：，直线：（为参数）.
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）设直线与曲线交于、两点，，若，，成等比数列，求实数的值.
23.【选修4 – 5：不等式选讲】（10分）
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.
答案及解析
1.答案：A
解析：已知集合，故集合，，所以.故选A.
2.答案：B
解析：，
复数，，故选B.
3.答案：B
解析：因为命题“，”是真命题，所以，恒成立，所以，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是.故选B.
4．答案：A
解析：A.由于2015年移动电话普及率比2014年的普及率低，所以近十年以来移动电话普及率逐年递增是错误的，所以该选项错误；
B.近十年以来固定电话普及率逐年递减，所以该选项正确；
C.2021年移动电话普及率为116.3部/百人，2020年移动电话普及率为112.9部/百人，所以2021年比上年末提高3.4部/百人，所以该选项正确；
D.2021年固定电话普及率为12.8部/百人，2020年固定电话普及率为12.9部/百人，2021年比上年末降低0.1个百分点，所以该选项正确.
故选A.
5.答案：D
解析：由得
所以，
故选D.
6.答案：A
解析：因为为锐角，所以.
由得，
则.又，
故，故选A.
7.答案：D
解析：设阴影区域的面积为，因为矩形面积为，则由几何概型公式得，解得，故选D.
8．答案：D
解析：对，其定义域为，且，故为上的奇函数；
又当时，，其在上单调递减；当时，，其在上单调递减；
又是连续函数，故在上都是单调减函数.
所以，即，
所以，解得.
故选D.
9.答案：D
解析：，
.又函数的图象关于y轴对称，则，，，.，当时，有最小值5，故选D.
10.答案：D
解析：记这两本书分别为A，B，则甲、乙阅读这两本图书的所有可能情况有共9种不同的情况，其中两本书都有同学阅读的情况有7种，故所求概率，故选D.
11.答案：B
解析：如图，延长，，交于点N，则为等腰三角形，M为的中点，.由图可知，当P在短轴端点时，取得最小值，此时，当P在长轴端点时，取得最大值，此时，但P不能在坐标轴上，故取不到端点值，所以的取值范围为.
12.答案：D
解析：由题可知，为偶函数，，且.
设，则，
当时，，故在上单调递增，
故当时，，即，即在上单调递增，
故在上没有零点，由为偶函数，可知在R上有且只有一个零点；
当时，存在，使，当时，，即在上单调递减，故，即，故在上单调递减，
故，且，则在上有零点，不符合题意，
故，即实数m的最小值为，故选D.
13.答案：1
解析：，则.
14.答案：
解析：由题意得，双曲线的渐近线方程为，
，，，
又，，，
双曲线C的标准方程为.
15.答案：
解析：由题可得.设，则，则，
所以
，当时，.
16．答案：
解析：如图，连接，交于点，取的中点，连接，
因为，所以，
因为等腰所在平面与矩形所在平面垂直，且平面平面，
所以平面，
连接，，则.
在等腰和矩形中，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以点为四棱锥的外接球的球心，则球的半径为，
所以四棱锥的外接球的表面积为，
故答案为：.
17.解析：(1)由已知可得，
，
，
，
所以回归方程为.
(2)由(1)知.
又2022年对应的是编号8，
所以2022年我国高新技术专利申请数(万件)，
即可以预测2022年我国高新技术专利数为4.01万件.
18.解析：(1)由第三、二、四组的频率依次构成等差数列可得.
又频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，则，
解得，
理科学生得分的平均值为(分).
(2)理科学生优秀的人数为，
补全2×2列联表如表所示，
优秀 不优秀 合计
理科生 150 450 600
文科生 50 350 400
合计 200 800 1000
，
有99.9%以上的把握认为得分是否优秀与文理科有关.
19.答案：（1）有85%的把握认为“喜欢该课程与性别有关”
（2）
解析：（1）由题意，补全列联表如表所示，
喜欢 不喜欢 总计
女生 24 6 30
男生 18 12 30
总计 42 18 60
，
所以有85%的把握认为“喜欢该课程与性别有关”.
（2）喜欢该课程的学生中，女生24人，男生18人，由分层抽样易得应该抽取女生4人，男生3人.
设4个女生分别记为，，，，3个男生分别记为，，，在这7人中，随机抽选2人赠送小礼品有基本事件：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种；
其中这2人至少有1名女生获得小礼品的基本事件：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种，
则这2人中至少有1名女生获得小礼品的概率.
20.答案：（1）标准方程为.
（2）当时，恒成立.
解析：（1）设.
由椭圆的定义可知，的周长为，故.
直线的方程为，
与联立可得点，
的面积为，
即，
解得或(舍)，则，
椭圆E的标准方程为.
（2）联立消去y得，.
由（1）可知，
设，
则，
，
，
.
由得，故，
解得或(舍)，
当时，恒成立.
21.解析：(1)，
当时，，
函数在R上单调递增，
此时，函数既没有极大值也没有极小值；
当时，令，则，
当时，，
函数在上单调递增；
当时，，
函数在上单调递减，
此时函数只有极小值，没有极大值.
(2)证明：当时，，
.
令，
则，
当时，，
，
函数在上单调递增，
，
，
.
22．【选修4–4：坐标系与参数方程】（10分）
解析：（1）由两边同乘以得，
又由，得曲线C的直角坐标方程为，
由直线l：为参数），消去t，得直线l的普通方程为.（5分）
（2）将代入得，，
由得，设，
则，，
因为成等比数列，所以，
所以，所以.（10分）
23.答案：（1）
（2）
解析：（1）由得
或
或
解得或或，
不等式的解集为.
（2）由题意知，当时，恒成立.
若，则，即恒成立，
此时，，故；
若，则，即恒成立，此时，在上的最小值为-9，故.
综上所述，m的取值范围是.