罗平县第二中学 2021~2022 学年下学期期中考试
高二数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在第 1 至第 8 题所给的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，为单选题；第 9 至 12 题每个小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B D B A B C C BCD BC BD ABD
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号 13 14 15 16
17
答案 0.045
9 4 2 1 3；
45 200 2 6
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为 d ，则 a2 a1 d ， a4 a1 3d ．
由 a1， a2 ， a4 成等比数列得 a22 a1a4 ，即 (a1 d )
2 a1(a1 3d )，
又因为 a1 2，解得 d 2或 d 0 （舍去），
所以 an 2n ．……………………………………………………………………………（5 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn 2n 4
n ，
所以 Sn 2(1 2 3 n) (4 4
2 4n )，
S n2 n 4(1 4
n )
所以 n ．……………………………………………………………（10 分） 3
数学 LP2 参考答案·第 1 页（共 5 页）
18．（本小题满分 12 分）
（Ⅰ）证明：∵C π (A B)，∴sin C sin(A B) ，
∴sin(A B) 5sin(B A) ，……………………………………………………………（2 分）
sin Acos B cos Asin B 5sin Bcos A 5cos Bsin A ，
即3sin Acos B 2sin B cos A，……………………………………………………………（4 分）
由正弦定理可得 2bcos A 3a cos B ．……………………………………………………（6 分）
（Ⅱ）解：由已知 (2R sin B)2 (2R sin A)2 2R sin C ，
由正弦定理得：b2 a2 c ．……………………………………………………………（8 分）
2 2 2 2 2 2
将（Ⅰ）中的 2bcos A b c a a c b 3acos B 代入余弦定理得： 2b 3a ，
2bc 2ac
……………………………………………………………………………………（10 分）
整理得 b2 a2 1 c2，∴c 5 ．…………………………………………………………（12 分）
5
19．（本小题满分 12 分）
1
（Ⅰ）证明：如图 1 所示，在线段 AD 上取一点Q，使 AQ AD ，连接MQ ， NQ ，
3
∵DM 2MP，∴QM∥AP，
又 AD 3， AB BC 2 ，
∴AQ//BN ，四边形 ABNQ为平行四边形，∴NQ∥AB ，
又 NQ MQ Q ， AB AP A，所以平面MNQ∥平面 PAB ，
图 1
∵MN 平面MNQ ，∴MN // 平面 PAB ．
………………………………………………………………………………………（6 分）
（Ⅱ）解：如图 2 所示，以点 A为坐标原点，以 AB 为 x轴， AD 为 y 轴， AP 为 z 轴建立
空间直角坐标系，则 B(2，0，0)，C(2，2，0) ， D(0，3，0) ，
P(0，0，3) ，
又 N 是 BC 中点，则 N (2，1，0) ，
所以 PD (0，3， 3) ，CD ( 2，1，0)， DN (2， 2，0) ，
设平面 PCD的法向量 n1 (x1，y1，z1) ，
图 2
数学 LP2 参考答案·第 2 页（共 5 页）
PD n 3y 3z 0，
则 1 1 1 令 x 1
1 ，则 n1 (1，2，2)，
CD n1 2x1 y1 0，
设平面 PND的法向量 n2 =(x2，y2，z2 )，
PD n 2 3y2 3z2 0，
则 令 x2 1，则 n2 (1，1，1)，
DN n2 2x2 2y2 0，
所以 cos
n1，n
1 2 2 5 3
2 ，
12 22 22 12 12 12 9
2
则二面角C PD N 5 3 6的正弦值为 1 ．
9 9
……………………………………………………………………………………（12 分）
20．（本小题满分 12 分）
k 2 50(25 10 10 5)
2 400
解：（Ⅰ） 6.349 6.635，
35 15 20 30 63
故没有 99%的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”．
………………………………………………………………………………………（4 分）
（Ⅱ）由题可知 X 的所有可能取值为：0，1，2，3．
3 2 1 1 2 3
P(X 0) C4 4 P(X C C 1) 4 3 18 P C C C3 ； 3 ； (X 2)
4 3 12 3 1
C 35 C 35 C3
；P(X 3) 3 ．
7 7 7 35 C7 35
X 的分布列为：
X 0 1 2 3
4 18P
12 1
35 35 35 35
E(X ) 0 4 18 12 1 9所以 1 2 3 ．
35 35 35 35 7
……………………………………………………………………………………（12 分）
数学 LP2 参考答案·第 3 页（共 5 页）
21．（本小题满分 12 分）
c 3
解：（Ⅰ）由题设，椭圆参数 c 3 且 e ，则 a 2，
a 2
所以b2 a2 c2 1，
C x
2
故椭圆 的标准方程： y2 1．……………………………………………………（4 分）
4
（Ⅱ）ⅰ．当切线不与坐标轴垂直时，切线为 y y0 k(x x0 ) ，则 y kx kx0 y0 ，
代入椭圆 C 整理得： (1 4k 2 )x2 8k(y 20 kx0 )x 4(y0 kx0 ) 4 0，
所以 64k 2 (y0 kx0 )
2 16(1 4k 2 )[(y0 kx0 )
2 1] 0，整理得 4k 2 1 (y0 kx0 )
2 0，
所以 (4 x20 )k
2 2x0 y0k 1 y
2
0 0 ，若两条切线斜率分别为 k1，k2 ，
1 y20
又 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，即 k1k2 2 1，故 x
2 2
0 y0 5 ； 4 x0
ⅱ．当切线与坐标轴垂直时 P( 2， 1)，也满足 x2 y20 0 5 ；
综上，P 的轨迹方程为 x2 y2 5 ．……………………………………………………（12 分）
22．（本小题满分 12 分）
1
解：（Ⅰ） a 1时， f (x) x2 2ln x x ，定义域是 (0， )，
2
f (x) x 2 1 (x 2)(x 1) ，………………………………………………………（1 分）
x x
令 f (x) 0，解得 x 2，令 f (x) 0 ，解得 0 x 2，……………………………（2 分）
故 f (x) 在(0，2) 上递减，在 (2， ) 上递增．………………………………………（3 分）
（Ⅱ）存在．
理由如下：
a2
∵ f (x) x2 2ln x ax，其中 a 0，
2
f (x) a2 x 2 a (ax 2)(ax 1)∴ ．…………………………………………………（4 分）
x x
数学 LP2 参考答案·第 4 页（共 5 页）
∵a2 1，∴a 1或 a 1．………………………………………………………………（5 分）
①当 a 1时， ax 1 0 ，
令 f (x) 0 x 2 ，解得 ，令 f (x) 0 ，解得 0 x 2 ，……………………………（6 分）
a a
2 2
故 f (x) 在 0， 上递减，在 ， 上递增，………………………………………（7 分）
a a
故 f (x)min f
2 2
2 2ln 2 a
2 a 2，解得 a 2；…………………………（8 分）
a a
②当 a 1时， ax 2 0 ，
令 f (x) 0 1 1，解得 x ，令 f (x) 0 ，解得 0 x ，…………………………（9 分）
a a
故 f (x) 0 1 1 在 ， 上递减，在 ， 上递增，…………………………………（10 分）
a a
故 f (x) f 1 1min
2ln( a) 1 a
2 a 2，无解，
a 2
故不存在实数 a 使函数 f (x) 的最小值为 a2 a 2 ．………………………………（11 分）
综上：当 a2 1时，存在实数 a 使得函数 f (x) 的最小值为 a2 a 2 ，
此时，a 2．……………………………………………………………………………（12 分）
数学 LP2 参考答案·第 5 页（共 5 页）秘密★启用前
7.在ax2-)的展开式中，若2项的系数为80，则实数口的值为
罗平县第二中学2021~2022学年下学期期中考试
A.4
B.3
C.2
高二数学试卷
2
8.已知双曲线号-=1(a>0,b>0)与圆+y2=62在第二象限相交于点M,F,R,分别为该双曲线的左、右
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4
页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
焦点，且sin∠MF,F2=3sin∠MF,F,则该双曲线的离心率为
A.√2
B.1.5
C.√3
D.2
第I卷（选择题，共60分）
9.(多选题)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角，由此可见我国古
注意事项：
代数学的成就是非常值得中华名族自豪的.如图1所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13，…以下关于杨辉三角的猜想中正确的是
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应題目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦千净后，再
选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效
A.第9条斜线上各数字之和为55
B.在第n(n≥5)条斜线上，各数从左往右先增大后减少
2
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在第1至第8题所给的四个选项中，只有一项是符
C.由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想C=C“
33
合题目要求的，为单选题；第9至12题每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5
D.由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和”猜想
4r41
分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5101051
C=C+C
1￥615201561
1.设集合U={1,2,3,4},集合M={xeU|x2-5x+p=0},CM={1,4},则实数p=
10.(多选题)下列说法中，正确的命题有
图1
A.6
B.5
C.-5
D.-6
2.从5本不同的书中选2本，分别送给甲、乙两人，每人一本，则不同的送法种数为
A若随机变量X-9,号），则E(X)=3,D2+1)=4
A.10
B.20
C.25
D.32
B.90,92,92,93,93,94,95,96,99,100的75%分位数为96
3.已知x,y的取值如下表所示，从散点图分析，y与x线性相关，且y=0.83x+a,则a=
C.已知随机变量~N(2,σ2)，且P(<4)=0.8,则P(0<<4)=0.6
0
1
3
4
D.若(x+4)(3+x)6=ao+a1(2+x)+a2(2+x)2+a3(2+x)3+…+a,(2+x)7,则a2=60
y
0.91.93.2
4.4
11.(多选题)下列命题正确的有
A.2.6
B.2
C.1
D.0.94
4.为了纪念北京冬奥会申奥成功，中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥
A若复数=(i为虚数单位)，则：”=1
会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿
B.函数f八x)=e-e在定义域内既是奇函数又是减函数
者标志”.从一套5枚邮票中任取2枚，则恰有1枚会徽邮票的概率为
C.对Hx∈R,x2-x+1>0的否定是3x∈R,x2-x+1<0
R号
D已知向量云=(2,4)，6=(-1,2)，则向量0在向量6上的投影向量为-；，)
5.某同学投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c,且a,b,c∈(0,1).已知他投
12.(多选题)下列说法正确的是
篮一-次得分的期塑为1，侧子的最小值为
A.在回归分析模型中，若相关指数R越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好
A.24
B.18
C.16
D.12
B.某人在10次射击中击中目标的次数为X,若X~B(10,0.8),则当X=8时概率最大
6.某校高二年级某次数学学业质量检测考试成绩X~N(80,25),规定成绩大于或等于85分为A等级，已知
C,从10名男生，5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的概率为C停
CsCi
该年级有考生500名，则这次考试成绩为A等级的考生数约为
(附：P(u-≤X≤u+σ)≈0.6827，P(u-2σ≤X≤u+2)≈0.9545，P(u-3o≤X≤u+3o)≈0.9973)
D.以模型y=ce“去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=ly得到线性方程z=0.5x+1,则c,k的值
A.11
B.79
C.91
D.159
分别是e,0.5
数学LP2·第1页（共4页）
数学LP2·第2页（共4页）
