6.3.1平面向量基本定理 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
6.3.1平面向量基本定理
复习引入
向量 ( ≠0)与 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 =λ .
向量共线定理
（2）方向：当λ>0时，λ 的方向与 方向相同；
当λ<0时，λ 的方向与 方向相反；
（1）长度： |λ |=|λ|·| |
特别地，当λ=0或 = 时，λ = ．
一天，2只住在正西方向的大猴子和4只住在北偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子，他们分别朝着自己住的方向拉，已知每只大猴子的拉力是100牛顿，每只小猴子的拉力是50牛顿.
问题:你认为这筐桃子往哪边运动
创设情境
F1
F2
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力。如图所示，我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力F分解为多组大小、方向不同的分力。
探究新知
由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量 分解为两个向量，使向量 是这两个向量的和呢？
O
C
A
B
M
N
在平面内任取一点O，作
将 按 的方向分解，你有什么发现？
设 是同一平面内的两个不共线的向量， 是这一平面内与 都不共线的向量.
探究新知
思考 ：若向量a与e1或e2共线，a还能用λ1e1＋λ2e2表示吗？
e1
a
e2
a
a=λ1e1+0e2
a=0e1+λ2e2
e2
e1
探究新知
e1
e2
a
N
M
e1
e2
o
a
C
a
思考:平面内,不共线向量 确定了，表示 的实数
对 是否唯一？
OC=OM+ON
= e1+ e2
平行四边形做法唯一，所以实数对 存在唯一
探究新知
e1
e2
概念提升
(2)基底： 的向量 ， 叫做这一平面内所有向量的 .
(1)定理：如果 ， 是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.
一个基底
不共线
任一
不共线
有且只有一对
平面向量基本定理
→
→
→
→
有无数对
思考：一组平面向量的基底有多少对？
E
F
F
A
N
B
a
M
O
C
N
M
M
O
C
N
a
E
概念辨析
1. 基底不唯一，关键是不共线.
3. 基底给定时，分解形式唯一.
注意
λ1=μ1
λ2=μ2
由平面向量基本定理的唯一性决定的
作用：用不同的方法表示同一个向量，然后由对应系数相等列方程，解出系数.（注意使用向量共线定理）
若a=λ1e1+λ2e2且a=μ1e1+μ2e2，则有
→
→
→
→
→
→
2. 由定理可将任一向量a在给出基底 e1,e2的条件下进行分解.
→
→
→
设e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，对于平面内任一向量a，
→
→
→
例1
已知：OA,OB不共线,AP=tAB,（t∈R），
用OA,OB表示OP。
B
O
A
P
解：∵AP = t AB
∴OP = OA + AP
= OA + t AB
= OA + t（OB – OA）
= OA + tOB – tOA
=（1 - t）OA + tOB
典例分析
思考：观察 ，你有什么发现？
结论：若 三点共线,点 是平面内任意一点，若
，则 。
典例分析
例2 CD是△ABC的中线，CD= AB，用向量的方法证明△ABC是直角三角形.
B
C
A
D
→
设 ， ，则 ，
→
→
→
→
→
→
证明:
所以CD= DA.
因为a2=CD2，b2=DA2，
于是 ，
因为CD= AB，
所以
因此CA⊥ CB.
于是△ABC是直角三角形.
→
→
→
→
→
→
→
→
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^
^
^
思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底. (　　)
(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1+λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量. (　　)
(3)若ae1+be2=ce1+de2(a，b，c，d∈R)，则a=c，b=d. (　　)
(4)基底向量可以是零向量. (　　)
牛刀小试
×
√
×
×
→
→
→
→
→
→
→
→
巩固练习
P27练习 1、2、3
作业
P36习题6.3 1
课堂小结
(2)基底： 的向量 ， 叫做这一平面内所有向量的 .
(1)定理：如果 ， 是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.
一个基底
不共线
任一
不共线
有且只有一对
平面向量基本定理
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