第2课时 空间中直线、平面的平行
学习目标 熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．
知识点一 线线平行的向量表示
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则
l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2.
知识点二 线面平行的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则
l∥α u⊥n u·n＝0.
知识点三 面面平行的向量表示
设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则
α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2 .
思考 怎么利用向量证明或判定直线和平面的位置关系？
答案 证明或判定直线和平面的位置关系有两类思路
(1)转化为线线关系，然后利用两个向量的关系进行判定；(2)利用直线的方向向量和平面的法向量进行判定．
1．已知直线l的方向向量为a＝(－1,2,0)，平面α的法向量为n＝(2,1，－1)，则( )
A．l⊥α B．l∥α
C．l α D．l∥α或l α
答案 D
2．若平面α∥β，且平面α的一个法向量为n＝，则平面β的法向量可以是( )
A. B．(2，－1,0)
C．(1,2,0) D.
答案 A
3．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－4，－8,4)，则平面α，β的位置是________．
答案 α∥β
解析 ∵u＝－v，∴α∥β.
一、证明线线平行
例1 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS.
证明 方法一 如图所示，建立空间直角坐标系，
根据题意得M，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S.
则，分别为MN，RS的方向向量，
所以＝，＝，
所以＝，所以∥，因为M RS，
所以MN∥RS.
方法二 设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＋＝c－a＋b，
＝＋＋＝b－a＋c.
所以＝，所以∥.
又R MN，所以MN∥RS.
反思感悟 利用向量证明线线平行的思路
证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．
跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．
证明 以点D为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，F，
∴＝，＝，＝，＝，
∴＝，＝，
∴∥，∥，
又∵F AE，F EC1，
∴AE∥FC1，EC1∥AF，
∴四边形AEC1F是平行四边形．
二、证明线面平行
例2 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.
证明 如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a.
连接AC，交BD于点G，连接EG，
依题意得D(0,0,0)，A(a，0,0)，P(0,0，a)，E.
方法一 设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，
又＝，
＝，
则有
即
即
令z＝1，则所以n＝(1，－1,1)，
又＝(a，0，－a)，
所以n·＝(1，－1,1)·(a，0，－a)＝a－a＝0.
所以n⊥.
又PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB.
方法二 因为四边形ABCD是正方形，
所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，所以＝.
又＝(a，0，－a)，
所以＝2，这表明PA∥EG.
而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
方法三 假设存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
即(a，0，－a)＝λ＋μ，
则有
解得
所以＝－＋，又PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
反思感悟 证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；
(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；
(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．
跟踪训练2 在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.
证明 ∵EF⊥平面AEB，AE 平面AEB，BE 平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE.
又∵AE⊥EB，
∴EB，EF，EA两两垂直．
以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)，
∴＝(0,2,2)，＝(2,2,0)，＝(2,0，－2)．
设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1,1，－1)，
∴·n＝－2＋0＋2＝0，即⊥n.
∵AB 平面DEG，
∴AB∥平面DEG.
三、证明面面平行
例3 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，
求证：平面ADE∥平面B1C1F.
证明 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
则n1⊥，n1⊥，
即得
令z1＝2，则y1＝－1，所以可取n1＝(0，－1,2)．
同理，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．
由n2⊥，n2⊥，
得
解得
令z2＝2，得y2＝－1，
所以n2＝(0，－1,2)．
因为n1＝n2，即n1∥n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
反思感悟 证明面面平行问题的方法
(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．
(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．
跟踪训练3 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点．
试用向量的方法证明：平面AA1D1D∥平面FCC1.
证明 因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点，
所以BF＝BC＝CF，所以△BCF为正三角形．
因为ABCD为等腰梯形，AB＝4，BC＝CD＝2，所以∠BAD＝∠ABC＝60°.
取AF的中点M，连接DM，
则DM⊥AB，所以DM⊥CD.
以D为原点，DM为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(，－1,0)，F(，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，
所以＝(0,0,2)，＝(，－1,0)，＝(，－1,0)，＝(0,0,2)，
所以∥，∥，
所以DD1∥CC1，DA∥CF，
又DD1∩DA＝D，CC1∩CF＝C，DD1，DA 平面AA1D1D，CC1，CF 平面FCC1，
所以平面AA1D1D∥平面FCC1.
面面平行之探究
典例 如图所示，在正方体AC1中，O为底面ABCD中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO.
解 如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.
设正方体的棱长为1，
则O，P，
A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
则Q(0,1，z)，
则＝，＝(－1，－1,1)，
∵＝2，∴∥，∴OP∥BD1.
＝，＝(－1,0，z)，
当z＝时，＝，
即AP∥BQ，又AP∩OP＝P，BQ∩BD1＝B，
AP，OP 平面PAO，BQ，BD1 平面D1BQ，
则有平面PAO∥平面D1BQ，
∴当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
[素养提升] (1)求点的坐标：可设出对应点的坐标，根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线，进而建立与所求点的坐标有关的等式．
(2)由结论推应具备的条件的逆向推理是逻辑推理中的一种基本形式，通过应用推理的方式与方法，能较好的培养学生的合乎逻辑的思维品质．
1．已知向量 a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y) 分别是直线 l1，l2 的方向向量，若 l1∥l2 ，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
答案 D
解析 由题意得，＝＝，∴x＝6，y＝ .
2．如果直线l的方向向量是a＝(－2,0,1)，且直线l上有一点P不在平面α上，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，那么( )
A．l⊥α B．l∥α
C．l α D．l与α斜交
答案 B
解析 ∵直线l的方向向量是a＝(－2,0,1)，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，
∴a·b＝－4＋0＋4＝0，
∴直线l在平面α内或者与平面平行，
又直线l上有一点P不在平面α上，
∴l∥α.
3．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是( )
A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)
B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
答案 D
解析 若l∥α，则a·n＝0.
而A中a·n＝－2，
B中a·n＝1＋5＝6，
C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.
4．设平面α，β的一个法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6,6)，则α，β的位置关系为____________．
答案 平行
解析 ∵v＝－3(1,2，－2)＝－3u，∴α∥β.
5．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m，1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)则实数m的值是________．
答案 －3
解析 ∵l∥平面ABC，
∴存在实数x，y，使a＝x＋y，＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，
∴(2，m，1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1)＝(x，y，－x－y)，
∴∴m＝－3.
1．知识清单：
(1)线线平行的向量表示．
(2)线面平行的向量表示．
(3)面面平行的向量表示．
2．方法归纳：坐标法、转化化归．
3．常见误区：通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略条件直线不在平面内．
1．与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( )
A. B．(－1，－3,2)
C. D．(，－3，－2)
答案 C
解析 a＝(1，－3,2)＝－2.
2．若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
答案 D
解析 因为n＝－3m，所以m∥n，所以α∥β或α与β重合．
3．已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是( )
A．l⊥α B．l∥α
C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l α
答案 D
解析 因为a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u.所以l∥α或l α.
4．(多选)若直线l的一个方向向量为d＝(6,2,3)，平面α的一个法向量为n＝(－1,3,0)，则直线l与平面α的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．直线l在平面α内 D．不能确定
答案 BC
解析 ∵d·n＝－6＋2×3＋0＝0，∴d⊥n，∴直线l与平面α的位置关系是直线l在平面α内或平行．
5．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( )
A．－ B．6 C．－6 D.
答案 B
解析 ∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行．
∴＝＝，∴λ＝6.
6．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则β与α的位置关系是________．
答案 α∥β
解析 ＝(0,1，－1)，＝(1,0，－1)，
n·＝(－1，－1，－1)·(0,1，－1)
＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，
n·＝(－1，－1，－1)·(1,0，－1)
＝－1×1＋0＋(－1)·(－1)＝0，
∴n⊥，n⊥.
∴n也为α的一个法向量，又 α与β不重合，
∴α∥β.
7．若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1,2,1)，c＝均与平面α平行，则向量a＝________.
答案
解析 由题意，知
即解得
所以a＝.
8．已知α，β为两个不重合的平面，设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(－2,4，－8)垂直，则平面α与β的位置关系是________．
答案 平行
解析 由题意得a，b分别为α，β的一个法向量，又a∥b，∴α∥β.
9．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点．求证：C1F∥平面ABE.
证明 如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设BC＝a，AB＝b，BB1＝c，
则B(0,0,0)，A(0，b，0)，C1(a，0，c)，F，E.
所以＝(0，－b，0)，＝.
设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
令x＝2，则y＝0，z＝－，即n＝.
又＝，所以 n·＝0，
又C1F 平面ABE，
所以C1F∥平面ABE.
10．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是A1C1，A1D和B1A上任意一点．求证：平面A1EF∥平面B1MC.
证明 如图，建立空间直角坐标系Dxyz，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，C(0,1,0)，
则 ＝(－1,1,0), ＝(－1,0，－1), ＝(1,0,1), ＝(0，－1，－1)，
设＝λ，＝μ,＝v(λ，μ，v∈R，且均不为0)．
设n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量，
可得
可得即
所以可取n1＝(1,1, －1)．
由
可得
即
可取n2＝(1,1，－1)，所以n1＝n2，所以n1∥n2，
所以平面A1EF∥平面B1MC.
11.如图，在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是( )
A．异面直线
B．平行直线
C．垂直不相交
D．垂直且相交
答案 B
解析 设正方体的棱长为1，取D点为坐标原点建系后，＝(1,0,1), ＝(－1,1,0)，
设＝(a，b，c)，
则
取＝(1,1，－1)，
∵＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)＝－ ，
∴∥ ，
∴PQ∥BD1.
12.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为( )
A．(1,1,1) B.
C. D.
答案 C
解析 方法一 以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示．
则C(0,0,0)，D(，0,0)，B(0，，0)，E(0,0,1)，A(，，0)，
＝(－，0,1)，＝(，－，0)，
设M(a，a，1)，平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝，则x＝1，y＝1，所以n＝(1,1，)，
又＝(a－，a－，1)，
∴·n＝a－＋a－＋＝0，
∴a＝，即M.
方法二 设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM 平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，
所以AM∥EO，
又O是正方形ABCD对角线交点，
所以M为线段EF的中点．
在空间直角坐标系中，E(0,0,1)，F(，，1)．
由中点坐标公式，知点M的坐标为.
13．(多选)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论中正确的是( )
A．A1M∥D1P
B. A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1
D．A1M∥平面D1PQB1
答案 ACD
解析 因为＝＋＝＋ ，
＝＋＝＋ ，
所以∥，从而A1M∥D1P，可得ACD正确．
又B1Q与D1P不平行，故B不正确．
14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．
答案 平行
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)，
∴M(2,1,1)，N(1,1,2)，
∴＝(－1,0,1)．
又平面BB1C1C的一个法向量为
n＝(0,1,0)，
∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，
∴⊥n，
∴MN∥平面BB1C1C.
15．直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则实数x的值为( )
A．－2 B．－ C. D．±
答案 D
解析 ∵直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，直线l∥平面α，∴x2－2＝0，解得x＝±.
16.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．
解 分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．
则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0), 设E(0，y，z)，则
＝(0，y，z－1)，
＝(0,2，－1)，
∵∥，
∴＝，①
∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，
＝(－1，y－1，z)，
∴由CE∥平面PAB， 可得⊥，
∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0，
∴y＝1，代入①式得z＝.
∴E是PD的中点，
即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB.第3课时 空间中直线、平面的垂直
学习目标 熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系．
知识点一 线线垂直的向量表示
设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则
l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0.
知识点二 线面垂直的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l α，则l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn.
知识点三 面面垂直的向量表示
设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则
α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0.
1．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l α D．l与α斜交
答案 B
解析 ∵n＝－2a，∴a∥n，即l⊥α.
2．已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a＝(3λ＋1,0,2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若l1⊥l2，则λ的值为( )
A．1或－ B．1或
C．－1或 D．－1或－
答案 D
解析 由题意知，a⊥b，
∴3λ＋1＋2λ2＝0，
∴λ＝－1或－.
3．(多选)下列命题中，正确的命题为( )
A．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2 α∥β
B．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β n1·n2＝0
C．若n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面α垂直，则n∥a
D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直
答案 BCD
解析 A中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知BCD正确．
4．平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1,0,5)，v＝(t，5,1)，则t的值为________．
答案 5
解析 ∵平面α与平面β垂直，
∴平面α的法向量u与平面β的法向量v垂直，
∴u·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，
解得t＝5.
一、证明线线垂直问题
例1 如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC.
证明 由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，
在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
易得B(0,0,0)，A(0，－1，)，D(，－1,0)，C(0,2,0)，
因而E，F，
所以＝，＝(0,2,0)，
因此·＝0.从而⊥，所以EF⊥BC.
反思感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．
跟踪训练1 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.
证明 设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
由已知得A，B，C，
N，B1，
∵M为BC的中点，
∴M.
∴＝，＝(1,0,1)，
∴·＝－＋0＋＝0.
∴⊥，∴AB1⊥MN.
二、证明线面垂直问题
例2 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC， E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：PB⊥平面EFD.
证明 由题意得，DA，DC，DP两两垂直，
所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，
设DC＝PD＝1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E.
所以＝(1,1，－1)，＝，＝，设F(x，y，z)，
则＝(x，y，z－1)，＝.
因为⊥，所以x＋－＝0，
即x＋y －z＝0.①
又因为∥，可设＝λ(0≤λ≤1)，
所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②
由①②可知，x＝，y＝，z＝，
所以＝.
方法一 因为·＝(1,1，－1) ·＝0＋－＝0，
所以⊥ ，所以PB⊥DE，
因为PB⊥EF，又EF∩DE＝E，EF，DE 平面EFD.
所以PB⊥平面EFD.
方法二 设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的法向量，
则有
即
所以取z2＝1，则n2＝(－1，－1,1)．
所以∥n2，所以PB⊥平面EFD.
反思感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
(1)利用线线垂直
①将直线的方向向量用坐标表示．
②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量．
③ 判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直．
(2)利用平面的法向量
①将直线的方向向量用坐标表示．
②求出平面的法向量．
③判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.
证明 设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．
∴＝(1,1,2)－(2,2,1)
＝(－1，－1,1)．
＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，
＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．
设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝1得n＝(1,1，－1)，
又＝－n，
∴EF∥n，
∴EF⊥平面B1AC.
三、证明面面垂直问题
例3 在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.
证明 设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，E.
方法一 连接AC，交BD于点O，连接OE，
则点O的坐标为.
易知＝(0,0,1)，＝，
所以＝，
所以OE∥AS.
又AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.
又OE 平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.
方法二 设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)．
易知＝(－1,1,0)，＝，
所以
即
令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1,1,0)．
因为AS⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0,0,1)．
因为n1·n2＝0，所以平面BDE⊥平面ABCD.
反思感悟 证明面面垂直的两种方法
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．
(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．
跟踪训练3 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．
求证：平面AED⊥平面A1FD1；
证明 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2，0,2)，D1(0,0,2)，
∴＝＝(2,0,0)，＝(2,2,1)，＝(0,1，－2)．
设平面AED的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．
由
得令y1＝1，得n1＝(0,1，－2)．
同理，平面A1FD1的一个法向量为n2＝(0,2,1)．
∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥n2，
∴平面AED⊥平面A1FD1.
1．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
答案 B
解析 a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.
2．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于( )
A．4 B．－4 C．5 D．－5
答案 D
解析 ∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.
∴k＝－5.
3．如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E是棱AB的中点，点F(0，y，z)是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F(0，y，z)满足方程( )
A．y－z＝0
B．2y－z－1＝0
C．2y－z－2＝0
D．z－1＝0
答案 D
解析 E(1,0,0)，B1(2,0,2)，C(2,2,0)，
所以＝(－1,0，－2)，＝(－2，y－2，z)，
因为CF⊥B1E，所以·＝0，
即2－2z＝0，即z＝1.
4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系是________．
答案 PM⊥AM
解析 以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
依题意可得，D(0,0,0)，P(0,1，)，A(2，0,0)，M(，2,0)，
所以＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，
所以·＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，
所以PM⊥AM.
5．在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，则直线SC与BC是否垂直________．(填“是”“否”)
答案 是
解析 如图，以A为坐标原点，平行于BC的直线为x轴，AC，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，
则由AC＝2，BC＝，SB＝，
得B(－，2,0)，S(0,0，2)，C(0,2,0)，
＝(0,2，－2)，
＝(－，0,0)．
因为·＝0，所以SC⊥BC.
1．知识清单：
(1)线线垂直．
(2)线面垂直．
(3)面面垂直．
2．方法归纳：转化法、法向量法．
3．常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混．
1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于( )
A．－2 B．2
C．10 D．6
答案 C
解析 因为a⊥b，所以a·b＝0，
即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，
解得m＝10.
2．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，且α⊥β，则x的值为( )
A．10 B．－10
C. D．－
答案 B
解析 因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，
所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，
解得x＝－10.
3．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为( )
A．(1,0，－2) B．(1,0,2)
C．(－1,0,2) D．(2,0，－1)
答案 C
解析 由题意知＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，所以有·＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0.①
·＝(2,0,1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0，②
联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1,0,2)．
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．BD B．AC
C．A1D D．A1A
答案 A
解析 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1.
则C(0,1,0)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，C1(0,1，1)，A1(1,0,1)，E，
∴＝，＝(－1,1,0)，
＝(－1，－1,0)，＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)，
∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，
∴CE⊥BD.
5．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM( )
A．和AC垂直
B．和AA1垂直
C．和MN垂直
D．与AC，MN都不垂直
答案 AC
解析 以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为2a，
则D(0,0，0)，D1(0,0,2a)，M(0,0，a)，A(2a，0,0)，C(0,2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a)．
∴＝(－a，－a，a)，＝(0，a，a)，＝(－2a，2a，0)．
∴·＝0，·＝0，
∴OM⊥AC，OM⊥MN.OM和AA1显然不垂直，
故选AC.
6．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________.
答案 －9
解析 由题意得u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0，
∴z＝－9.
7．在空间直角坐标系中，已知直角三角形ABC的三个顶点为A(－3，－2,1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x，0)，则x的值为________．
答案 0或9
解析 ∵A(－3，－2,1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x，0)，
∴＝(2,1，－2)，＝(－4，x＋1,1)，＝(－2，x＋2，－1)
分三种情况：
①A为直角，·＝0，∴－4＋x＋2＋2＝0，∴x＝0；
②B为直角，·＝0，∴－8＋x＋1－2＝0，∴x＝9；
③C为直角，·＝0，∴8＋(x＋1)(x＋2)－1＝0，x2＋3x＋9＝0，方程无解．
综上，x的值为0或9.
8．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1)．若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为________________．
答案 (－2,4,1)或(2，－4，－1)
解析 据题意，得＝(－1，－1,2)，＝(1,0,2)．
设n＝(x，y，z)，∵n与平面ABC垂直，
∴即可得
∵|n|＝，∴＝，
解得y＝4或y＝－4.
当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.
∴n的坐标为(－2,4,1)或(2，－4，－1)．
9.如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA.
证明 如图，连接OP，OQ，PQ，取O为坐标原点，以OA，OC所在直线为x轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示)．
则A(1,0,0)，C(0,0,1)，B.
∵P为AC的中点，∴P.
∴＝，
又由已知，可得＝＝.
又＝＋＝，
∴＝－＝.
∵·＝0，∴⊥，即PQ⊥OA.
10.如图，在四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°，
求证：平面ADE⊥平面ABE.
证明 取BE的中点O，连接OC，
又AB⊥平面BCE，
所以以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示)．
则有C(1,0,0)，B(0，，0)，E(0，－，0)，D(1,0,1)，A(0，，2)．
于是＝(0，－2，－2)，＝(－1，，1)．
设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，
则n·＝(a，b，c)·(0，－2，－2)＝－2b－2c＝0，
n·＝(a，b，c)·(－1，，1)＝－a＋b＋c＝0.
令b＝1，则a＝0，c＝－，
所以n＝(0,1，－)．
又AB⊥平面BCE，OC 平面BCE，
所以AB⊥OC.
因为BE⊥OC，AB∩BE＝B，AB，BE 平面ABE，
所以OC⊥平面ABE.
所以平面ABE的法向量可取为m＝(1,0,0)．
因为n·m＝(0,1，－)·(1,0,0)＝0，所以n⊥m，
所以平面ADE⊥平面ABE.
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则( )
A．EF至多与A1D，AC中的一个垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
答案 B
解析 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
设正方体的棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
∴＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)，
＝，＝(－1，－1,1)，
∴＝－，·＝0，·＝0，
从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC，故选B.
12．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的比值为( )
A. B．1 C．3 D．2
答案 B
解析 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
设正方形边长为1，PA＝a，
则B(1,0,0)，E，P(0,0，a)．
设点F的坐标为(0，y，0)，
则＝(－1，y，0)，＝.
因为BF⊥PE，所以·＝0，
解得y＝，即点F的坐标为，
所以F为AD的中点，所以AF∶FD＝1∶1.
13.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________．
答案 垂直
解析 以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则P(0,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，E，F，
∴＝，设平面PBC的一个法向量n＝(x，y，z)，则
取y＝1，则z＝1，
平面PBC的法向量n＝(0,1,1)，
∵＝－n，
∴∥n，
∴EF⊥平面PBC.
14.如图，已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E，C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有________条．
答案 1
解析 假设存在满足条件的直线MN，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设正方体的棱长为2，则D1(2,0,2)，E(1,2,0)，
设M(x，y，z)，＝m(0≤m≤1)，
所以(x－2，y，z－2)＝m(－1,2，－2)，x＝2－m，y＝2m，z＝2－2m，
所以M(2－m，2m，2－2m)，
同理，若设＝n(0≤n≤1)，可得N(2n，2n，2－n)，
＝(m＋2n－2,2n－2m，2m－n)，
又因为MN⊥平面ABCD，＝(2,0,0)，＝(0,2,0)，
所以解得
即存在满足条件的直线MN，有且只有一条．
15．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是( )
A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．不存在DQ与平面A1BD垂直
答案 D
解析 以A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，
D，P(0,2,0)，＝(1,0,1)，＝，＝(－1,2,0)，＝.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2,1，－2)．
假设DQ⊥平面A1BD，且B1Q＝λ＝λ(－1,2,0)＝(－λ，2λ，0)，
则＝＋＝，
因为也是平面A1BD的法向量，
所以n＝(2,1，－2)与＝共线，于是有＝＝＝成立，但此方程关于λ无解．故不存在DQ与平面A1BD垂直．
16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
(1)证明 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设正方体棱长为a，则 A(a，0,0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．
设E(0，a，b)(0≤b≤a)，
＝(－a，a，b－a)，
＝(－a，－a，0)，
·＝a2－a2＋(b－a)·0＝0，
∴⊥，即A1E⊥BD.
(2)解 设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．
∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，b)，
∴取x1＝x2＝1，
得n1＝(1，－1，－1)，n2＝，
由平面A1BD⊥平面EBD，得n1⊥n2，
∴2－＝0，即b＝.
∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.§1.4 空间向量的应用
1．4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
学习目标 理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量．
知识点一 空间中点的位置向量
如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．
知识点二 空间中直线的向量表示式
直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使
＝＋ta，①
把＝a代入①式得
＝＋t，②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．
思考 直线的方向向量是不是唯一的？
答案 直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．
知识点三 空间中平面的向量表示式
1．平面ABC的向量表示式
空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.③
我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式．
2．平面的法向量
如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}．
思考 平面的法向量是不是唯一的？
答案 一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可以根据需要进行选取．
1．若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( √ )
2．平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．( × )
3．直线的方向向量是唯一的．( × )
一、直线的方向向量
例1 (1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线 l 过 A(0，y，3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于( )
A．0 B．1 C. D．3
答案 A
解析 ∵A(0，y，3)和B(－1,2，z)，＝(－1,2－y，z－3),
∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3) ，故设＝km.
∴－1＝2k ,2－y＝－k，z－3＝3k.
解得 k＝－，y＝z＝.
∴y－z＝0.
(2) 在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线 BC1 的一个方向向量为________．
答案 (不唯一)(0,0,1) (0,1,1)
解析 ∵DD1∥AA1，＝(0,0,1)，直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；
BC1∥AD1， ＝(0，1,1), 故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)．
反思感悟 理解直线方向向量的概念
(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．
(2)直线的方向向量不唯一．
跟踪训练1 (1)(多选)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )
A．(2,2,6) B．(1,1,3)
C．(3,1,1) D．(－3,0,1)
答案 AB
解析 ∵M，N在直线l上，∴＝(1,1,3)，
故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的一个方向向量．
(2)从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为( )
A．(18,17，－17) B. (－14，－19,17)
C. D.
答案 A
解析 设B点坐标为 (x，y，z) ，则 ＝λa(λ>0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12) ，因为||＝34，即＝34，得λ＝2，所以x＝18，y＝17，z＝－17.
二、求平面的法向量
例2 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
解 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则D(0，，0)，P(0,0,1)，E，C(1，，0)，
于是＝.＝(1，，0)．
设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即所以
令y＝－1，则x＝z＝.
所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．
延伸探究
本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量？
解 如图所示，建立空间直角坐标系，
则P(0,0,1)，C(1，，0)，所以＝(1，，－1)，即直线PC的一个方向向量．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)．
因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1)．
由即
所以令y＝1，则z＝.
所以平面PCD的一个法向量为(0,1，)．
反思感悟 求平面法向量的方法与步骤
(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，；
(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；
(3)联立方程组并求解；
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．
跟踪训练2 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，试求出平面ABC的一个法向量．
解 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．
∵A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，
∴＝(－2,1,3)，＝(1，－1,0)．
则有即
解得令z＝1，则x＝y＝3.
故平面ABC的一个法向量为n＝(3,3,1)．
1．若A( －1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)
答案 A
解析 因为＝(2,4,6) ，所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量．
2．已知直线l1的方向向量a＝(2，－3,5)，直线l2的方向向量b＝(－4，x，y)，若a∥b，则x，y的值分别是( )
A．6和－10 B．－6和10
C．－6和－10 D．6和10
答案 A
解析 由题意得＝＝，且x≠0，y≠0，所以x，y的值分别是6和－10.
3．若n＝(2，－3, 1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A．(0，－3,1) B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)
答案 D
解析 求与n共线的一个向量．易知(2，－3,1)＝－(－2，3，－1)．
4．(多选)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是( )
A. B. C. D.
答案 BC
5．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________________．
答案 x＋2y－3z＝0
解析 由题意得e⊥，则·e＝(x，y，z)·(1,2，－3)＝0，
故x＋2y－3z＝0.
1．知识清单：
(1)直线的方向向量．
(2)平面的法向量．
2．方法归纳：待定系数法．
3．常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性．
1．已知向量a＝(2, －1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是( )
A．－1 B．1或－1
C．－3 D．1
答案 A
解析 由题意得a∥b，所以解得x＝－1.
2．已知平面α的一个法向量是(2，－1，－1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( )
A. (4,2，－2) B. (2,0,4)
C. (2，－1，－5) D. (4，－2，－2)
答案 D
解析 ∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，
又∵(4，－2，－2)＝2(2，－1，－1)，故选D.
3．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )
A.⊥ B.⊥
C.⊥ D.⊥
答案 C
解析 ∵PA⊥平面ABCD，
∴BD⊥PA.
又AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，
∴PC⊥BD.
故选项B成立，选项A和D显然成立．故选C.
4．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是( )
A．(1,1，－1) B．(1，－1,1)
C．(－1,1,1) D．(－1，－1，－1)
答案 D
解析 ＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有
取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.
故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1)．
5．(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是( )
A．平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)
B．平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)
C．平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)
D．平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)
答案 AC
解析 ∵＝(0,1,0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，
∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正确；
∵＝(－1,0,0)，而(1,1,1)·＝－1≠0，
∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，∴ B不正确；
∵＝(0,1，－1)，＝(－1,0,1)，(1,1,1)·＝0，(1,1,1)·＝0，B1C∩CD1＝C，
∴(1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量，∴C正确；
∵＝(0,1,1)，而·(0,1,1)＝2≠0，
∴(0,1,1)不是平面ABC1D1的法向量，即D不正确．
6．已知平面ABC，且A(1,2，－1)，B(2,0，－1)，C(3，－2,1)，则平面ABC的一个法向量为________．
答案 (2,1,0)(答案不唯一)
解析 ＝(1，－2,0)，＝(2，－4,2)，
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令y＝1，得x＝2，z＝0，
故平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,0)．
7．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x＋1,2cos 2x＋2,0)和点Q(cos x，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
答案 或
解析 由OP⊥OQ，得·＝0，
即(2cos x＋1)·cos x＋(2cos 2x＋2)·(－1)＝0.
∴cos x＝0或cos x＝.
∵x∈[0，π]，
∴x＝或x＝.
8.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为1的正方体，给出下列结论：
①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)；③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)．
其中正确的是________．(填序号)
答案 ①②③
解析 ＝＝(0,0,1)，故①正确；＝＝(0,1,1)，故②正确；直线AD⊥平面ABB1A1，＝(0,1,0)，故③正确；向量的坐标为(1,1,1)，与平面B1CD不垂直，∴④错．
9．已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2, －2)．
(1)写出直线BC的一个方向向量；
(2)设平面α经过点A，且BC是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．
解 (1)∵B(2,0,0)，C(0,2，－2)，
∴＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC的一个方向向量．
(2)由题意＝(x－2，y－2，z－2)，
∵⊥平面α，AM α，
∴⊥，
∴(－2,2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0.
∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0. 化简得x－y＋z－2＝0.
10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量．
证明 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，E，D1(0,0,1)，F，A1(1,0,1)，＝，
＝，＝(－1,0,0)．
∵·＝·＝－＝0，
又·＝0，
∴⊥，⊥.
又A1D1∩D1F＝D1，
∴AE⊥平面A1D1F，
∴是平面A1D1F的法向量．
11．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( )
A．xOy平行 B．xOz平行
C．yOz平行 D．yOz相交
答案 C
解析 因为＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，
所以AB∥平面yOz.
12．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1,1) B.
C. D.
答案 B
解析 要判断点P是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直，即·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0，故B正确；同理可排除C，D.故选B.
13．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是( )
A．(1，－4,2) B.
C. D．(0，－1,1)
答案 D
解析 因为＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的一个法向量，则必须满足把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.
14．若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量为a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.
答案 2∶3∶(－4)
解析 由已知得，＝，
＝，
∵a是平面α的一个法向量，
∴a·＝0，a·＝0，
即解得
∴x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．
15．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．(填序号)
答案 ①②③
解析 ∵·＝0，·＝0，
∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．
又与不平行，∴是平面ABCD的法向量，
则③正确，由于＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，∴与不平行，故④错误．
16.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量．
解 以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，
则＝，＝.
向量＝是平面SAB的一个法向量．
设n＝(x，y，z)为平面SDC的一个法向量，
则即
取x＝2，得y＝－1，z＝1，
故平面SDC的一个法向量为(2，－1,1)．
