选择性必修第一册第二章 2.4.2 圆的一般方程 学案

2．4.2　圆的一般方程
学习目标　1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．
知识点　圆的一般方程
1．圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件 图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点
D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆
1．方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一个圆．(　×　)
2．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．(　×　)
3．若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(　√　)
4．任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．(　√　)
一、圆的一般方程的辨析
例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．
(1)求实数m的取值范围；(2)写出圆心坐标和半径．
解　(1)由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得m<，即实数m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝.
反思感悟　圆的一般方程的辨析
(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．
跟踪训练1　(1)圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半径和圆心坐标分别为(　　)
A．r＝1，(－2,1) B．r＝2，(－2,1)
C．r＝2，(2，－1) D．r＝1，(2，－1)
答案　D
解析　x2＋y2－4x＋2y＋4＝0可化为
(x－2)2＋(y＋1)2＝1，
所以半径和圆心分别为r＝1，(2，－1)．
(2)若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是(　　)
A．m< B．m>
C．m<0 D．m≤
答案　A
解析　因为x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，
则1＋1－4m>0，所以m<.
二、求圆的一般方程
例2　已知圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程．
解　方法一　(待定系数法)
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P，Q的坐标分别代入上式，
得
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，　　　　　　　　　　 ③
由已知得|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程③的根，
∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④
联立①②④解得或
故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
方法二　(几何法)
由题意得线段PQ的垂直平分线方程为x－y－1＝0，
∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，
设其坐标为(a，a－1)．
又圆C的半径长
r＝|CP|＝.(*)
由已知得圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|，
∴r2＝a2＋2，
代入(*)式整理得a2－6a＋5＝0，
解得a1＝1，a2＝5，
∴r1＝，r2＝.
故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
反思感悟　求圆的方程的策略
(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程；
(2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程．
跟踪训练2　(1)圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程是____________________．
答案　x2＋y2－4x－4y－2＝0
解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心是，
由题意知，
解得D＝E＝－4，F＝－2，
即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0.
(2)已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，则△ABC的外接圆的方程是__________________．
答案　x2＋y2－8x－2y＋12＝0
解析　设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得
解得
即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
三、求动点的轨迹方程
例3　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，点B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解　(1)设线段AP的中点M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)，
∵∴
又P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，∴(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
反思感悟　求与圆有关的轨迹问题的方程
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
跟踪训练3　已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
解　以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，
则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)．
∴①
∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y＝9.②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为(　　)
A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4
C．(－2,3)，4 D．(2，－3)，16
答案　C
2．将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直线是(　　)
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
答案　C
解析　要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A，B，C，D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C.
3．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(　　)
A．以(a，b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
答案　D
解析　原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，
∴即
∴方程表示点(－a，－b)．
4．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是________．
答案　(－∞，－1)
解析　方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k<－1时才能表示圆．
5．若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是__________．
答案　2x－y－6＝0
解析　圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圆心坐标为(4,2)，则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长．
由k＝＝2，得直线方程为y＝2(x－3)，
即2x－y－6＝0.
1．知识清单：
(1)圆的一般方程．
(2)求动点的轨迹方程．
2．方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法．
3．常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件．
1．已知圆C：x2＋y2－2x－2y＝0，则点P(3,1)在(　　)
A．圆内 B．圆上
C．圆外 D．无法确定
答案　C
2．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为(　　)
A．(1，－1) B.
C．(－1,2) D.
答案　D
解析　将圆的方程化为标准方程，得2＋(y＋1)2＝，所以圆心为.
3．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是(　　)
A．m<1 B．m>1
C．m< D.答案　A
解析　方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0，
表示圆的条件是42＋(－2)2－4×5m>0，解得m<1.
4．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为(　　)
A．2 B. C．1 D.
答案　D
解析　因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x－y＝1的距离为d＝＝.
5．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)关于直线y＝x对称，则有(　　)
A．D＋E＝0 B．D＝E
C．D＝F D．E＝F
答案　B
解析　由圆的对称性知，圆心在直线y＝x上，故有－＝－，即D＝E.
6．如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是________．
答案　
解析　由(－2)2＋12－4k>0得k<.
7．若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不包括边界)，则a的取值范围是________．
答案　(－∞，1)
解析　点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部且不包括边界，
则(a＋1)2＋(a－1)2－2a(a－1)－4<0，解得a<1.
8．已知直线与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<5)相交于A，B两点，且弦AB的中点Q的坐标为(0,1)，则直线AB的方程为________________．
答案　x－y＋1＝0
解析　易知圆心P的坐标为(－1,2)．
∵AB的中点Q的坐标为(0,1)，
∴直线PQ的斜率kPQ＝＝－1，
∴直线AB的斜率k＝1，
故直线AB的方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0.
9．已知三角形的三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(－6,3)，C(3,0)，求这个三角形外接圆的一般方程．
解　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C三点都在圆上，
∴A，B，C三点的坐标都满足所设方程，
把A(4,1)，B(－6,3)，C(3,0)的坐标依次代入所设方程，
得解得
∴所求圆的方程为x2＋y2＋x－9y－12＝0.
10.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程．
解　设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，所以4＝，3＝，
于是有x0＝8－x ，y0＝6－y.①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
即(x0＋1)2＋y＝4，②
把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，
整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.
所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.
11．方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　D
解析　因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，
又方程可化为2＋(y－a)2＝－a2－3a，
故圆心坐标为，r2＝－a2－3a.
又r2>0，即－a2－3a>0，解得－4故该圆的圆心在第四象限．
12．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1
答案　C
解析　设P(x1，y1)，PQ的中点M的坐标为(x，y)，
∵Q(3,0)，∴∴x1＝2x－3，y1＝2y.
又点P在圆x2＋y2＝1上，
∴(2x－3)2＋4y2＝1，故选C.
13．已知圆x2＋y2＋4x－6y＋a＝0关于直线y＝x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．
答案　(－∞，8)
解析　由题意知，直线y＝x＋b过圆心，而圆心坐标为(－2,3)，代入直线方程，得b＝5，
所以圆的方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝13－a，
所以a<13，由此得a－b<8.
14．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________．
答案　(0，－1)
解析　∵r＝＝，∴当k＝0时，r最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．
15．已知定点P1(－1,0)，P2(1,0)，动点M满足|MP1|＝|MP2|，则构成△MP1P2面积的最大值是(　　)
A. B．2 C. D．2
答案　B
解析　设M(x，y)，由|MP1|＝|MP2|，
可得＝，
化简得(x－3)2＋y2＝8，
即M在以(3,0)为圆心，2为半径的圆上运动，
又＝·|P1P2|·|yM|＝|yM|≤2.故选B.
16．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
解　如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，
线段MN的中点坐标为.
由于平行四边形的对角线互相平分，
故＝，＝，
从而
又点N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
当点P在直线OM上时，有x＝－，y＝或x＝－，y＝.
因此所求轨迹为以(－3,4)为圆心，半径为2的圆，除去点和点.