专题02：平行四边形的判定与性质综合
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】利用勾股定理逆定理证得△ABC是直角三角形，由此判断①；证明△ABC≌△DBF得到DF＝AE，同理可证：△ABC≌△EFC，得到EF＝AD，由此判断②；由②可判断③；过A作AG⊥DF于G，求出AG即可求出 S AEFD，判断④．
【详解】解：∵AB＝3，AC＝4，32+42＝52，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD＝BA，BF＝BC，
∴∠DBF＝∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE＝4，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB＝EF＝AD＝3，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③正确；
过A作AG⊥DF于G，如图所示：
则∠AGD＝90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，
∴AG＝AD＝，
∴S AEFD＝DF AG＝4×＝6；故④错误；
∴错误的个数是1个，
故选：A．
．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，直角三角形的30度角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
2．如图，正方形ABCD中，EF≠AB，点P、Q、R、S分别是AB，BC，CD，DA上的点，有以下四个命题：①若SQ∥EF，则SQ=EF；②若SQ=EF，则SQ∥EF；③PR⊥EF，则PR=EF；④PR=EF，则PR⊥EF．其中真命题有（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④
【答案】C
【解析】①是真命题，利用平行四边形的判定和性质证明即可．
②是假命题，画出图形举例说明即可．
③是真命题，构造全等三角形证明即可．
④是假命题，画出图形举例说明即可．
【详解】解：①若SQ∥EF，则SQ＝EF，是真命题．
理由：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴SE∥QF，
∵SQ∥EF，
∴四边形EFQS是平行四边形，
∴SQ＝EF．
②若SQ＝EF，则SQ∥EF，是假命题．
理由：如图1中，S′Q′＝EF，但是四边形EFQ′S′是等腰梯形，EF与S′Q′不平行．
③若PR⊥EF，则PR＝EF，是真命题．
理由：如图2中，过点R作RM⊥AB于M，过点E作EN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝CD，
∵RM⊥AB，
∴∠RMB＝90°，
∴四边形BCRM是矩形，
∴RM＝BC，
同法可证EN＝CD，
∴RM＝EN，
∵EF⊥PR，∠B＝90°，
∴∠RPM＋∠EFB＝180°，
∵∠EFB＋∠EFN＝180°，
∴∠RPM＝∠EFN，
在△RMP和△ENF中，
，
∴△RMP≌△ENF（AAS），
∴RP＝EF．
④若PR＝EF，则PR⊥EF，是假命题．
理由：如图2中，R′P′＝EF，显然R′P′与EF不垂直．
故选：C．
【点评】本题考查命题与定理，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确画出图形，利用平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质解决问题．
3．如图，在中，，，，点D，E分别是BC，AD的中点，交CE的延长线于点F，则四边形AFBD的面积为（ ）
A．24 B．20 C．12 D．16
【答案】C
【解析】根据中点的定义可得CE=EF，BD=CD，根据平行线的性质可得∠AFE=∠DCE，利用ASA可证明△AFE≌△DCE，可得AF=CD，即可得出AF=BD，可证明四边形AFBD是平行四边形，可得S△AFB=S△ADB，根据三角形中线的性质可得S△ADB=S△ADC，即可得出S平行四边形AFBD=S△ABC，利用三角形面积公式即可得答案．
【详解】∵点D，E分别是BC，AD的中点，
∴CE=EF，BD=CD，
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DCE，
在△AFE和△DCE中，，
∴△AFE≌△DCE，
∴AF=CD，
∴AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴S△AFB=S△ADB，
∵点D为BC中点，
∴S△ADB=S△ADC，
∴S△AFB=S△ADC，
∴S平行四边形AFBD=S△ABC，
∵，，，
∴S平行四边形AFBD=S△ABC=AB·AC=12，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及三角形中线的性质，掌握平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
4．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④S△ACD：S四边形BCDE＝1：7，其中，正确的是（ ）
A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②④
【答案】D
【解析】由平行四边形的判定定理判断②，再由平行四边形的性质和平行线的性质判断①，然后由三角形三边关系判断③，最后由等边三角形的性质分别求出△ACD、△ACB、△ABE的面积，计算即可判断④．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴CD∥AB，
∵F为AB的中点，
∴BF＝AB，
∴BF∥AB，CD＝BF，
∴四边形BCDF为平行四边形，故②正确；
∵四边形BCDF为平行四边形，
∴DF∥BC，
又∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥DF，故①正确；
∵DA＝CA，DF＝BC，AB＝BE，BC+AC＞AB，
∴DA+DF＞BE，故③错误；
设AC＝x，则AB＝2x，
，
，故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和等边三角形的性质，证明四边形BCDF为平行四边形是解题关键．
5．如图，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，FA⊥AC，垂足为A，AF＝DF＝5，AD＝6，则AC的长为（ ）
A．9.5 B．9.6 C．9.7 D．9.8
【答案】B
【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，BA＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA，证明AB∥DF，进而得到四边形AFDB为平行四边形，根据平行四边形的性质得到BD＝AF＝5，AB＝DF＝5，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：∵BD垂直平分AC，
∴DA＝DC，BA＝BC，
∴∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA，
∴∠DAC+∠BAC＝∠DCA+∠BCA，即∠DAB＝∠BCD，
∵∠BCD＝∠ADF，
∴∠DAB＝∠ADF，
∴AB∥DF，
∵FA⊥AC，DB⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形AFDB为平行四边形，
∴BD＝AF＝5，AB＝DF＝5，
设BE＝x，则DE＝5﹣x，
在Rt△AEB中，AB2﹣BE2＝AE2，
在Rt△AED中，AD2﹣DE2＝AE2，
∴AB2﹣BE2＝AD2﹣DE2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，
解得：，
∴AE＝＝，
∴AC＝2AE＝9.6，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
6．如图，将 DEBF的对角线EF向两端延长，分别至点A和点C，且使AE＝CF，连接AB，BC，AD，CD．求证：四边形ABCD为平行四边形．
以下是证明过程，其顺序已被打乱，
①∴四边形ABCD为平行四边形；
②∵四边形DEBF为平行四边形，∴OD=OB，OE=OF；
③连接BD，交AC于点O；
④又∵AE=CF，∴AE+OE=CF+OF，即OA=OC
正确的证明步骤是（ ）
A．①②③④ B．③④②① C．③②④① D．④③②①
【答案】C
【解析】连接BD，交AC于点O，由平行四边形DEBF的性质可得OD=OB，OE=OF，从而由已知可得OA=OC，即可得四边形ABCD为平行四边形．
【详解】连接BD，交AC于点O，如图
∵四边形DEBF为平行四边形
∴OD=OB，OE=OF
∵AE=CF
∴AE+OE=CF+OF
即OA=OC
∴四边形ABCD为平行四边形
故正确的证明步骤是：③②④①
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
7．如图，在四边形ABCD中，BC//AD，∠ADC＝90°，点E沿着A→B→C的路径以2 cm/s的速度匀速运动，到达点C停止运动，EF始终与直线AB保持垂直，与AD或DC交于点F，记线段EF的长度为y cm，y与时间t（s）的关系图如图所示，则图中a的值为（ ）
A．7.5 B．7.8 C．8 D．8.5
【答案】B
【解析】由图象可知，点E从点A运动到点B用了4 s，可得AB＝8 cm，此时BM＝EF＝6 cm，根据勾股定理可得AM＝10 cm；当t＝6时，EF＝6 cm，可得DN＝6 cm，根据三角形ABM的面积求得BG＝4.8 cm，即得CD＝4.8 cm，由勾股定理可得CN＝3.6 cm，进而得出a的值．
【详解】解：如图所示，作BM⊥AB，交AD于点M，作BG⊥AD，交AD于点G，作DN//BM，交BC于点N．
由题意可知，AB＝4×2＝8 cm，BM＝6 cm，
∴AM＝ cm，
∴ cm．
∵∠ADC＝90°，∠BGA＝90°，∴BG//CD．
∵BC//GD，∴四边形BCDG是平行四边形，∴DC＝BG＝4.8 cm．
同理可得，DN＝BM＝6 cm，
∴CN＝ cm，
∴a＝6+3.6÷2＝7.8．
故选：B．
【点评】本题考查动点-函数图象问题及平行你四边形的性质与判定．根据函数图象得出图形中的相关线段信息，建立图形与图象的联系是解题的关键．
8．如图，已知平行四边形ABCD中，3AB＝2BC，点O是∠BAD和∠CBA的角平分线的交点，过点O作EFAB，分别交AD、BC于E、F两点，连接OD、OC．则下列结论：①AO⊥BO；②点O是EF的中点；③DE＝2AE；④S△OCD＝4S△OAE，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】利用平行四边形的性质得到ADBC，ABCD，AB＝CD，AD＝BC，利用平行线的性质和角平分线的定义计算出∠OAB＋∠OBA＝90°，则∠AOB＝90°，于是可对①进行判断；利用平行线的性质证明∠EAO＝∠AOE，∠OBF＝∠BOF得到AE＝OE，BF＝OF，再证明四边形ABFE为平行四边形得到AE＝BF，所以OE＝OF，则可对②进行判断；设AB＝2x，BC＝3x，则EF＝2x，AD＝3x，EA＝OE＝x，DE＝2x，则可对③进行判断；利用三角形面积公式和平行四边形的面积公式得到S平行四边形ABFE＝S平行四边形FEDC，S△OAB＝S平行四边形ABFE，S△OCD＝S平行四边形FEDC，S△OAB＝S△OCD，S△AOE＝S△OAB，所以S△AOE＝S△OCD，从而可对④进行判断．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ADBC，ABCD，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵点O是∠BAD和∠CBA的角平分线的交点，
∴∠OAB＝∠BAD，∠OBA＝∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAD+∠ABC）＝×180°＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AO⊥BO，所以①正确；
∵EFAB，
∴∠OAE＝∠AOE，∠OBA＝∠BOF，
∴∠EAO＝∠AOE，∠OBF＝∠BOF，
∴AE＝OE，BF＝OF，
∵AEBF，ABEF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴AE＝BF，
∴OE＝OF，即O点为EF的中点，所以②正确；
∵3AB＝2BC，
∴设AB＝2x，BC＝3x，
∴EF＝2x，AD＝3x，
∴EA＝OE＝EF＝x，
∴DE＝AD﹣AE＝3x﹣x＝2x，
∴DE＝2AE，所以③正确；
而AB＝CD，
∴S平行四边形ABFE＝S平行四边形FEDC，
∵S△OAB＝S平行四边形ABFE，S△OCD＝S平行四边形FEDC，
∴S△OAB＝S△OCD，
∵OE＝OF，
∴S△AOE＝S△BOF，
∴S△AOE＝S△OAB，
∴S△AOE＝S△OCD，所以④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．也考查了等腰三角形的判定与性质．
9．如图，四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，线段EF与AC交于点O且互相平分，若AD＝BC＝10，EF＝AB＝6，则四边形EFCD的周长是（ ）
A．16 B．20 C．22 D．26
【答案】C
【解析】根据SAS得到△AOE≌△COF，进而可得∠EAO＝∠FCO，AE＝CF，进一步证得四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质求得四边形EFCD的周长．
【详解】解：∵线段EF与AC交于点O且互相平分，∴OA＝OC，OE＝OF．
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴∠EAO＝∠FCO，AE＝CF，
∴AD∥BC．
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，
∴四边形EFCD的周长＝CD+DE+EF+CF＝CD+AB+DE+AE＝CD+AB+AD＝6+6+10＝22．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．根据平行四边形的性质，结合转化的数学思想，将未知线段长整合成已知线段长是解题关键．
10．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，是边的中点，、为上的点，连接和，若，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接EO，EG，OF，由三角形中位线定理可得出EO∥BC，EO=BC=10，进而得到四边形EOFG是平行四边形，据此可得S阴影部分=S△AOE+S△EOP+S△FGP=S△AOE+S△EOB=S△ABO，求得△ABO的面积即可得出结论．
【详解】解：如图所示，连接EO，EG，OF，
∵平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，
∴O是AC的中点，
又∵E是AB边的中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴EO∥BC，EO=BC=10，
又∵GF=10，
∴EO=GF，
∴四边形EOFG是平行四边形，
∴S△EOP+S△FGP=S四边形EOFG=S△EOG，
又∵EO∥BG，
∴S△EOG=S△EOB，
∴S△EOP+S△FGP=S△EOB，
∴S阴影部分=S△AOE+S△EOP+S△FGP=S△AOE+S△EOB=S△ABO，
∵AC=AB=14，BC=20，
∴等腰△ABC中BC边上的高为，
∴S△ABC=×20×，
∵O是AC的中点，
∴S△ABO=S△ABC=×，
∴阴影部分的面积为，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线以及等腰三角形的性质的运用，解题时注意：平行四边形的两条对角线将平行四边形分成面积相等的四部分．
11．如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】根据平行四边形的性质和矩形的判定和性质以勾股定理即可求解．
【详解】解：①∵∠1+∠3＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形，故①正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵BC2+CD2＝AC2，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形，故②正确；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵∠1＝∠2，
∴OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故③正确；
④∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故④错误；
能判定四边形ABCD是矩形的个数有3个，
故选：C．
【点评】此题考查的是平行四边形的性质和矩形的判定和性质以勾股定理，掌握它们的性质和判定定理是解题的关键．
12．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DEBF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；②EMFN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】证DNA≌BMC（AAS），得出DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；证ADE≌CBF（ASA），得出AE＝FC，DE＝BF，故③正确；证四边形NEMF是平行四边形，得出EMFN，故②正确；证四边形DEBF是平行四边形，证出∠ODN＝∠ABD，则DE＝BE，得出四边形DEBF是菱形，故④正确，由此即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，ABCD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，ADBC，
∴∠DAN＝∠BCM，
∵BF⊥AC，DEBF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA＝∠BMC＝90°，
在DNA和BMC中，
，
∴DNA≌BMC（AAS），
∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；
在ADE和CBF中，
，
∴ADE≌CBF（ASA），
∴AE＝FC，DE＝BF，故③正确；
∴DE﹣DN＝BF﹣BM，
即NE＝MF，
又∵DEBF，
∴四边形NEMF是平行四边形，
∴EMFN，故②正确；
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴BE＝DF，
又∵BEDF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵AO＝AD，OD＝OA，
∴AO＝AD＝OD，
∴AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝∠DAN＝60°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN＝∠ODN＝30°，
∴∠ODN＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴平行四边形DEBF是菱形，故④正确；
∴正确结论的个数是4个，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题
13．在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC的长为_____．
【答案】10或14##14或10
【解析】利用BF平分∠ABC， CE平分∠BCD，以及平行关系，分别求出、，通过和是否相交，分两类情况讨论，最后通过边之间的关系，求出的长即可．
【详解】解： 四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，，
BF平分∠ABC， CE平分∠BCD，
，，
，，
由等角对等边可知：，，
情况1：当与相交时，如下图所示：
，
，
，
情况2：当与不相交时，如下图所示：
，
，
故答案为：10或14．
【点评】本题主要是考查了平行四边形的性质，熟练运用平行关系+角平分线证边相等，是解决本题的关键，还要注意根据和是否相交，本题分两类情况，如果没考虑仔细，会漏掉一种情况．
14．如图，菱形的边长为3，分别过点A、C作对角线的垂线，分别交和的延长线于点E、F，若，则四边形的周长为_______．
【答案】20
【解析】由菱形的性质得出AB=BC=3，AD∥BC，证明四边形AECF是平行四边形，得出CF=AE=4，AF=CE，再由角的互余关系求出∠BAE=∠E，得出BE=AB=3，求出CE，即可得出四边形AECF的周长．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=3，AD∥BC，
∴AF∥CE，
∵AE⊥AC，CF⊥AC，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴CF=AE=4，AF=CE，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵AE⊥AC，
∴∠EAC=90°，
∴∠BAC+∠BAE=90°，∠BCA+∠E=90°，
∴∠BAE=∠E，
∴BE=AB=3，
∴CE=3+3=6，
∴四边形AECF的周长=2（AE+CE）=2（4+6）=20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行四边形周长的计算；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
15．如图，点O是正方形的两条对角线的交点，过点O的直线与、交于点M、点N，，交于点E，若，，则的长为_______．
【答案】
【解析】如图，连接AC，过点A作AFMN，交BC于F，由正方形的性质可得AO＝CO，AB＝AD＝BC＝2，∠ABC＝∠BAD＝90°，ADBC，由“ASA”可证△AMO≌△CNO，可得AM＝CN＝，通过证明四边形AMNF是平行四边形，可得AM＝FN＝，由“AAS”可证△ADE≌△BAF，可得AE＝BF＝1，由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，连接，过点作，交于，
，，
，
点是正方形的中心，
，，，，
，
又，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
，
又，
，
又，，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
16．如图，在中，E，F是对角线上的两点且，在①；②；③；④四边形为平行四边形：⑤；⑥，这些结论中不正确的是________．（填序号）
【答案】③
【解析】根据平行四边形及平行线性质，得，通过证明，得；同理，通过证明，得，从而证明四边形为平行四边形；过点B作，交AC于点M；过点D作，交AC于点N，通过证明，得，从而得．
【详解】∵
∴，
∴，即
∵
∴
∴
∴，即①正确；
∵
∴，
∴，即
∴
∴
∴
∴四边形为平行四边形，即④正确；
∴，即②正确；
∵
∴
∴，即⑥正确；
如图，过点B作，交AC于点M；过点D作，交AC于点N，
∴
∴
∴
∴
∵，
∴，即⑤正确；
根据题意，无法证得
∴不成立
∵不成立，即③错误；
故答案为：③．
【点评】本题考查了平行四边形、平行线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、全等三角形的知识，从而完成求解．
17．如图，，其中，O为中点，过点O分别交、于点E、F，连接、，有以下四个结论：①四边形为平行四边形；②当时，四边形为矩形；③当时，四边形为菱形；④四边形不可能为正方形．其中错误的结论是___________．（填写序号）
【答案】②
【解析】先证明△BOF≌△COE，然后证明四边形BECF是平行四边形，由此再根据矩形，菱形和正方形的判定条件逐一判断即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，，，∠A=∠D，∠ACB=∠CBD，∠ABC=∠DCB=90°，
∵O为BC的中点，
∴BO=CO，
在△BOF和△COE中，
，
∴△BOF≌△COE（ASA），
∴OE=OF，
∴四边形BECF是平行四边形，故①正确；
若BE⊥AC，
∴，
解得，
∴，
∵BF=3.5，
∴，
∴BF=3.5时，四边形BECF不是矩形，故②错误；
∵BF=2.5，
∴CE=2.5，
∴AE=AC-CE=2.5，
∴E为AC的中点，
∴BE=CF，
∴四边形BECF是菱形，故③正确；
当BF=2.5时，四边形BECF是菱形，此时∠BEC≠90°，
∴四边形BECF不可能使正方形，故④正确；
故答案为：② ．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，直角三角形斜边的中线，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
18．如图，周长为的菱形中，点、分别在边、上，，，为上一动点，则线段长度的最小值为________．
【答案】
【解析】在DC上截取DG=DF=AD-AF=5-3=2，连接EG，则EG与BD的交点就是P，EG的长就是EP+FP的最小值，据此即可求解．
【详解】解：∵菱形的周长为，
∴AB=BC=CD=DA=，
在DC上截取DG=DF=AD-AF=5-3=2，连接EG，则EG与BD的交点就是P．
在△FDP和△GDP中，
，
∴△FDP≌△GDP(SAS)，
∴PF=PG，
∴PE+PF=PE+PG=EG，EG的长就是EP+FP的最小值，
∵AE=DG=2，且AE∥DG，
∴四边形ADGE是平行四边形，
∴EG=AD=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，理解菱形的对角线所在的直线是对称轴是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线上有P，Q两个动点，且，已知点，当周长最小时，点P的坐标为________．
【答案】
【解析】连接AP、AC交BD于点E，过A点作AD∥PQ，且AD=PQ，连接DQ、CD，则当点Q在线段CD上时CQ+CP最短，从而周长最小，则易得PA⊥OA，从而可求得点P的坐标．
【详解】解：连接AP、AC交BD于点E，过A点作AD∥PQ，且AD=PQ，连接DQ、CD，如图
∴四边形ADQP是平行四边形
∴DQ=AP，AD=PQ=2
由菱形的对称性知：AP=CP
∴DQ=CP
当点Q在线段CD上时，CQ+DQ= CQ+CP最短，从而周长=CQ+CP+2最小
∵四边形OABC是菱形
∴OC=OA=，CE=AE，AC⊥BD
∵∠AOC=60°
∴△OAC是等边三角形
∴
∵AD∥PQ
∴AC⊥AD
由勾股定理得
∴∠ACD=30°
∵AP∥CD
∴∠PAC=∠ACD=30°
∴∠PAO=∠CAO+∠PAC=90°
即PA⊥OA
∵∠AOE=30°
∴OP=2AP
在Rt△PAO中，由勾股定理得：
解得：AP=2
则点P的坐标为
故答案为：
【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，两点间线段最短等知识，解题的关键是掌握过A点作AD∥PQ，且AD=PQ．
20．如图，点D，E是ABC内的两点，且DEAB，连结AD，BE，CE．若AB＝9，DE＝2，BC＝10，∠ABC＝75°，则AD+BE+CE的最小值为___________．
【答案】
【解析】过点作交于，将绕点逆时针旋转，得到△，过作交延长线于，则，都是等边三角形，可判断四边形是平行四边形，由已知分别可求，，则，，所以，则，当、、、共线时，有最小值为的长，再由，，可得，，在中，，在△中，，则的最小值为．
【详解】解：过点作交于，将绕点逆时针旋转，得到△，过作交延长线于，
，都是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，，
，
，
当、、、共线时，有最小值为的长，
，，
，，
在中，，
在△中，，
的最小值为，
故答案为．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称的性质，通过构造平行四边形、旋转三角形，确定AD+BE+CE有最小值为CF'的长是解题的关键．
三、解答题
21．如图，用硬纸板剪一个平行四边形ABCD，找到对角线交点O，用大头针在点O处将一根平放在平行四边形上的细直木条固定，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，可随意停留在任意位置．
(1)木条把平行四边形ABCD分成了两部分，在拨动细木条的过程中，两部分的面积是否始终相等？答： （填“是”或“否”）；
(2)木条与 ABCD的边AD，BC相交于点E，F．
①请判断OE与OF是否始终相等，并说明理由；
②以A，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形吗？为什么？
【答案】(1)是
(2)①OE与OF始终相等；理由见解析；②四边形是AECF平行四边形；理由见解析
【解析】（1）设细木条与AB交于点G，与CD交于点H，根据平行四边形的性质，得出S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S△AOD，根据“ASA”证明△AOG≌△COH，△BOG≌△DOH，得出S△AOG+S△AOD+S△DOH＝S△COH+S△BOC+S△BOG，即可证明结论；
（2）①根据“ASA”结合平行四边形的性质证明△AOE≌△COF，即可证明结论；
②根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，即可证明结论．
(1)
两部分的面积相等，理由如下：
设细木条与AB交于点G，与CD交于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，
∴∠OAG＝∠OCH，S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S△AOD，
∵在△AOG和△COH中，
∴△AOG≌△COH（ASA），
同理：△BOG≌△DOH（ASA），
∴S△AOG+S△AOD+S△DOH＝S△COH+S△BOC+S△BOG，
即四边形AGHD的面积＝△BGHC的面积，
∴在拨动细木条的过程中，两部分的面积是始终相等，
故答案为：是．
(2)
①OE与OF始终相等，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC．
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF；
②四边形是AECF平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
由①可得：OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键．
22．如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE、CE，F是BE的中点，连接FD交CF于点G．FG与DG是否相等，说明理由．
【答案】，理由见解析
【解析】取CE的中点H，连接FH，DH，利用三角形中位线的性质得出，，进而得到，，从而证出是平行四边形， 利用平行四边形对角线互相平分的性质得到．
【详解】解：，理由如下：
如图所示，
取CE的中点H，连接FH，DH，
是BE的中点， H是CE的中点，
是的中位线，
，，
是平行四边形，
，，
E是AD的中点，
，
，，
，，
是平行四边形，
．
【点评】本题考查三角形中位线的性质、平行四边形的判定及性质，解题的关键是添加辅助线构造的中位线．
23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是BO，DO的中点，G，H分别是AD，BC的中点，顺次连接G，E，H，F．
(1)求证：四边形EHFG是平行四边形；
(2)若，求证：四边形EHFC是矩形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
【解析】（1）利用三角形中位线定理证明，，同理再证明，，即可证明四边形EHFG是平行四边形；
（2）连接GH，根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，证明即可．
(1)
证明：∵G，F分别为AD，DO的中点，
∴GF为的中位线，
∴，，
同理可得：，，
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，
∴OA＝OC，
∴，，
∴四边形GEHF是平行四边形；
(2)
证明：连接GH
∵四边形ABCD是平行四边形，且G，H分别是AD，BC的中点，
∴，，
∴四边形ABHG是平行四边形，
∴，
∵E，F分别是BO，DO的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形GEHF是矩形．
【点评】本题考查平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，矩形的判定定理，熟练掌握三角形中位线定理是证明四边形EHFG是平行四边形的关键；利用平行四边形的性质证明对角线是证明平行四边形GEHF是矩形的关键．
24．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，5），B（2，2），C（5，2）．
(1)将△ABC绕点（0，1）顺时针旋转180°，请画出旋转后的△A1B1C1；
(2)将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A对应点A2坐标为（1，-2），请画出平移后的△A2B2C2，若△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P2的坐标是 ______；
(3)将△A1B1C1绕某一点M旋转可得到△A2B2C2，请画出点M的位置（保留痕迹），并直接写出点M的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)画图见解析，（a-3，b-7）
(3)M（-，-）．
【解析】（1）根据旋转的性质即可将△ABC绕点（0，1）顺时针旋转180°，画出旋转后的△A1B1C1；
（2）根据平移性质即可将△ABC平移后得到△A2B2C2，根据点A对应点A2坐标为（1，-2），即可画出平移后的△A2B2C2，根据平移性质即可得点P的对应点P2的坐标；
（3）根据旋转的性质即可得点M，即可画出点M的位置，进而写出点M的坐标．
(1)
解：如图，△A1B1C1即为所求；
(2)
如图，△A2B2C2即为所求；P2（a-3，b-7）；
故答案为：（a-3，b-7）；
(3)
如图，点M即为所求；
根据旋转的性质知：AB∥A1B1，且AB=A1B1，
根据平移的性质知：AB∥A2B2，且AB=A2B2，
∴A1B1∥A2B2，且A1B1=A2B2，
∴四边形A1B1A2B2是平行四边形，
∴点M是A1A2的中点，
∵A1坐标为（-4，-3），A2坐标为（1，-2），
∴M（-，-）．
【点评】本题主要考查了作图-旋转变换，作图-平移变换，解决本题的关键是作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．也考查了平行四边形的判定和性质．
25．如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC边上的点，且AE＝CF，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
【答案】证明见解析．
【解析】由平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，由已知得到ED＝BF，根据平行四边形的判定即可得到结论．
【详解】证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴ED∥BF，
又∵AE＝CF，
且ED＝AD－AE，BF＝BC－CF，
∴ED＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，灵活运用平行四边形的性质是本题的关键．
26．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且，求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】证明见解析．
【解析】利用平行四边形的性质得到，，，，证明，得到，再证明，得到，即可证明四边形AECF是平行四边形．
【详解】证明：∵ABCD为平行四边形，
∴，，，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
同理：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定和性质.解题的关键是证明，．
27．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点、过点D作，交直线于E，垂足为F，连接、．
(1)求证：；
(2)当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为中点，则当______时，四边形是正方形（直接写出答案）．
【答案】(1)见解析
(2)四边形是菱形，理由见解析
(3)
【解析】（1）证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质推出即可；
（2）证明四边形是平行四边形，然后说明，最后利用菱形的判定说明即可；
（3）当，四边形是正方形．
(1)
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∴；
(2)
解：四边形是菱形，
理由是：∵D为中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，D为中点，
∴，
∴四边形是菱形；
(3)
当时，四边形是正方形，
理由是：∵，，
∴，
∴，
∵D为中点，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴菱形是正方形，
故答案为：
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定、正方形的判定、直角三角形斜边上的中线的性质．熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
28．如图，在直角梯形中，，，，，，动点P从点A开始沿AD边向点D以速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．求：
(1)t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
(2)t为何值时，四边形ABQP为矩形？
(3)是否存在，使梯形ABQP的面积为？若存在请求出，若不存在请说明理由．
【答案】(1)6
(2)
(3)不存在，理由见解析
【解析】（1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形列出方程，解方程得到答案；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答即可；
（3）用时间t表示出梯形ABQP的面积，列方程计算即可．
(1)
解：由题意得：AP=t cm，CQ=3t cm，
则PD=（24-t）cm，
∵PD∥CQ，
∴PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
此时，24-t=3t，
解得：t=6，
∴t=6时，四边形PQCD为平行四边形；
(2)
由题意得：AP=t，BQ=26-3t，
∵AP∥BQ，∠B=90°，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP为矩形，
∴t=26-3t，
解得：t=，
∴当t=时，四边形ABQP为矩形．
(3)
∵由题意得：AP=t，BQ=26-3t，
，
解得，
此时BQ=26-3t=-4，
∴不存在，使梯形的面积为．
【点评】本题考查的是梯形的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．专题02：平行四边形的判定与性质综合
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，正方形ABCD中，EF≠AB，点P、Q、R、S分别是AB，BC，CD，DA上的点，有以下四个命题：①若SQ∥EF，则SQ=EF；②若SQ=EF，则SQ∥EF；③PR⊥EF，则PR=EF；④PR=EF，则PR⊥EF．其中真命题有（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④
3．如图，在中，，，，点D，E分别是BC，AD的中点，交CE的延长线于点F，则四边形AFBD的面积为（ ）
A．24 B．20 C．12 D．16
4．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④S△ACD：S四边形BCDE＝1：7，其中，正确的是（ ）
A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②④
5．如图，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，FA⊥AC，垂足为A，AF＝DF＝5，AD＝6，则AC的长为（ ）
A．9.5 B．9.6 C．9.7 D．9.8
6．如图，将 DEBF的对角线EF向两端延长，分别至点A和点C，且使AE＝CF，连接AB，BC，AD，CD．求证：四边形ABCD为平行四边形．
以下是证明过程，其顺序已被打乱，
①∴四边形ABCD为平行四边形；
②∵四边形DEBF为平行四边形，∴OD=OB，OE=OF；
③连接BD，交AC于点O；
④又∵AE=CF，∴AE+OE=CF+OF，即OA=OC
正确的证明步骤是（ ）
A．①②③④ B．③④②① C．③②④① D．④③②①
7．如图，在四边形ABCD中，BC//AD，∠ADC＝90°，点E沿着A→B→C的路径以2 cm/s的速度匀速运动，到达点C停止运动，EF始终与直线AB保持垂直，与AD或DC交于点F，记线段EF的长度为y cm，y与时间t（s）的关系图如图所示，则图中a的值为（ ）
A．7.5 B．7.8 C．8 D．8.5
8．如图，已知平行四边形ABCD中，3AB＝2BC，点O是∠BAD和∠CBA的角平分线的交点，过点O作EFAB，分别交AD、BC于E、F两点，连接OD、OC．则下列结论：①AO⊥BO；②点O是EF的中点；③DE＝2AE；④S△OCD＝4S△OAE，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，线段EF与AC交于点O且互相平分，若AD＝BC＝10，EF＝AB＝6，则四边形EFCD的周长是（ ）
A．16 B．20 C．22 D．26
10．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，是边的中点，、为上的点，连接和，若，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DEBF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；②EMFN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC的长为_____．
14．如图，菱形的边长为3，分别过点A、C作对角线的垂线，分别交和的延长线于点E、F，若，则四边形的周长为_______．
15．如图，点O是正方形的两条对角线的交点，过点O的直线与、交于点M、点N，，交于点E，若，，则的长为_______．
16．如图，在中，E，F是对角线上的两点且，在①；②；③；④四边形为平行四边形：⑤；⑥，这些结论中不正确的是________．（填序号）
17．如图，，其中，O为中点，过点O分别交、于点E、F，连接、，有以下四个结论：①四边形为平行四边形；②当时，四边形为矩形；③当时，四边形为菱形；④四边形不可能为正方形．其中错误的结论是___________．（填写序号）
18．如图，周长为的菱形中，点、分别在边、上，，，为上一动点，则线段长度的最小值为________．
19．如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线上有P，Q两个动点，且，已知点，当周长最小时，点P的坐标为________．
20．如图，点D，E是ABC内的两点，且DEAB，连结AD，BE，CE．若AB＝9，DE＝2，BC＝10，∠ABC＝75°，则AD+BE+CE的最小值为___________．
三、解答题
21．如图，用硬纸板剪一个平行四边形ABCD，找到对角线交点O，用大头针在点O处将一根平放在平行四边形上的细直木条固定，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，可随意停留在任意位置．
(1)木条把平行四边形ABCD分成了两部分，在拨动细木条的过程中，两部分的面积是否始终相等？答： （填“是”或“否”）；
(2)木条与 ABCD的边AD，BC相交于点E，F．
①请判断OE与OF是否始终相等，并说明理由；
②以A，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形吗？为什么？
22．如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE、CE，F是BE的中点，连接FD交CF于点G．FG与DG是否相等，说明理由．
23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是BO，DO的中点，G，H分别是AD，BC的中点，顺次连接G，E，H，F．
(1)求证：四边形EHFG是平行四边形；
(2)若，求证：四边形EHFC是矩形．
24．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，5），B（2，2），C（5，2）．
(1)将△ABC绕点（0，1）顺时针旋转180°，请画出旋转后的△A1B1C1；
(2)将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A对应点A2坐标为（1，-2），请画出平移后的△A2B2C2，若△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P2的坐标是 ______；
(3)将△A1B1C1绕某一点M旋转可得到△A2B2C2，请画出点M的位置（保留痕迹），并直接写出点M的坐标．
25．如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC边上的点，且AE＝CF，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
26．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且，求证：四边形AECF是平行四边形．
27．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点、过点D作，交直线于E，垂足为F，连接、．
(1)求证：；
(2)当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为中点，则当______时，四边形是正方形（直接写出答案）．
28．如图，在直角梯形中，，，，，，动点P从点A开始沿AD边向点D以速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．求：
(1)t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
(2)t为何值时，四边形ABQP为矩形？
(3)是否存在，使梯形ABQP的面积为？若存在请求出，若不存在请说明理由．
