1.2.5空间中的距离 教案

空间中的距离
【教学目标】
1．通过学习空间距离的求解，提升逻辑推理、数学运算素养．
【教学重难点】
1．掌握向量长度计算公式．（重点）
2．会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离和面到面的距离．（重点、难点）
【教学过程】
一、情境引入
“距离”在生活中随处可见，其概念是从生活中的具体问题中抽象出来的.义务教育阶段已经学过点与点之间的距离，那么在空间中两个图形之间的距离又是怎样呢？
二、新知初探
1．空间中两点之间的距离
空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长．
思考1：在空间中怎样求两点之间的距离？
[提示]利用向量法转化为求向量的模．
2．点到直线的距离
给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，垂线段的长称为点A到直线l的距离．
3．点到平面的距离
（1）给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，垂线段的长称为点A到平面α的距离．
提醒：点到平面的距离是这个点与平面内点的最短连线的长度．
（2）一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离为．
提醒：若点A是平面α内一点，则约定A到平面α的距离为0．
4．相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离
（1）当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为．
（2）当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．
如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为．
思考2：线面距、面面距与点面距有什么关系？
提示：
三、合作探究
类型1：空间两点间的距离
【例1】如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0（1）求MN的长；
（2）a为何值时，MN的长最小？
[思路探究]建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用两点间距离公式求解．
[解]（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（1,0,0），F（1,1,0），C（0,0,1）．
因为CM=BN=a（0所以M，N，
所以=，
所以||=（0（2）由（1）知MN=，所以，当a=时，MN=．
即当a=时，MN的长最小，最小值为．
[规律方法]计算两点间的距离的两种方法
（1）利用|a|2=a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用||＝＝求解．
（2）用坐标法求向量的长度（或两点间距离），此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时．
[跟进训练]
1．如图所示，在120°的二面角α AB β中，AC α，BD β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC=AB=BD=6，试求线段CD的长．
[解]∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴·=0，·=0，
又∵二面角α AB β的平面角为120°，
∴〈，〉=60°，
∴|CD|2=||2=（＋＋）2
=2＋2＋2＋2（·＋·＋·）
=3×62＋2×62×cos60°=144，
∴CD=12．
类型2：点到直线的距离
[探究问题]
1．如何理解与认识点到直线的距离？
[提示]点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题．
（1）点在直线上时，点到直线的距离为0．
（2）点在直线外时，点到直线的距离即为此点与过此点向直线作垂线的垂足间的距离．即点到直线的距离可转化为两点间的距离．
2．如何用向量法求点到直线的距离？
[提示]设出点在直线上的射影，利用垂直关系求出射影的坐标转化为求向量的模．
【例2】已知直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，求点B到直线A1C1的距离．
[思路探究]建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
[解]以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A1（4,0,1），C1（0,3,1），
所以=（-4,3,0）．
设E满足=λ，且BE⊥A1C1，
则=＋=（4,0,1）＋λ（-4,3,0）=（4-4λ，3λ，1），又⊥，
∴（4-4λ，3λ，1）·（-4,3,0）=0，∴λ=．
∴=，
∴||==，
∴B到直线A1C1的距离为．
[规律方法]1．（变问法）条件不变，试求B到AC1的距离．
[解]建系如本例解法=（-4,3,1），设M满足=λ且·=0，则=＋=（4,0,0）＋λ（-4,3,1）=（4-4λ，3λ，λ）．
又·=0，∴（4-4λ，3λ，λ）·（-4,3,1）=0，
∴λ=，
∴==，
∴||==，
∴B到AC1的距离为．
2．（变条件）若将本例中的条件改为“正三棱柱ABC A1B1C1且所有棱长均为2”，如何求B到A1C1的距离．
[解]以B为原点，分别以BA，过B垂直于BA的直线，BB1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（0,0,0），A1（2,0,2），C1（1，，2），=（2,0,2）
所以A1C1的方向向量=（-1，，0），而=（1，，2），
设E满足=λ且BE⊥A1C1，
=＋=（2,0,2）＋λ（-1，，0）=（2-λ，λ，2），
又⊥∴（2-λ，λ，2）·（-1，，0）=0，
∴λ-2＋3λ=0，∴λ=，∴=．
∴||==，
∴B到A1C1的距离为．
[规律方法]
求点M到直线AB的距离的方法与步骤
（1）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，在已知直线AB上取一点E，点E满足两个条件：①=λ，②ME⊥AB．
（2）利用（1）中的两个等量关系求出λ的值，进而求出点E的坐标，求出向量||的模即为M点到AB的距离．
类型3：点到平面的距离
【例3】如图所示，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，求点A到平面A1BD的距离．
[思路探究]本题可以利用等体积法求解，也可以通过建系利用向量法求解．
[解]法一：设点A到平面A1BD的距离为h，则
VB AA1D=×a××a×a=a3，
VA A1BD=×h××（a）2=a2h，
∵VA A1BD=VB AA1D，
∴h=a，∴点A到平面A1BD的距离为a．
法二：如图所示，建立空间直角坐标系B1xyz，则A1（a,0,0），A（a,0，a），D（a，a，a），B（0,0，a），
则=（a，a,0），=（0，a，a），=（-a,0,0）．
设平面A1BD的一个法向量n=（x，y，z），
则
即∴
令y=-1，则x=z=1，
∴n=（1，-1,1）．
∴·n=（-a,0,0）·（1，-1,1）=-a．
∴点A到平面A1BD的距离d===a．
[规律方法]
用向量法求点面距的方法与步骤
（1）建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系；
（2）求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量；
（3）求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量n；
（4）得答案：代入公式求得答案．
提醒：用向量法求点到平面的距离的关键是确定平面的法向量．
[跟进训练]
2．如图所示，已知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA=BC=2，AB=4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，求点A到平面SND的距离．
[解]建立如图所示的空间直角坐标系，则N（0,2,0），S（0,0,2），D（-1,4,0），
∴=（0，-2,2），=（-1,4，-2）．
设平面SND的法向量为n=（x，y,1）．
∴n·=0，n·=0，
∴
∴
∴n=（2,1,1），∵=（0,0,2）．
∴点A到平面SND的距离为==．
类型4：线面平行、平行平面间的距离
【例4】如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC=∠ADB=90°，CD=1，BC=2，DF=1．
（1）求证：BE∥平面DCF；
（2）求点B到平面DCF的距离．
解：（1）证明：由已知可得 平面ABE∥平面DFC，
∵BE 平面ABE，∴BE∥平面DCF．
（2）如图，以D为原点，建立空间直角坐标系．
∵AB∥CD，∠ABC=∠ADB=90°，
则△ADB∽△BCD =，
∵CD=1，BC=2．∴BD=，
∴AD=2，AB=5，∴F（0,0,1），
D（0,0,0），A（2，0,0），B（0，，0），C，=（0，-，1），=，=．
设平面DCF的法向量为n=（x，y，z），
则∴
令x=1，y=2，z=0．∴n=.
=2．∴B到平面DCF的距离为2．
[规律方法]
求直线与平面间的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因直线到平面的距离可以用点到平面的距离求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离进行过渡.
[跟进训练]
3．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
[解]以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（1,0,1），B（1,1,0），D1（0,0,1），
=（0,1，-1），=（-1,0，-1），=（-1,0,0）．
设平面A1BD的一个法向量为n=（x，y，z），
则
令z=1，得y=1，x=-1，∴n=（-1,1,1）．
∴点D1到平面A1BD的距离d===．
∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为．
四、课堂总结
1．空间中各种距离一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，其中点点距、点线距最终都可用空间向量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来求解．
2．要熟练地掌握平面法向量的求法，其基本方法是待定系数法，还要学会单位法向量的求法．
五、课堂练习
1．已知平面α的一个法向量n=（-2，-2,1），点A（-1,3,0）在α内，则P（-2,1,4）到α的距离为（ ）
A．10 B．3
C． D．
答案：D
解析：[=（-1，-2,4），d==．]
2．已知平面α的一个法向量n=（-2，-2,1），点A（x,3,0）在平面α内，则点P（-2,1,4）到平面α的距离为，则x=（ ）
A．-1 B．-11
C．-1或-11 D．-21
答案：C
解析：[=（x＋2,2，-4），而d==，即=，解得x=-1或-11．]
3．若正四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（ ）
A．
B．1
C．
D．
答案：D
解析：[如图，A1C1∥平面ABCD，所以A1C1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离，由AB1与平面ABCD所成的角是60°，AB=1．∴BB1=．即点A1到平面ABCD的距离为．]
4．在Rt△ABC中，∠C=30°，∠B=90°．D是BC边的中点，AC=2，DE⊥平面ABC，DE=1，则点E到斜边AC的距离是________．
答案：
解析：[作DH⊥AC于点H，连接EH（图略）．因为DE⊥平面ABC，所以DE⊥AC，因为DE∩DH=D，所以AC⊥平面DEH，所以EH⊥AC，所以EH即为所求距离．由∠B=90°，∠C=30°，AC=2，得BC=．因为D是BC边上的中点，所以DH=CD=BC=．又DE=1，所以EH==．]
5．三棱柱A1B1C1 ABC是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．
（1）求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；
（2）求点C到平面AB1D的距离．
[解]如图所示，以B为原点，过点B与BC垂直的直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A，A1，B1（0，0，a），D，C（0，a,0）．
（1）证明：取AB1中点M，则M．
∴=，
=（0,0，a），=．
∴·=0，·=0．
∴DM⊥AA1，DM⊥AB1，
又AA1∩AB1=A，∴DM⊥平面ABB1A，
又DM 平面AB1D，
∴平面AB1D⊥平面ABB1A1．
（2）由（1）知A1B⊥DM．
∵·=·
=a2＋-a2=0，
∴A1B⊥AB1，∴A1B⊥平面AB1D．
∴是平面AB1D的一个法向量，
故点C到平面AB1D的距离为d===a．
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