2.2.3两条直线的位置关系 学案（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2.2.3两条直线的位置关系 学案（Word版含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 262.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-01 18:53:08 | ||
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文档简介
两条直线的位置关系
【学习目标】
1．两直线平行的充要条件。
已知两直线分别为：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，则l1∥l2k1=k2且b1≠b2．?
2．两直线垂直的充要条件。
已知两直线分别为：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，则l1⊥l2k1·k2=-1．?
3．两条直线的夹角。
设直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，l1到l2的角为α，l1与l2的夹角为β，则tan，tan。
4．点到直线的距离。
点P0（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=。
5．两平行线间的距离。
两平行线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0（C1≠C2）之间的距离d=
6．对称问题。
（1）P（x，y）关于Q（a，b）的对称点为 （2a-x，2b-y）。?
（2）P（x0，y0）关于直线Ax+By+C=0的对称点是
。
【学习重难点】
能在平面内，过一点画已知直线的垂线并理解垂线的性质。
【学习过程】
一、题型示例
例1 已知两直线l1：x+m2y+6=0， l2：（m-2）x+3my+2m=0，当m为何值时，l1与l2：（1）相交；（2）平行；（3）重合。?
解前点津 对直线的斜率存在与否，进行讨论，转化为“斜截式”后，才能使用“充要条件”。
规范解答 当m=0时， l1：x+6=0， l2：x=0l1∥l2，?
当m≠0时，则化为斜截式方程：l1：y=-x-，l2：y=，
①当-≠即m≠-1，m≠3时， l1与l2相交。?
②当，即m=-1时l1∥l2．?
③当，即m=3时， l1与l2重合。?
综上所述知：①当m≠-1，m≠3且m≠0时，l1与l2相交，②当m=-1或m=0时，l1∥l2，③当
m=3时， l1与l2重合。?
解后归纳 判断两直线的位置关系，关键是化直线方程为“斜截式”，若y的系数含有参数，则必须分类讨论。?
例2 求经过点P（2，3）且被两条平行线3x+4y-7=0及3x+4y+3=0截得的线段长为的直线方程。?
解前点津 画图可知，所求直线有两条，选择应用夹角公式，
可“避免讨论”。?
规范解答 |AC|==2，∵|AB|=在Rt△ABC中，
求出|BC|=1，则tan∠ABC=2． 设所求直线斜率为k，则=2解之：k=或。?
∴x-2y+4=0，11x-2y-16=0为所求。?
解后归纳 本题利用了图形的性质，重视利用数形结合的方法，从而发现解题思路。
例3 一条光线经过点P（2，3），射在直线l：x+y+1=0上，反射后穿过点Q（1，1）。
（1）求光线的入射线方程；?
（2）求这条光线从P到Q的长度。?
解前点津 先求出Q关于直线l的对称点Q′的坐标，从而可确定过Q，Q′的直线方程。?
规范解答 （1）设点Q′（x′，y′）为Q关于直线l的对称点，且QQ′交l于M点，∵k1=-1，∴kQQ′=1，∴QQ′所在直线方程为x-y=0.?
由得M坐标为，又∵M为QQ′中点，故由
Q′（-2，-2）。?
设入射线与l交点为N，且P，N，Q′共线，得入射线方程为：?
，即5x-4y+2=0.?
（2）∵l是QQ′的垂直平分线，因而：|NQ|=|NQ′|，?
∴|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′|=，
即这条光线从P到Q的长度是。?
解后归纳 无论是求曲线关于直线的对称方程，还是解答涉及对称性的问题，关键在于掌握点关于直线的对称点的求法。?
例4 已知三条直线l1：2x-y+a=0（a>0），直线l2：-4x+2y+1=0和直线l3：x+y-1=0，且l1与l2的距离是。?
（1）求a的值；?
（2）求l3到l1的角θ；?
（3）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点l2的距离的；③P点到l1的距离与P到l3的距离之比是∶；若能，求P点坐标；若不能，说明理由。?
解前点津 求解本题用到三个公式：平行线间的距离公式，直线到直线的“到角”公式，点到直线的距离公式。?
规范解答 （1）由l2：2x-y-=0，∴l1与l2的距离d=，化简得：，∵a>0，∴a=3．?
（2）由（1），l1：2x-y+3=0k1=2，而k3=-1，∴tanθ==-3，
∵0≤θ≤π，∴θ=π-arctan3．?
（3）设点P（x0，y0），若P点满足条件②，则P点在与l1， l2平行的直线L：2x-y+c=0上，
且，即c=或c=。?
∴2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.?
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有：?
，即：|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，∴x0-2y0+4=0，或3x0+2=0，由P在第一象限，∴3x0+2=0不可能，由方程组：?
，舍去， 由
∴P即为同时满足三个条件的点。?
解后归纳 （3）属于“存在性问题”的解答，往往从“假设存在入手”，推出某种结论（肯定的或否定的），然后检验这种结论是否满足题设中的各条件。
【达标检测】
一、基础夯实
1．如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么系数a= （ ）
A．-3 B． –6 C．- D．
2．点（0，5）到直线y=2x的距离是 （ ）
A． B． C． D．
3．已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为，那么m值为（ ）
A．-或-3 B．或3 C．或3 D．或-3
4．若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=-2x+4交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（ ）
A． （-，+∞） B．（-∞，2） ? C．（- ，2） D．（-∞，- ）∪（2，+∞）
5．两条直线A1x+B1y+C1=0，及A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是（ ）
A． A1A2+B1B2=0 B．A1A2=B1B2 ? C．=-1 D． =1
6．如果直线ax-y+2=0与直线3x-y-b=0关于直线x-y=0对称，那么，A、B值为（ ）
A．a=，b=6 B． a=，b=-6 C． a=3，b=-2 ? D． a=3，b=6
7．过两直线y=-x+和y=3x的交点，并与原点相距为1的直线有（ ）
A． 0条 B． 2条 C． 1条 D． 3条
8．对0<|θ|<的角θ，两直线l1：x-y·sinθ=cosθ与l2：x·cosθ+y=1的交点为（ ）
A．在单位圆上 B．在单位圆外
C在单位圆内，但不是圆心 D．是单位圆的圆心
9．已知A（-3，8）和B（2，2），在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|最短，那么点M的坐标是（ ）
A．（-1，0） B．（1，0） C．（，0） D．（0， ）
10.设直线l1：x·sinα+y·+6=0， l2：x+y·=0，α∈，则直线l1与l2的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．平行或重合 D．相交但不垂直
二、思维激活
11．直线l1：2x-5y+20=0，l2：mx-2y-10=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值等于 。
12．直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+c=0垂直相交于点（1，m），则a= c= m= 。
13．两条平行直线分别过点A（6，2）和B（-3，-1），，各自绕A，B旋转，若这两条平行线距离最大时，两直线方程分别是 。
14．p，q满足2p-q+1=0，则直线px+2y+q=0必过定点 。
三、能力提高
15．已知直线l与点A（3，3）和B（5，2）的距离相等，且过两直线l1：3x-y-1=0和l2：x+y-3=0的交点，求直线l的方程。
16．直线l过点（1，0），且被两平行线3x+y-6=0和3x+y+3=0所截得的线段长为9，求直线l的方程。
17．求函数y=的最小值。
18．已知点A（4，1），B（0，4），试在直线l：3x-y-1=0上找一点P，使|PA|-|PB|的绝对值最大，并求出这个最大值。
答案
1．B 由-=3即得a=-6．
2．B 直接利用公式计算。
3．C k1=-2， k2=mtan得：|2m-1|=|m+2|解之即得。
4．C 解方程组
由。
5．A 当l1，l2分别与坐标轴垂直时，C答案不满足。
6．A 因直线ax-y+2=0关于直线y=x的对称直线为ay-x+2=0，故x-ay-2=0与3x-y-b=0重合，故==，∴a=，b=6．
7．B 交点P为（1，3），单位圆的两条切线。
8．C 由x-ysinθ=cosθ且xcosθ+y=1，
∴x2+y2=<1，但x=y=0不成立。
9．B 因B关于x轴对称点为B′（2，-2），则直线AB′的方程可求得为：2x+y=2令y=0得x=1．
10.B 两直线的斜率之积k1·k2=
又α∈，∴|sinα|=-sinα，∴k1·k2=-1，∴l1⊥l2．
11． 四边形对角互补时有外接圆，由于两坐标轴互相垂直，∴=-1m=-5．
12． a=10，c=-12，m=-2 两直线垂直，所以-=-1a=10，又两直线都过点（1，m），
故。
13． AB的斜率kAB=，当两直线都与AB垂直时，平行线距离最大。
所求直线为：3x+y-20=0，3x+y+10=0.
14．由2p-q+1=0直线为px+2y+（2p+1）=0 （x+2）·p+（2y+1）=0，
令故定点为。
15．解方程组：得交点C（1，2），
当A、B两点在l的同侧时， l∥AB，而kAB=，故l为：y-2=-·（x-1），即：x+2y-5=0.
当A、B两点在l异侧时，则l过线段AB中点（4，），由两点式知l方程为化之x-6y+11=0.
综上所述知，l的方程是：x+2y-5=0或x-6y+11=0.
16．如图所示，当l的斜率不存在时， l方程为x=1它与两平行线交
点为（1，3）和（1，-6），其距为|3-（-6）|=9符合题意。
当l的斜率存在时，设l：y=k（x-1），由
及，解得l与两平行直线的交点分别为
。
故由=92，得：k=-故此时l：y=-（x-1）， 即4x+3y-4=0.
综上所述知，l的方程为：4x+3y-4=0或x=1．
17． y=
令A（0，1），B（2，2），P（x，0），则问题转化为：在x轴上求一点P（x，0），使得|PA|+|PB|取得最小值，∵A关于x轴的对称点为A′（0，-1），所以（|PA|+|PB|）min=|A′B|=。
18．如图所示，设B关于l的对称点为B′（x′，y′），由
解得B′（3，3），直线AB′的方程为
即2x+y-9=0.
由，故所求P点坐标为（2，5）
此时||PA|-|PB||=||PA|-|PB′||=|AB′|=为所求。
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【学习目标】
1．两直线平行的充要条件。
已知两直线分别为：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，则l1∥l2k1=k2且b1≠b2．?
2．两直线垂直的充要条件。
已知两直线分别为：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，则l1⊥l2k1·k2=-1．?
3．两条直线的夹角。
设直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，l1到l2的角为α，l1与l2的夹角为β，则tan，tan。
4．点到直线的距离。
点P0（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=。
5．两平行线间的距离。
两平行线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0（C1≠C2）之间的距离d=
6．对称问题。
（1）P（x，y）关于Q（a，b）的对称点为 （2a-x，2b-y）。?
（2）P（x0，y0）关于直线Ax+By+C=0的对称点是
。
【学习重难点】
能在平面内，过一点画已知直线的垂线并理解垂线的性质。
【学习过程】
一、题型示例
例1 已知两直线l1：x+m2y+6=0， l2：（m-2）x+3my+2m=0，当m为何值时，l1与l2：（1）相交；（2）平行；（3）重合。?
解前点津 对直线的斜率存在与否，进行讨论，转化为“斜截式”后，才能使用“充要条件”。
规范解答 当m=0时， l1：x+6=0， l2：x=0l1∥l2，?
当m≠0时，则化为斜截式方程：l1：y=-x-，l2：y=，
①当-≠即m≠-1，m≠3时， l1与l2相交。?
②当，即m=-1时l1∥l2．?
③当，即m=3时， l1与l2重合。?
综上所述知：①当m≠-1，m≠3且m≠0时，l1与l2相交，②当m=-1或m=0时，l1∥l2，③当
m=3时， l1与l2重合。?
解后归纳 判断两直线的位置关系，关键是化直线方程为“斜截式”，若y的系数含有参数，则必须分类讨论。?
例2 求经过点P（2，3）且被两条平行线3x+4y-7=0及3x+4y+3=0截得的线段长为的直线方程。?
解前点津 画图可知，所求直线有两条，选择应用夹角公式，
可“避免讨论”。?
规范解答 |AC|==2，∵|AB|=在Rt△ABC中，
求出|BC|=1，则tan∠ABC=2． 设所求直线斜率为k，则=2解之：k=或。?
∴x-2y+4=0，11x-2y-16=0为所求。?
解后归纳 本题利用了图形的性质，重视利用数形结合的方法，从而发现解题思路。
例3 一条光线经过点P（2，3），射在直线l：x+y+1=0上，反射后穿过点Q（1，1）。
（1）求光线的入射线方程；?
（2）求这条光线从P到Q的长度。?
解前点津 先求出Q关于直线l的对称点Q′的坐标，从而可确定过Q，Q′的直线方程。?
规范解答 （1）设点Q′（x′，y′）为Q关于直线l的对称点，且QQ′交l于M点，∵k1=-1，∴kQQ′=1，∴QQ′所在直线方程为x-y=0.?
由得M坐标为，又∵M为QQ′中点，故由
Q′（-2，-2）。?
设入射线与l交点为N，且P，N，Q′共线，得入射线方程为：?
，即5x-4y+2=0.?
（2）∵l是QQ′的垂直平分线，因而：|NQ|=|NQ′|，?
∴|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′|=，
即这条光线从P到Q的长度是。?
解后归纳 无论是求曲线关于直线的对称方程，还是解答涉及对称性的问题，关键在于掌握点关于直线的对称点的求法。?
例4 已知三条直线l1：2x-y+a=0（a>0），直线l2：-4x+2y+1=0和直线l3：x+y-1=0，且l1与l2的距离是。?
（1）求a的值；?
（2）求l3到l1的角θ；?
（3）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点l2的距离的；③P点到l1的距离与P到l3的距离之比是∶；若能，求P点坐标；若不能，说明理由。?
解前点津 求解本题用到三个公式：平行线间的距离公式，直线到直线的“到角”公式，点到直线的距离公式。?
规范解答 （1）由l2：2x-y-=0，∴l1与l2的距离d=，化简得：，∵a>0，∴a=3．?
（2）由（1），l1：2x-y+3=0k1=2，而k3=-1，∴tanθ==-3，
∵0≤θ≤π，∴θ=π-arctan3．?
（3）设点P（x0，y0），若P点满足条件②，则P点在与l1， l2平行的直线L：2x-y+c=0上，
且，即c=或c=。?
∴2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.?
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有：?
，即：|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，∴x0-2y0+4=0，或3x0+2=0，由P在第一象限，∴3x0+2=0不可能，由方程组：?
，舍去， 由
∴P即为同时满足三个条件的点。?
解后归纳 （3）属于“存在性问题”的解答，往往从“假设存在入手”，推出某种结论（肯定的或否定的），然后检验这种结论是否满足题设中的各条件。
【达标检测】
一、基础夯实
1．如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么系数a= （ ）
A．-3 B． –6 C．- D．
2．点（0，5）到直线y=2x的距离是 （ ）
A． B． C． D．
3．已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为，那么m值为（ ）
A．-或-3 B．或3 C．或3 D．或-3
4．若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=-2x+4交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（ ）
A． （-，+∞） B．（-∞，2） ? C．（- ，2） D．（-∞，- ）∪（2，+∞）
5．两条直线A1x+B1y+C1=0，及A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是（ ）
A． A1A2+B1B2=0 B．A1A2=B1B2 ? C．=-1 D． =1
6．如果直线ax-y+2=0与直线3x-y-b=0关于直线x-y=0对称，那么，A、B值为（ ）
A．a=，b=6 B． a=，b=-6 C． a=3，b=-2 ? D． a=3，b=6
7．过两直线y=-x+和y=3x的交点，并与原点相距为1的直线有（ ）
A． 0条 B． 2条 C． 1条 D． 3条
8．对0<|θ|<的角θ，两直线l1：x-y·sinθ=cosθ与l2：x·cosθ+y=1的交点为（ ）
A．在单位圆上 B．在单位圆外
C在单位圆内，但不是圆心 D．是单位圆的圆心
9．已知A（-3，8）和B（2，2），在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|最短，那么点M的坐标是（ ）
A．（-1，0） B．（1，0） C．（，0） D．（0， ）
10.设直线l1：x·sinα+y·+6=0， l2：x+y·=0，α∈，则直线l1与l2的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．平行或重合 D．相交但不垂直
二、思维激活
11．直线l1：2x-5y+20=0，l2：mx-2y-10=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值等于 。
12．直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+c=0垂直相交于点（1，m），则a= c= m= 。
13．两条平行直线分别过点A（6，2）和B（-3，-1），，各自绕A，B旋转，若这两条平行线距离最大时，两直线方程分别是 。
14．p，q满足2p-q+1=0，则直线px+2y+q=0必过定点 。
三、能力提高
15．已知直线l与点A（3，3）和B（5，2）的距离相等，且过两直线l1：3x-y-1=0和l2：x+y-3=0的交点，求直线l的方程。
16．直线l过点（1，0），且被两平行线3x+y-6=0和3x+y+3=0所截得的线段长为9，求直线l的方程。
17．求函数y=的最小值。
18．已知点A（4，1），B（0，4），试在直线l：3x-y-1=0上找一点P，使|PA|-|PB|的绝对值最大，并求出这个最大值。
答案
1．B 由-=3即得a=-6．
2．B 直接利用公式计算。
3．C k1=-2， k2=mtan得：|2m-1|=|m+2|解之即得。
4．C 解方程组
由。
5．A 当l1，l2分别与坐标轴垂直时，C答案不满足。
6．A 因直线ax-y+2=0关于直线y=x的对称直线为ay-x+2=0，故x-ay-2=0与3x-y-b=0重合，故==，∴a=，b=6．
7．B 交点P为（1，3），单位圆的两条切线。
8．C 由x-ysinθ=cosθ且xcosθ+y=1，
∴x2+y2=<1，但x=y=0不成立。
9．B 因B关于x轴对称点为B′（2，-2），则直线AB′的方程可求得为：2x+y=2令y=0得x=1．
10.B 两直线的斜率之积k1·k2=
又α∈，∴|sinα|=-sinα，∴k1·k2=-1，∴l1⊥l2．
11． 四边形对角互补时有外接圆，由于两坐标轴互相垂直，∴=-1m=-5．
12． a=10，c=-12，m=-2 两直线垂直，所以-=-1a=10，又两直线都过点（1，m），
故。
13． AB的斜率kAB=，当两直线都与AB垂直时，平行线距离最大。
所求直线为：3x+y-20=0，3x+y+10=0.
14．由2p-q+1=0直线为px+2y+（2p+1）=0 （x+2）·p+（2y+1）=0，
令故定点为。
15．解方程组：得交点C（1，2），
当A、B两点在l的同侧时， l∥AB，而kAB=，故l为：y-2=-·（x-1），即：x+2y-5=0.
当A、B两点在l异侧时，则l过线段AB中点（4，），由两点式知l方程为化之x-6y+11=0.
综上所述知，l的方程是：x+2y-5=0或x-6y+11=0.
16．如图所示，当l的斜率不存在时， l方程为x=1它与两平行线交
点为（1，3）和（1，-6），其距为|3-（-6）|=9符合题意。
当l的斜率存在时，设l：y=k（x-1），由
及，解得l与两平行直线的交点分别为
。
故由=92，得：k=-故此时l：y=-（x-1）， 即4x+3y-4=0.
综上所述知，l的方程为：4x+3y-4=0或x=1．
17． y=
令A（0，1），B（2，2），P（x，0），则问题转化为：在x轴上求一点P（x，0），使得|PA|+|PB|取得最小值，∵A关于x轴的对称点为A′（0，-1），所以（|PA|+|PB|）min=|A′B|=。
18．如图所示，设B关于l的对称点为B′（x′，y′），由
解得B′（3，3），直线AB′的方程为
即2x+y-9=0.
由，故所求P点坐标为（2，5）
此时||PA|-|PB||=||PA|-|PB′||=|AB′|=为所求。
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