第一章 三角形的证明单元测试题(含答案)

《第一章 三角形的证明》章末复习
一、选择题
1.若要运用反证法证明“若,则”,首先应该假设（ ）
A.
B.
C.
D.
2.如图,是等边底边上的中线,的垂直平分线交于点,交于点,若,则的长为（ ）
A.1
B.
C.
D.2
3.如图,在中,是边上的高线,点在上,且,则的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.如图,,垂足分别是.若,则的长是（ ）
A.
B.2
C.
D.
5.如图,Rt中,的平分线与的平分线交于点,连接的度数是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，
DE∥AB，AD=3，CE=5，则AC的长为（ ）
A.9
B.8
C.6
D.7
7.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图①，②（图②为图①的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10寸），则AB的长是（ ）
A.50.5寸
B.52寸
C.101寸
D.104寸
8.如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，
∠BAC=∠DAE=90°，BD，CE交于点F，连接AF.下列结论：
①BD=CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE=45°.
其中正确的结论有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题
9.命题“对顶角相等”的逆命题是___________.
10.等边△ABC的周长为9，则△ABC的面积为_________.
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_______.
12.如图，P是△ABC的三条内角平分线的交点，连接PA，PB，PC，
设△PAB，△PBC，△PAC的面积分别为，则____（填“>”“＜”或“=”）
13.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是__________.
14.如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，Q是△ABC边上的动点，点Q从点B开始沿B→C→A→B方向运动，且速度为2cm/s，当经过________秒时△BCQ为等腰三角形.
三、解答题
15.如图，两条公路OA和OB相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的距离相等，用尺规作出货站P的位置.（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
16.如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，
∠DAE=90°，点B，C，D在同一条直线上.求证：BD=CE.
17.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，垂足分别为C，D，连接CD，且交OE于点F.
（1）求证：OE是CD的垂直平分线；
（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论.
18.通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.下面我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.
（1）根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？
________.（填“是”或“不是”）
（2）若某三角形的三边长分别为1，，2，则该三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据.
（3）在Rt△ABC中，两边长分别为a，c，且，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据.
探究：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，
若Rt△ABC是奇异三角形，求.
19.【发现】如图①，△ABD，△AEC都是等边三角形.易知：BE______CD，且BE与CD的夹角∠BOD=_______°.
【探究】如图②，△ABD，△AEC都是等腰直角三角形，
∠DAB=∠EAC=90°，BE，CD交于点O，判断BE与CD的关系，并说明理由.
【拓展】如图③，在平面直角坐标系中，AP=OP，点A的坐标为（0，1），点B为y轴正半轴上的一动点，点C为第一象限的一点，且BP=CP，
∠BPC=∠OPA=45°，CA的延长线交x轴于点E，当点B运动时，点E的坐标是否也随着变化？若不变，求出点E的坐标；若变化，说明理由.
参考答案
1.答案：D
2.答案：C
3.答案：B
4.答案：B
5.答案：C
6.答案：B
7.答案：C
8.答案：C
9.答案：相等的角为对顶角
10.答案：
11.答案：2
12.答案：<
13.答案：
14.答案：5.5或6或6.6或9
15.答案：见解析
解析：如答图，CD的垂直平分线与∠AOB的平分线的交点即为所求点P.
16.答案：见解析
解析：证明：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，
∴AB=AC，AD=AE.
又∵∠EAC=∠EAD+∠CAD，∠DAB=∠BAC+∠CAD，
∠EAD=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC.
在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC(SAS),∴BD=CE.
17.答案：见解析
解析：（1）证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE=CE又∵OE=OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC，∴OE是CD的垂直平分线.
（2）解：OE=4EF.证明如下：
∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°.
由（1）得OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=60°.
∵ED⊥OA，∴OE=2DE，∠EDF=30°，
∵OE是CD的垂直平分线，∴∠EFD=90°，
∴DE=2EF，∴OE=4EF.
18.答案：见解析
解析：（1）是
（2）解：该三角形是奇异三角形.
∵，
∴该三角形是奇异三角形.
(3)解:当为斜边时,，不是奇异三角形;
当为斜边时,,
∵,
∴,
∴是奇异三角形.
探究:在Rt中,,
∴
∵
∵是奇异三角形,∴,
∴
∴.
19.答案：见解析
解析：【发现】= 60
解析：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=60°，∠CAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE.
在△DAC和△BAE中，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE，∠ADC=∠ABE.
∵∠ADB+∠ABD=120°，
∴∠ODB+∠ABD+∠ABE=120°，
即∠ODB+∠OBD=120°，
∴∠BOD=180°-（∠ODB+∠OBD）=60°.
【探究】BE=CD，BE⊥CD.
理由如下：∵△ABD，△AEC都是等腰直角三角形，
∴AD=AB，AC=AE，又∠DAB=∠EAC=90°，
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，
∴∠DAC=∠BAE.
在△DAC和△BAE中，，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE，∠ADC=∠ABE.
∵∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠ADO+∠ADB+∠OBD=90°，
即∠ODB+∠OBD=90°，
∴∠BOD=90°，
∴BE⊥CD，∴BE=CD，BE⊥CD.
【拓展】点E的坐标不变
∵AP=OP，∠OPA=45°，
∴∠PAO=∠POA=×（180°-45°）=67.5°，
同（1）的方法可得，△CAP≌△BOP，
∴∠CAP=∠BOP=67.5°，
∴∠CAB=180°-∠CAP-∠PAO=45°，
∴∠OAE=∠CAB=45°，∴OE=OA=1，
∴点E的坐标为（-1，0）.