山西省山大附中2012-2013学年高二下学期期中数学理试题

山西大学附中
2012～2013学年第二学期高二期中考试
数学试题（理科）
（考试时间：90分钟 满分150分 ）
一、选择题（每题5分）
1 ．复数的值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．的展开式中的系数是（ ）
A 20 B 160 C 240 D 60
3．下面几种推理过程是演绎推理的是 (　　)
A．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人
C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
D．在数列中，，，由此归纳出的通项公式
4．曲线与直线所围成的图形面积是(　　)
A． B． C. D．
5．设是可导函数，且（ ）
A． 　　　　B．－1 　　　　　C．0 　　　　　D．－2
6． 从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为（ ） A．36 B．30 C．24 D．12
7．如图，过函数y＝xsinx＋cosx图象上点(x，y)的切线的斜率为k，若k＝g(x)，则函数k＝g(x)的图象大致为(　　)
8．已知，则的值为（ ）
A -1 B 1 C 2 D
9. 设函数，. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
10．已知f(x)是偶函数，当.x∈[0，]时，f(x)=xsinx,若a =f(cos1)，b =f(cos2) ,
c =f(cos3)，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A. a < b < c B. b < a < c C. c < b < a D. b < c < a
11．已知在处取最大值，以下各式正确的序号为（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．①④ B．②⑤ C．②④ D．③⑤
12. 设函数在上有定义.对于给定的正数,定义函数,取函数.若对于任意的恒有,则 ( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为 C.的最小值为2 D.的最大值为2
二、填空题（每题6分）
13．设函数,若,则 .
14．已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是______ ．
15．在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数， 那么就称它们为一个逆序.一个排列中逆序的总数就称作这个排列的逆序数.如排列 1,3,5, 4,2中，3，2 ; 5,4 ; 5,2 ; 4,2为逆序，逆序数是4.现有从1?101 这101个自然数的排列:1，3，5，7，…,99 ,101 ,100, 98，…,6,4,2 ,则此排列的逆序数是______ .
16.已知函数，则下列命题正确的是______ .
① ②； ③；
④； ⑤
山西大学附中
2012～2013学年第二学期高二期中考试
数学试题答卷纸（理科）
（考试时间：90分钟 满分150分 命题人：张耀军）
选择题 （每小题5分， 共60 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题（每题 6分， 共 24 分）
13. 14.
15. 16.
三、解答题 （共66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分12分)
（1）计算（6分）
（2）已知复数z1满足(1+i)z1=－1+5i， z2=a－2－i， 其中i为虚数单位，a∈R，
若<|z1|，求a的取值范围.（6分）
18．(本小题满分12分)
在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。
（Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；
（Ⅱ ）设X是甲获奖的金额，求X的分布列。

19．(本小题满分12分)
已知数列{}满足+=2n+1
（1）求出，，的值；
（2）由（1）猜想出数列{}的通项公式；并用数学归纳法证明。
20．(本小题满分14分)
已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）若在区间上是单调递减函数，求实数的取值范围.
21. (本小题满分16分)
已知函数，且在处的切线方程为
（1）求的解析式；
（2）证明：当时，恒有
（3）证明：若且则
山西大学附中
2012～2013学年第二学期高二期中考试
数学试题参考答案（理科）
（考试时间：90分钟 满分150分 ）
一、选择题（每题5分）
1、D 2、B 3、A 4、 A 5、 B 6、C
7、 A 8 、A 9 、A 10、B 11、B 12、A
二、填空题（每题6分）
13、 3 14、 45
15、 2500 16、 ④⑤
三、解答题
17、（满分12分）
解：（1）

………………6分
（2）解：由题意得 z1==2+3i，
于是==，=.
<，
得a2－8a+7<0，118、（满分12分）
解：（Ⅰ）设“甲和乙都不获奖”为事件A , ………………………………1分
则P（A）=，
答：甲和乙都不获奖的概率为. ……………………………………5分
（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，400，600，1000，…………………………………6分
P(X=0)=, P(X=400)= , P(X=600)= ,
P(X=1000)= , …………………………………………10分
∴X的分布列为
X
0
400
600
1000
P
……12分
19、（满分12分）
解：（1）=，=，=…………… 3分
（2）猜想= （n）…………5分
证明：（1）当n=1时，显然成立
（2） 假设n=k（k）时成立，即=，……………7分
则当n=k+1时，由
得
化简得
即当n=k+1时亦成立
所以=即对成立。……………12分
20、（满分14分）
解（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）. ………………1分
当时， ……………………3分
当变化时，的变化情况如下：
-
0
+
极小值

21、（满分16分）
解（1）,切线斜率，
在处的切线方程为,即 (4分)
（2）令
当时，;时，
故即.（10分）
（3）先求在处的切线方程，由(1)知,