山西省山大附中2012-2013学年高二下学期期中数学文试题

山西大学附中2012-2013高二下学期期中考试
数学试题(文科)
考试时间：90分钟　　考查内容：1-2,导数,　4-5　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a>b>c，则下列各式中正确的是 （ ）
A　ac2>bc2 B　ab>bc 　 C　2a>2b>2c 　 D　
2．已知不等式（）（）9对任意正实数恒成立，则正实数a的最小值为
A. 2 B. 4 C. 6 D.8
3.设，i是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 不等式log3|x－|<－1的解集是 （ ）
A　(0, ) B　(,＋∞) C　(0, )∪(, ) 　D　(, ＋∞)
5.不等式总有解时，的取值范围是 （ ）
A. ＞1 B.＜＜1 C.0＜≤1 D. 0＜＜
6. 设x为实数，P=ex+e-x，Q=(sinx+cosx)2，则P、Q之间的大小关系是 （ ）
A．P≥Q B．P≤Q C．P>Q D． P7.已知，且，则下列不等式①②
③④，其中一定成立的不等式的序号是 （ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
8．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”． 那么，下列命题总成立的是 （ 　）
Ａ．若成立，则成立
Ｂ．若成立，则成立
Ｃ．若成立，则当时，均有成立
Ｄ．若成立，则当时，均有成立
9.若a是1+2b与1-2b的等比中项，则的最大值为 （ ）
A. B. C. D.
10.不等式的解集是 （ ）
A　 　B　
C　 　D　
11.已知函数在处取得极值，若,则的最小值是 （ ）
A． -13 B.-15 C.10 D.15
12.设，且满足对任意正实数，下面不等式恒成立的是 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题6分，满分24分；把正确的答案写在题中的横线上。
13. 复数的虚部为________.
14.若不等式，对满足的一切实数、、恒成立，则实数的取值范围是 ．
15．已知|x+1| + |x–1|≥a的解集为R，则实数a的最大值　　　．
16．的最小值为 ．
三、解答题：本大题5个小题，共66分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）
已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1,1].
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c∈R，且
18. （本小题满分12分）
(1)求证：
(2)已知：，,证明：
19. （本小题满分14分）
用数学归纳法证明，若f(n)=1+++…+,则n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n·f(n)(n≥2,且n∈N+).
20. （本小题满分14分）
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°
（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°
（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°
（4）sin2（-18°）+cos248°- sin（-18°）cos48°
（5）sin2（-25°）+cos255°- sin（-25°）cos55°
Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数
Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。
21. （本小题满分14分）
已知函数
(1)当时，求函数在上的最小值；
(2)若存在单调递减区间，求的取值范围.
山西大学附中2012-2013高二下学期期中考试
数学试题(文科)
考试时间：90分钟　　考查内容：1-2,导数,　4-5　 命题教师：张艳芬
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题：本大题共4个小题，每小题6分，满分24分；把正确的答案写在横线上。
13. ______________ 14. ________________15.______________ 16. ____________
三、解答题：本大题5个小题，共66分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
18．（本小题满分12分）
19．（本小题满分14分）
20．（本小题满分14分）
21．（本小题满分14分）
山西大学附中2012-2013高二下学期期中考试
数学试题(文科)答案
考试时间：90分钟　　考查内容：1-2,导数,　4-5　
一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a>b>c，则下列各式中正确的是 （ C ）
A　ac2>bc2 B　ab>bc 　C　2a>2b>2c 　D　
2．已知不等式（）（）9对任意正实数恒成立，则正实数a的最小值为 ( B )
A. 2 B. 4 C. 6 D.8
3.设，i是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的 （ B ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 不等式log3|x－|<－1的解集是 （C ）
A　(0, ) B　(,＋∞) C　(0, )∪(, ) 　D　(, ＋∞)
5.不等式总有解时，的取值范围是 （ A）
A. ＞1 B.＜＜1 C.0＜≤1 D. 0＜＜
6. 设x为实数，P=ex+e-x，Q=(sinx+cosx)2，则P、Q之间的大小关系是 （A ）
A．P≥Q B．P≤Q C．P>Q D． P7.已知，且，则下列不等式①②
③④，其中一定成立的不等式的序号是 （ C ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
8．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”． 那么，下列命题总成立的是 （　D　）
Ａ．若成立，则成立
Ｂ．若成立，则成立
Ｃ．若成立，则当时，均有成立
Ｄ．若成立，则当时，均有成立
9.若a是1+2b与1-2b的等比中项，则的最大值为 （B ）
A. B. C. D.
10.不等式的解集是 （D ）
A　 　B　
C　 　D　
11.已知函数在处取得极值，若,则的最小值是 （A ）
A． -13 B.-15 C.10 D.15
12.设，且满足对任意正实数，下面不等式恒成立的是 （ D ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题6分，满分24分；把正确的答案写在题中的横线上。
13. 复数的虚部为________.
14.若不等式，对满足的一切实数、、恒成立，则实数的取值范围是 ．
15．已知|x+1| + |x–1|≥a的解集为R，则实数a的最大值　　　．
16．的最小值为 ．B－
三、解答题：本大题5个小题，共66分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1,1].
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c∈R，且
18.(1)求证：
(2)已知：，,证明：
略
19.用数学归纳法证明，若f(n)=1+++…+,则n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n·f(n)(n≥2,且n∈N+).
思路解析：(1)当n=2时，左边=2+f(1)=2+1=3,
右边=2·f(2)=2×(1+)=3,左边=右边，等式成立.
（2）假设n=k时等式成立，即
k+f(1)+f(2)+…+f(k-1)=kf(k).
由已知条件可得f(k+1)=f(k)+,
右边=(k+1)·f(k+1)（先写出右边，便于左边对照变形）.
当n=k+1时，左边=(k+1)+f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)
=［k+f(1)+f(2)+…+f(k-1)］+1+f(k)(凑成归纳假设)
=kf(k)+1+f(k)(利用假设)
=（k+1）·f(k)+1
=(k+1)·［f(k+1)-］+1
=(k+1)·f(k+1)=右边.
∴当n=k+1时，等式也成立.
由（1）（2）可知，对一切n≥2的正整数等式都成立.
20. （本小题满分13分）
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°
（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°
（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°
（4）sin2（-18°）+cos248°- sin（-18°）cos48°
（5）sin2（-25°）+cos255°- sin（-25°）cos55°
Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数
Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。
21.已知函数
(3)当时，求函数在上的最小值；
(4)若存在单调递减区间，求的取值范围.
解:(1)当时，的定义域为
在上是增函数，
(2)
存在单调递减区间有正数解，即有的解
①当时，明显成立
②当时，为开口向下的抛物线，总有的解
③当时，为开口向上的抛物线，即有正根，因为=1>0，所以方程有正根，解得，综上得