坐标系中的45角问题，方法归纳与总结

坐标系中的45°角，方法归纳总结
1.一次函数中的45°角问题
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0），设点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA＝∠ABO，则m的值是　 　．
方法一：一线三等角构相似
在轴截取，此时，可以证得，.
进而得到方程，解得.
方法二：一线三垂直构全等
过点作，交于点，再作轴，易得，∴，，.∵，∴，列出方程，解得.
方法三：角平分线定理
过点作.∵，所以为的角平分线，∴’
∵，并且求出的坐标，可得，解得.
方法四：半角模型
过点构造正方形.，，根据预备知识得到.又∵，在中有，解得.
方法五：勾股定理
作，可知为等腰直角三角形.由， ，易得，.在中，利用勾股定理，得，解得.
方法六：四点共圆
以为直角边构造等腰直角.∵，所以、、、四点共圆，且以为直径，为圆心.∵，，，
根据，可得，解得.
2.反比例函数中的45°角问题
如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y＝的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为　 　．
方法一：构造相似三角形
过点作等腰直角，作，连结，易得，.
设，可以证得，得，∴，解得，∴求出的解析式为,再与联列方程，得到点坐标为.
方法二：
过点作，构造如图所示的辅助线，易得.设的坐标为，可得，.因为点在直线上，可以求得点的坐标为，进而求得，.∵，
∴，列出方程2:，解得(舍去).
所以点的坐标为.
方法三：利用角平分线定理
过点A作AD AB交x轴于点D，由A（2，3）B（0，2）得AB：y=x+2，AD：y=-2x+7得D(,0),F(-4,0),AF=3,AD=,由角平线可知，得E(1,0),AE:y=3x-3得C(-1,-6)
方法四：半角模型
∵，∴，.设点为，则，.利用预备知识，可得.在直角中，，解得，得到.
方法五：直角三角形
作(后面计算可得和重合).设，则，，.又∵，得到，∴，∴.
方法六：共圆
引入过A、F、E三点的圆，设E(a,0)则EF=a+4,H(-4,a+4),G(,),点G在直线y=-x+a,代入可得a=1,即E(1,0)AE:y=3x-3得C(-1,-6)