浙江省宁波市六校联盟2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题（Word版含答案）

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宁波市六校联盟2021-2022学年高二下学期期中联考
数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、若函数，则的值为（ ）
A.12 B.16 C.18 D.24
2、某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（ ）
A.84种 B.96种 C.78种 D.16种
3、函数在定义域内可导，图像如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
4、设随机变量服从标准正态分布，已知，则（ ）
A.0.950 B.0.050 C.0.025 D.0.975
5、已知二项式，，则（ ）
A.128 B.127 C.96 D.63
6、已知随机变量的分布列是：
0 1
若，则（ ）
A.0 B. C. D.1
7、从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ）
A.40种 B.60种 C.100种 D.120种
8、函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
9.对于函数，下列选项正确的的是：（ ）
A、函数极小值为，极大值为
B、函数单调递减区间为，单调递增区为
C、函数最小值为为，最大值
D、函数存在两个零点1和
10.某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和浓度（单位：），得到如下所示的列联表：
PM2.5
64 16
10 10
经计算，则可以推断出（ ）
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
A.该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150的概率估计值是0.64
B.若列联表中的天数都扩大到原来的10倍，的观测值不会发生变化
C.有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关
D.在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度无关
11.下列结论正确的是（ ）
A.若随机变量服从两点分布，，则
B.若随机变量服从二项分布，则
C.若随机变量服从二项分布，则
D.若随机变量的方差，则
12.如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网，处的甲 乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则下列说法正确的有（ ）
A.甲从到达处的走法种数为20
B.甲从必须经过到达处的走法种数为9
C.甲乙两人能在处相遇的走法种数36
D.甲，乙两人能相遇的走法种数为162
非选择题部分
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.已知，则________.
14.函数在区间上的最小值是_______.
15.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_______种.（用数字作答）
16.已知函数，若，使成立，则的取值范围为_______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大.
(1)求的值；(2)求展开式中含的项.
18.（本小题满分12分）
已知函数.
(1)求导函数；
(2)当时，求函数的图像在点处的切线方程.
19.（本小题满分12分）
某科研机构为了了解气温对蘑菇产量的影响，随机抽取了某蘑菇种植大棚12月份中5天的日产量（单位：kg）与该地当日的平均气温（单位：℃）的数据，得到如下散点图：其中，，，，.
(1)求出关于的线性回归方程；
(2)若该地12月份某天的平均气温为6℃，用（1）中所求的回归方程预测该蘑菇种植大棚当日的产量.
附：线性回归直线方程中，.
20.（本小题满分12分）
设函数.
(1)若函数在处取得极值，求，的值；
(2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围.
21.（本小题满分12分）
设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）.
（1）求的分布列和数学期望；
（2）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若在上有两个极值点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：
宁波市六校联盟2021-2022学年高二下学期期中联考
数学学科参考答案
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选择项 B A C A D C B D
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
选择项 A,D A,C B,C A,B
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13、 120 14、 -16
15、 36 16、
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分10分）
解：(1)∵的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，∴展开后一共有11项，
则，解得； --------4分
(2)二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，
∴展开式中含的项为
--------------10分
18、（本小题满分12分）
解：（1）由
得 -----------6分
（2）当k=e时，
由（1）得，所以
切线方程：y-3=1(x-1),即y=x+2 -------------------12分
19、（本小题满分12分）
解：由已知数据可得，
，
，
，
所以， ----------------------------4分
． --------------------------7分
所以. -------------------------8分
(2)
当时，
预测该蘑菇种植大棚当日的产量为8.5kg． -------------------12分
20、（本小题满分12分）
（1）因为函数（，），
所以（，）， --------------3分
由函数在处取得极值，
可得，即，解得，经验符合题意. -----7分-
(2)由（1），知（，），
所以时，，单调递增，
由题意，得，所以，
故的取值范围为. ---------------12分
21（本小题满分12分）
(1)由题意知，，则
，，
故的分布列为
0 1 2
P
的数学期望 -------------7分
(2)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程 有实根” 为事件N，则，，
. ---------------------12分
22、（本小题满分12分）
解：(1)，
令，所以，
所以，当，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
所以当时，，当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为． ----------------4分
(2)
（i）因为，要使在上有两个极值点，，
则在上有两个变号的零点，
①时，则，由（1）知，，所以，所以在上没有两个变号的零点，不合题意，舍去.
②当时，因为，，，
则在上单调递减，故最多只有一个零点，不合题意，舍去.
③当时，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，解得，
所以实数a的取值范围为． ------------------------------8分
（ii）由（i）知，，，
即，所以，所以，
令，即，所以，
故在上单调递增，所以当时，，
即，所以，所以，
而，所以，因为在上单调递增，
因为，所以，所以，
即：，因为，所以．--------------12分