(共10张PPT)
数学 七年级下册 北师版
第五章 生活中的轴对称
1 轴对称现象
轴对称图形
1．(5分)(宜昌中考)如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是( )
D
2．(5分)如图，阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑，得到新的图形(阴影部分)如下图，其中不是轴对称图形的是( )
D
3．(5分)如图是我国传统木结构房屋窗子的常用装饰图案之一，这个图案有____条对称轴．
2
轴对称
4．(5分)下列各组图形中，左右两个图形成轴对称的是( )
B
5．(5分)下面的图形中，左边的图形与右边的图形成轴对称的是( )
A
6．(5分)如图所示的各组图形中，左边的图形与右边的图形关于某条直线成轴对称的是_______．(填序号)
①③
7．(6分)如图是由“○”和“□”组成的轴对称图形，该图形的对称轴是直线( )
A.l1
B．l2
C．l3
D．l4
C
【素养提升】
8．(14分)如图，下列所给图形分别是正三角形、正方形、正五边形、正六边形．
(1)分别说出它们各有几条对称轴；
(2)分别作出各图形中的所有对称轴；
(3)通过你自己作图与思考，发现了哪些规律，试写出几条．
解：(1)正三角形有三条对称轴，正方形有四条对称轴，正五边形有五条对称轴，正六边形有六条对称轴 (2)略 (3)答案不唯一，如正n边形有n条对称轴，这些对称轴都交于同一点(共19张PPT)
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第五章 生活中的轴对称
本章考点整合训练五
考点一 轴对称
1．(邵阳中考)下列图形中，是轴对称图形的是( )
B
2．(广州中考)如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有( )
A．1条 B．3条 C．5条 D．无数条
C
3．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，且与对角线AB交于点Q，点P是直线MN上的一点，则下列判断错误的是( )
A．AQ＝BQ B．AP＝BP
C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠NMB
D
4．(濮阳期末)如图，把长方形ABCD沿对角线AC折叠，已知∠DAC＝30°，则∠BCE＝___________．
30°
考点二 等腰(边)三角形的性质
5．(包头中考)若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为2 cm，则该等腰三角形的底边长为( )
A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
6．(滨州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( )
A．40° B．36° C．30° D．25°
A
B
7．(成都中考)等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为________．
80°
8．(北京中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.试说明∠CBE＝∠BAD.
解：因为AB＝AC，AD是BC边上的中线，所以∠CAD＝∠BAD.又因为BE⊥AC，所以∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，即∠CBE＝∠CAD，所以∠CBE＝∠BAD
9．如图，△ABC，△ADE都是等边三角形，点B，C，D在同一直线上．求∠ECD的度数．
解：因为△ABC，△ADE都是等边三角形，所以AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，所以∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，所以△BAD≌△CAE(SAS)，所以∠ABD＝∠ACE＝60°，因为点B，C，D在同一直线上，所以∠ECD＝180°－∠ACB－∠ACE＝60°
A
16
D
1
3
解：略
100°(共15张PPT)
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第五章 生活中的轴对称
3 简单的轴对称图形
第1课时 等腰三角形的性质
等腰三角形的边、角性质
1．(4分)若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．(4分)若一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为( )
A．22 B．19 C．17 D．17或22
3．(4分)如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为( )
A．35° B．40° C．45° D．50°
D
A
A
4．(4分)(兰州中考)如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝65°，则∠2的度数是( )
A．50° B．60° C．65° D．70°
A
等腰三角形的“三线合一”
5．(5分)(湖州中考)如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( )
A．20° B．35° C．40° D．70°
B
6．(5分)如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于点D，则BD＝____．
3
等边三角形的性质
7．(4分)等边三角形对称轴的条数是( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
8．(5分)(福建中考)如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
C
A
9．(5分)如图，在等边三角形ABC中，D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为___________．
60°
一、选择题(每小题6分，共18分)
10．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是( )
A．100° B．80° C．70° D．50°
A
11．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE…，依次作下去，和AB相等的线段(不包括AB)最多可作( )
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
C
12．如图，△ABC，△ADE及△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点．若AB＝4，则图形ABCDEFG外围的周长是( )
A．12 B．15 C．18 D．21
B
二、填空题(每小题6分，共6分)
13．(娄底中考)如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3 cm，则BF＝____cm.
6
三、解答题(共36分)
14．(10分)如图所示，已知AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，F是CD的中点，AF与CD有什么位置关系？说明理由．
15．(12分)如图，已知在△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，D，E分别是AB，AC边上的点，且BD＝CE，试说明：MD＝ME.
【素养提升】
16．(14分)(绍兴中考)数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)
例2 等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式 等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．
(1)请你解答以上的变式题；
(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．(共17张PPT)
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第五章 生活中的轴对称
3 简单的轴对称图形
第3课时 角平分线的性质
角平分线的性质
1．(4分)如图，∠1＝∠2，PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，则下列结论中，错误的是( )
A．PD＝PE B．PD＝BD
C．BE＝BD D．∠BPE＝∠BPD
B
2．(4分)(梧州中考)如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
D
3．(4分)(锦州期中)如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一动点，若PA＝5，则PQ的最小值为____．
5
4．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D.
(1)若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是____；
(2)若BD∶DC＝3∶2，点D到AB的距离为6，则BC的长是____．
3
15
5．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝10 cm，求△DEB的周长．
解：由题意，得CD＝DE，所以Rt△ACD≌Rt△AED.所以AE＝AC，所以△DEB的周长＝DE＋DB＋EB＝CD＋DB＋BE＝BC＋BE＝AC＋BE＝AE＋BE＝AB＝10 cm
尺规作角平分线
6．(4分)用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( )
A.SSS B．SAS C．ASA D．AAS
A
20°
8．(8分)已知△ABC，用尺规作图作出∠ABC的平分线(不写作法，保留作图痕迹).
解：如图所示
一、选择题(每小题6分，共18分)
9．如图，已知AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC交AC于点E，且OE＝2，则两平行线AB，CD之间的距离等于( )
A．2 B．4 C．5 D．6
B
10．如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD与OE的大小关系是( )
A．OD>OE B．OD＝OE
C．ODB
11．如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建设一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
D
二、解答题(共42分)
12．(8分)如图所示，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A，B为垂足，AB交OM于点N，试说明：∠OAB＝∠OBA.
13．(10分)如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线．试说明：BC＝2AB.
解：因为DE是BC的垂直平分线，所以BE＝EC，DE⊥BC，所以∠DEB＝90°.因为∠A＝90°，所以∠A＝∠DEB.又因为BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD＝∠EBD，DA＝DE，所以△ABD≌△EBD(AAS)，所以AB＝BE，所以BC＝2AB
14．(10分)如图，两条公路OA和OB相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论)
解：作出∠AOB的平分线，线段CD的垂直平分线，交点即为P的位置，作图略
【素养提升】
15．(14分)如图，已知∠1＝∠2，P为BN上一点且PD⊥BC于点D，AB＋BC＝2BD，试说明∠BAP＋∠BCP＝180°.(共9张PPT)
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第五章 生活中的轴对称
4 利用轴对称进行设计
利用轴对称设计图案
1．(6分)下列倡导节约的图案中，可以看作是轴对称图形的是( )
B
2．(6分)将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后图形是( )
B
3．(6分)一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是( )
D
4．(6分)下图中，右面的图案是由左面一朵“小花”在一张半透明的纸上经过多次对折描图后所得到的，要得到这样的图案，则最少需对折( )
A．2次 B．3次 C．4次 D．5次
B
5．(6分)要在一块长方形的空地上修建一个花坛，要求花坛图案为轴对称图形，图中的设计符合要求的有_____________．(填序号)
①②③④
6．(6分)如图，左图中的图案是轴对称图形，它是由右图中五种基本图形中的两种图形拼接而成，这两种基本图形是_______．(填序号)
②⑤
【素养提升】
7．(14分)如图，在网格中有两个全等的图形(阴影部分)，用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在右边两图中画出两种不同的拼法．
解：略(共16张PPT)
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第五章 生活中的轴对称
2 探索轴对称的性质
轴对称的性质
1．(4分)(铁岭月考)下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是( )
B
2．(4分)如图所示，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，量得∠B′＝100°，则∠B的度数是( )
A.30° B.50° C.90° D.100°
D
3．(4分)如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，BE交l于点O，则下列说法不一定正确的是( )
A．AC＝DF B．BO＝EO
C．AD⊥l D．AB∥EF
D
4．(4分)如图，四边形ABDC的对称轴是AD所在的直线，AC＝5，DB＝7，则四边形ABDC的周长为____．
24
5．(4分)距离为20 cm的两点A和A′关于直线MN成轴对称，则点A到直线MN的距离为_______.
6．(4分)如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为____ cm2.
10cm
8
7．(7分)如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．
(1)指出两个三角形中的对应点；
(2)指出图中相等的线段；
(3)图中还有对称的三角形吗？如果有，请指出来．
解：(1)B和D，C和E，A和A
(2)AC＝AE，AB＝AD，BC＝DE，BF＝DF，CF＝EF
(3)有，△AFB和△AFD，△AEF和△ACF分别关于直线MN对称
画轴对称图形
8．(9分)(教材P119“做一做”变式)在下图中画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于直线l成轴对称．
解：画图略
一、选择题(每小题6分，共12分)
9．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，折叠后A′B与E′B在同一条直线上，则∠CBD的度数( )
A．大于90° B．等于90°
C．小于90° D．不能确定
B
10．如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，下列结论：①△ABC≌△AB′C′；②∠BAC′＝∠B′AC；③l垂直平分CC′；④线段BC和B′C′不一定相等．其中正确的个数有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
B
二、填空题(每小题6分，共12分)
11．在镜子中看到的一串数字是 ，则这串数字是____________．
309087
12．(平顶山月考)如图，等边三角形ABC的边长为1，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为____．
3
三、解答题(共36分)
13．(10分)(驻马店月考)如图，∠AOB内有一点P，P关于OA，OB的对称点分别为P1，P2，连接P1P2，交OA于点M，交OB于点N，若P1P2＝5 cm，求△PMN的周长.
解：因为P与P1，P2分别关于OA，OB对称，所以PM＝P1M，PN＝P2N，所以PM＋PN＋MN＝P1M＋P2N＋MN＝P1P2＝5(cm).所以△PMN的周长为5 cm
14．(12分)如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站，分别向A，B两个开发区运货，若要货物中转站到A，B两个开发区的距离和最小，那么货物中转站应修建在何处？并说明理由．
解：设公路为直线MN，两个开发区分别看成直线MN同侧的两点A，B，①作点A关于直线MN的对称点A′；②连接BA′交MN于点P，则点P就是货物中转站的位置．如图，理由：在直线MN上另取一点P′，连接AP，A′P′，AP′，BP′.因为直线MN是点A，A′的对称轴，点P，P′在对称轴上，所以PA＝PA′，P′A＝P′A′.所以PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B.在△A′P′B中，因为A′B＜P′A′＋P′B，所以PA＋PB＜P′A′＋P′B，即PA＋PB最小
【素养提升】
15．(14分)如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D在BC边上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB′，AB′与边BC交于点E，则当∠ADC的度数为多少时，△DEB′为直角三角形？(共9张PPT)
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第五章 生活中的轴对称
专题训练(七) 等腰三角形问题中的分类讨论思想
类型之一 遇边讨论
1．等腰三角形两边长为4 cm，6 cm，则该等腰三角形的周长为_______________．
14cm或16cm
类型之二 遇角讨论
3．已知等腰三角形的一个内角为75°，则该等腰三角形顶角的度数为_____________．
30°或75°
4．如果等腰三角形的两个内角的度数之比为1∶4，那么这个三角形三个内角各是多少度？
解：①当较小角为底角时，设较小角为x，则x＋x＋4x＝180°，解得x＝30°，则4x＝120°.故三角形三个内角的度数分别为30°，30°，120°；②当较大角为底角时，设较小角为x，则x＋4x＋4x＝180°，解得x＝20°，则4x＝80°.故三角形三个内角的度数分别为20°，80°，80°.综上可得这个三角形三个内角各是30°，30°，120°或20°，80°，80°
5．已知一个等腰三角形的两个内角分别为(2x－2)°和(3x－5)°，求这个等腰三角形各内角的度数．
解：①当(2x－2)°和(3x－5)°是两个底角的度数时，2x－2＝3x－5，x＝3，所以三个内角分别是4°，4°，172°；②当(2x－2)°是顶角的度数时，2x－2＋2(3x－5)＝180，解得x＝24，所以三个内角分别46°，67°，67°；③当(3x－5)°是顶角的度数时，3x－5＋2(2x－2)＝180，解得x＝27，所以三个内角分别是76°，52°，52°.即这个等腰三角形各内角的度数分别为4°，4°，172°或46°，67°，67°或76°，52°，52°
类型之三 遇中线讨论
6．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为27 cm，且AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为3 cm的两个三角形，求△ABC各边的长．
解： 如图，根据题意结合图形，分成两部分的周长的差等于腰长与底边的差．①若AB＞BC，则AB－BC＝3，又2AB＋BC＝27，解得AB＝10，BC＝7，10 cm，10 cm，7 cm能够组成三角形 ②若AB＜BC，则BC－AB＝3，又2AB＋BC＝27，解得AB＝8，BC＝11，8 cm，8 cm，11 cm能够组成三角形．因此△ABC的各边长为10 cm，10 cm，7 cm或8 cm，8 cm，11 cm
类型之四 遇高讨论
7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，求这个三角形各个内角的度数．
解：设△ABC，AB＝AC，BD⊥AC.①如图①，
当高在△ABC内部时，∠ABD＝35°，∠A＝180°－90°－∠ABD＝55°，所以∠C＝∠ABC＝(180°－∠A)÷2＝62.5°；②如图②，当高在△ABC外部时，∠ABD＝35°，所以∠BAD＝180°－90°－∠ABD＝55°，所以∠BAC＝180°－55°＝125°，所以∠ABC＝∠C＝(180°－125°)÷2＝27.5°.故三角形各内角为55°，62.5°，62.5°或125°，27.5°，27.5°
类型之五 遇中垂线讨论
8．在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，求∠B的度数．(共16张PPT)
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第五章 生活中的轴对称
3 简单的轴对称图形
第2课时 线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质
1．(4分)(宝丰期末)如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
B
2．(4分)如图，AC⊥BD于点O，BO＝OD，图中共有全等三角形( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
C
3．(4分)如图，已知直线CD是线段AB的垂直平分线，若AC＝1.6 cm，BD＝2.3 cm，则四边形ACBD的周长是____cm.
7.8
4．(4分)如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线分别交边AB，AC于点D，E，若∠A＝50°，则∠BDC＝________．
100°
5．(10分)如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝20，DE垂直平分AB.
(1)若△DBC的周长为35，求BC的长；
(2)若BC＝13，求△DBC的周长．
解：(1)因为DE垂直平分AB，所以BD＝AD.又因为△DBC的周长为BD＋DC＋BC＝AD＋DC＋BC＝AC＋BC，AC＝20，所以BC＝15，即BC的长为15
(2)△DBC的周长为33
线段垂直平分线的画法
6．(6分)如图，已知线段AB，分别以点A和点____为圆心，以大于____的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，直线MN就是线段AB的_________________线．
B
AB
垂直平分
7．(8分)如图，在△ABC中，作BC边的垂直平分线分别与AC，BC交于点D，E(保留作图痕迹，不要求写作法).
解：作图如图所示：
一、选择题(每小题6分，共12分)
8．如图，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D，若∠CAD＝20°，则∠B等于( )
A．20° B．30° C．35° D．40°
C
9．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE＝10 cm，则AB＋BD的长为( )
A．10 cm B．9 cm
C．8 cm D．以上都不对
A
二、填空题(每小题6分，共12分)
10．(南充中考)如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝____度．
24
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为____度．
108
三、解答题(共36分)
12．(10分)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于点E，D为垂足，连接EC.
(1)求∠ECD的度数；
(2)若CE＝5，求BC的长．
解：(1)因为DE垂直平分AC，所以CE＝AE，所以∠ECD＝∠A＝36° (2)因为AB＝AC，∠A＝36°，所以∠B＝∠ACB＝72°.因为∠ECD＝36°，所以∠BCE＝∠ACB－∠ECD＝36°，∠BEC＝180°－36°－72°＝72°＝∠B，所以BC＝EC＝5
13．(12分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.试说明：
(1)FC＝AD；
(2)AB＝BC＋AD.
解：(1)因为AD∥BC，所以∠D＝∠ECF，∠DAE＝∠EFC.又因为DE＝EC，所以△ADE≌△FCE，所以FC＝AD (2)由(1)得，AE＝EF，BE⊥AE，所以AB＝BF＝BC＋CF.又因为△ADE≌△FCE，所以AD＝CF，所以AB＝BC＋AD
【素养提升】
14．(14分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M.
(1)若∠A＝40°，求∠NMB的度数；
(2)如果将(1)中∠A的度数改为70°，其余条件不变，求∠NMB的度数；
(3)由(1)(2)你发现了什么规律？并说明理由．
