章末检测试卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋－等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 ＋＋－＝＋＝.
2．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为μ，则能使l∥α的是( )
A．a＝(1,0,0)，μ＝(－2,0,0)
B．a＝(1,3,5)，μ＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，μ＝(－1,0,1)
D．a＝(1，－1,3)，μ＝(0,3,1)
答案 D
解析 由l∥α，故a⊥μ，即a·μ＝0，故选D.
3．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 C
解析 由于＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，而＝＋，
则·＝·(＋)＝(＋)2＝1.
4．已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 B
解析 设BC边的中点为D，
则＝(＋)＝(－1，－2,2)，
所以||＝＝3.
5．若向量a＝(x，4,5)，b＝(1，－2,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则x等于( )
A．3 B．－3 C．－11 D．3或－11
答案 A
解析 因为a·b＝(x，4,5)·(1，－2,2)＝x－8＋10＝x＋2，且a与b的夹角的余弦值为，
所以＝，解得x＝3或－11(舍去)，故选A.
6．平面α的法向量u＝(x，1，－2)，平面β的法向量ν＝，已知α∥β，则x＋y等于( )
A. B.
C．3 D.
答案 A
解析 由题意知，∵α∥β，∴u＝λν，
即解得λ＝－4，y＝－，x＝4，
∴x＋y＝4－＝.
7．已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为( )
A．－1,2 B．1，－2
C．1,2 D．－1，－2
答案 A
解析 c＝ma＋nb＋(4，－4,1)＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)
＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，
由c为平面α的法向量，得
即解得
8.如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上，且PE＝2EA，则平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，A(0,3,0)，P(0,0,3)，D(3,3,0)，E(0,2,1)，
∴＝(0,2,1)，＝(3,3,0)．
设平面BED的法向量为n＝(x，y，z)，
则取z＝1，得n＝.
又平面ABE的法向量为m＝(1,0,0)，
∴cos〈n，m〉＝＝＝.
∴平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知空间三点A(1,0,3)，B(－1,1,4)，C(2，－1,3)．若∥，且||＝，则点P的坐标为( )
A．(4，－2,2) B．(－2,2,4)
C．(－4,2，－2) D．(2，－2,4)
答案 AB
解析 设＝(3λ，－2λ，－λ)．又||＝，
∴＝，解得λ＝±1，
∴＝(3，－2，－1)或＝(－3,2,1)．
设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－1，y，z－3)，
∴或
解得或
故点P的坐标为(4，－2,2)或(－2,2,4)．
10．在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则直线AE和BC( )
A．垂直 B. 相交
C．共面 D．异面
答案 ABC
解析 因为E为BC的中点，所以＝－＝(＋)－，
因为在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，
所以·＝·(－)
＝(2－2)＝0.
所以AE和BC垂直．又AE，BC显然相交，故选ABC.
11．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l α D．l与α相交
答案 BD
解析 ∵a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)，
∴n＝－2a，即a∥n，∴l⊥α.
12．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量可能是( )
A．(1，－4,2) B.
C. D．(0，－1,1)
答案 ABC
解析 因为＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的一个法向量，则必须满足与法向量垂直，把选项代入验证，只有选项D不满足，故选ABC.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且＝＋m－n，则m＝________.
答案
解析 由于＝＋＝＋(＋)＝＋＋，所以m＝，n＝－.
14．设平面α的法向量为m＝(1,2，－2)，平面β的法向量为n＝(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________.
答案 4
解析 由α∥β得＝＝，解得k＝4.
15．在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为________．
答案
解析 不妨设CB＝1，则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)．
∴＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)．
cos 〈，〉＝＝＝.
16．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E.(1)若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是________；(2)|A1P|的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
答案 (1)平行 (2)
解析 (1)以D为原点，以DA，DC，DD1 所在的直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，
A1(1,0,1)，E，B(1,1,0) ，因为P，Q均在平面A1B1C1D1内，
所以设P(a，b，1)，Q(m，n，1)，
＝，＝(a－1，b－1,1)，＝(m－1，n－1,1) ，
因为BP⊥A1E , BQ⊥A1E ，
所以
解得
＝(n－b，n－b，0)，
＝(－1，－1,0) ，所以PQ与BD的位置关系是平行．
(2)由(1)可知：b－a＝，
||＝
＝
＝
＝，
当a＝时，||有最小值，最小值为.
四．解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知a＝(x，4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：
(1)a，b，c；
(2)a＋c与b＋c夹角的余弦值．
解 (1)因为a∥b，所以＝＝，
解得x＝2，y＝－4，
则a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．
又b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，
解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．
(2)由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，
设a＋c与b＋c的夹角为θ，
因为cos θ＝＝－.
所以a＋c与b＋c夹角的余弦值为－.
18．(12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°，求证：CM∥平面PAD.
证明 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，
∵∠ PBC＝30°，PC＝2，
∴BC＝2，PB＝4，
∴D(1,0,0)，C(0,0,0)，A(4,2，0)，P(0，0,2)，
∵PB＝4PM，
∴PM＝1，M，
∴＝，＝(－1,0,2)，＝(3,2，0)，
设平面PAD的一个法向量n＝(x，y，z)，则
即
令x＝1，解得y＝－，z＝，故n＝，
又∵·n＝·＝0，
∴⊥n，又CM 平面PAD，
∴CM∥平面PAD.
19.(12分)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．
(1)求证：BM∥平面ADEF；
(2)求证：BC⊥平面BDE.
证明 ∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED 平面ADEF，
∴ED⊥平面ABCD.
以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系．
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2)．
(1)∵M为EC的中点，∴M(0,2,1)，
则＝(－2,0,1)，＝(－2,0,0)，＝(0,0,2)，
∴＝＋，故，，共面．
又BM 平面ADEF，∴BM∥平面ADEF.
(2)＝(－2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(0,0,2)，
∵·＝－4＋4＝0，∴BC⊥DB.
又·＝0，∴BC⊥DE.
又DE∩DB＝D，∴BC⊥平面BDE.
20．(12分)在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC，且底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，求平面AB1O1与平面BC1O间的距离．
解 如图，连接OO1，
根据题意，OO1⊥底面ABC，则以O为原点，分别以OB，OC，OO1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵AO1∥OC1，OB∥O1B1，AO1∩O1B1＝O1，OC1∩OB＝O，
∴平面AB1O1∥平面BC1O.
∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离即为点O1到平面BC1O的距离．
∵O(0,0,0)，B(，0,0)，C1(0,1,2)，O1(0,0,2)，
∴＝(，0,0)，＝(0,1,2)，＝(0,0,2)，
设n＝(x，y，z)为平面BC1O的法向量，则
即
∴可取n＝(0,2，－1)．
点O1到平面BC1O的距离记为d，
则d＝＝＝.
∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离为.
21．(12分)如图，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCD －A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E，F分别为C1D1，A1B的中点，求平面B1A1B与平面A1BE夹角的余弦值．
解 设AD＝1，则A1(1,0,2)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，
因为E，F分别为C1D1，A1B的中点，
所以E(0,1,2)，F(1,1,1)，
所以＝(－1,1,0)，＝(0,2，－2)，
设m＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，
则
所以所以
取x＝1，则y＝z＝1，
所以平面A1BE的一个法向量为m＝(1,1,1)．
又DA⊥平面A1B1B，
所以＝(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量，
所以cos 〈m，〉＝＝＝，
所以平面B1 A1B与平面A1BE夹角的余弦值为.
22．(12分)如图所示， 已知几何体EFG－ABCD，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在边DG上．
(1)求证：BM⊥EF；
(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
(1)证明 因为四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，
所以GD⊥DA，GD⊥DC，AD⊥CD，
又DA∩DC＝D，所以GD⊥平面ABCD.
以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1)．
因为点M在边DG上，故可设M(0,0，t)(0≤t≤1)．
可得＝(1,1，－t)，＝(－1,1,0)，
所以·＝1×(－1)＋1×1＋(－t)×0＝0，
所以BM⊥EF.
(2)解 假设存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°.
设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，
因为＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)，
所以
所以
令z＝1，得x＝y＝1，所以n＝(1,1,1)为平面BEF的一个法向量，
所以cos〈n，〉＝＝.
因为直线MB与平面BEF所成的角为45°，
所以sin 45°＝|cos〈n，〉|，
所以＝，解得t＝－4±3.
又0≤t≤1，所以t＝3－4.
所以存在点M(0,0,3－4)．
当点M位于DG上，且DM＝3－4时，直线MB与平面BEF所成的角为45°.章末检测试卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋－等于( )
A. B. C. D.
2．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为μ，则能使l∥α的是( )
A．a＝(1,0,0)，μ＝(－2,0,0)
B．a＝(1,3,5)，μ＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，μ＝(－1,0,1)
D．a＝(1，－1,3)，μ＝(0,3,1)
3．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
4．已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
5．若向量a＝(x，4,5)，b＝(1，－2,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则x等于( )
A．3 B．－3 C．－11 D．3或－11
6．平面α的法向量u＝(x，1，－2)，平面β的法向量ν＝，已知α∥β，则x＋y等于( )
A. B.
C．3 D.
7．已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为( )
A．－1,2 B．1，－2
C．1,2 D．－1，－2
8.如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上，且PE＝2EA，则平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知空间三点A(1,0,3)，B(－1,1,4)，C(2，－1,3)．若∥，且||＝，则点P的坐标为( )
A．(4，－2,2) B．(－2,2,4)
C．(－4,2，－2) D．(2，－2,4)
10．在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则直线AE和BC( )
A．垂直 B. 相交
C．共面 D．异面
11．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l α D．l与α相交
12．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量可能是( )
A．(1，－4,2) B.
C. D．(0，－1,1)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且＝＋m－n，则m＝________.
14．设平面α的法向量为m＝(1,2，－2)，平面β的法向量为n＝(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________.
15．在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为________．
16．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E.(1)若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是________；(2)|A1P|的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
四．解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知a＝(x，4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：
(1)a，b，c；
(2)a＋c与b＋c夹角的余弦值．
18．(12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°，求证：CM∥平面PAD.
19.(12分)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．
(1)求证：BM∥平面ADEF；
(2)求证：BC⊥平面BDE.
20．(12分)在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC，且底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，求平面AB1O1与平面BC1O间的距离．
21．(12分)如图，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCD －A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E，F分别为C1D1，A1B的中点，求平面B1A1B与平面A1BE夹角的余弦值．
22．(12分)如图所示， 已知几何体EFG－ABCD，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在边DG上．
(1)求证：BM⊥EF；
(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
