选择性必修第一册第二章 2.3.1 两条直线的交点坐标 学案

§2.3　直线的交点坐标与距离公式
2．3.1　两条直线的交点坐标
学习目标　1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．
知识点　两条直线的交点
1．两直线的交点
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)．
(1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0 .
(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有
2．两直线的位置关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
1．若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．(　√　)
2．无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．(　×　)
3．若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．(　×　)
4．在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．(　√　)
一、求相交直线的交点坐标
例1　(1)求经过点(2,3)且经过直线l1：x＋3y－4＝0与l2：5x＋2y＋6＝0的交点的直线方程；
(2)求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线方程．
解　(1)联立解得
所以直线l1与l2的交点为(－2,2)．
由两点式可得所求直线的方程为＝，
即x－4y＋10＝0.
(2)由方程组得
因为所求直线和直线3x＋y－1＝0垂直，
所以所求直线的斜率k＝，
所以有y－＝，
即所求的直线方程为5x－15y－18＝0.
反思感悟　求两相交直线的交点坐标．
(1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组．
(2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法．
跟踪训练1　(1)已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
(2)经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是(　　)
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0
C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0
答案　A
二、直线系过定点问题
例2　无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标．
解　∵(m＋1)x－y－7m－4＝0，
∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0，
∴∴
∴点P的坐标为(7,3)．
反思感悟　解含参数的直线恒过定点问题的策略
(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．
跟踪训练2　已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限．
证明　将直线方程整理为a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0.
因为直线3x－y＝0与x－2y＋1＝0的交点为，
即直线系恒过第一象限内的定点，
所以无论a为何值，直线总经过第一象限．
对称问题
典例　光线通过点A(2,3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．
解　设点A(2,3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，
则解得A′(－4，－3)．
由于反射光线经过点A′(－4，－3)和B(1,1)，
所以反射光线所在直线的方程为
y－1＝(x－1)·，即4x－5y＋1＝0.
解方程组得反射点P.
所以入射光线所在直线的方程为
y－3＝(x－2)·，即5x－4y＋2＝0.
[素养提升]　对称问题中的直观想象与数学运算
(1)可以通过直观想象理解对称问题中的点线位置关系．
(2)直线的对称可以转化为点的对称，其中的点、直线可以通过数学运算确定．
1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　)
A．(3,2) B．(2,3)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
答案　B
解析　解方程组得
2．直线2x＋y＋1＝0与直线x－y＋2＝0的交点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　B
解析　联立解得
∴交点(－1,1)在第二象限．故选B.
3．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　　)
A．(－3，－1) B．(－2，－1)
C．(－3,1) D．(－2,1)
答案　C
解析　直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，
令解得
∴直线l恒过定点(－3,1)．故选C.
4．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________．
答案　2x＋y－4＝0
解析　设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，
即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，
∴k＝＝－2，解得λ＝5.
∴所求直线方程为2x＋y－4＝0.
5．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝________.
答案　－
解析　解方程组得
又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上，
∴－1－2k＝0，∴k＝－.
1．知识清单：
(1)两条直线的交点．
(2)直线过定点．
2．方法归纳：消元法、加减消元法、直线系法．
3．常见误区：对两直线相交条件认识模糊：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是(　　)
A．(2,2) B．(1,1) C．(1,2) D．(2,1)
答案　C
解析　由得交点坐标为(1,2)，故选C.
2．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为(　　)
A．(－4，－3) B．(4,3)
C．(－4,3) D．(3,4)
答案　C
解析　由方程组得故选C.
3．经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且经过原点的直线的方程是(　　)
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0
C．3x＋19y＝0 D．19x－3y＝0
答案　C
解析　由解得
故过点 和原点的直线方程为y＝－x，
即3x＋19y＝0.
4．两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是(　　)
A．－24 B．6 C．±6 D．24
答案　C
解析　因为两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，所以设交点为(0，b)，
所以消去b，可得k＝±6.
5．当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一定点，这个定点是(　　)
A．(2,3) B．(－2,3)
C. D．(－2,0)
答案　B
解析　直线化为a(x＋2)－x－y＋1＝0.
由
得直线过定点(－2,3)．
6．过两直线2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为________．
答案　3x＋y＝0
解析　由得
则所求直线的方程为y＋3＝－3(x－1)，
即3x＋y＝0.
7．三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10,2x－y＝10相交于一点，则实数a的值为________．
答案　－1
解析　由解得又点(4，－2)在直线ax＋2y＋8＝0上，
所以4a＋2×(－2)＋8＝0，解得a＝－1.
8．已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则a＝________，c＝________，m＝________.
答案　5　－12　－2
解析　由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5.
又点(1，m)在直线上得
a＋2m－1＝0,2－5m＋c＝0，
所以m＝－2，c＝－12.
9．求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程．
解　由方程组解得
所以交点坐标为.
又因为直线斜率为k＝－，
所以，所求直线方程为y＋＝×，即27x＋54y＋37＝0.
10．若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限，求k的取值范围．
解　联立两直线的方程
解得
∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限，
∴解得
即－则k的取值范围为.
11．直线kx＋y＋1＝2k，当k变动时，所有直线都通过定点(　　)
A．(2，－1) B．(－2，－1)
C．(2,1) D．(－2,1)
答案　A
解析　kx＋y＋1＝2k，可化为y＋1＝k(2－x)，
故该直线恒过定点(2，－1)．
12．若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是(　　)
A．a＝1或a＝－2 B．a≠±1
C．a≠1且a≠－2 D．a≠±1且a≠－2
答案　D
解析　 (1)若三条直线重合，由三条直线的方程可知a＝1.
(2)若三条直线交于一点，
由解得
将l2，l3的交点(－a－1,1)代入l1的方程解得a＝1(舍去)或a＝－2.
(3)若l1∥l2，由a×a－1×1＝0，得a＝±1，当a＝1时，l1与l2重合．
(4)若l2∥l3，由1×1－a×1＝0，得a＝1，当a＝1时，l2与l3重合．
(5)若l1∥l3，由a×1－1×1＝0，得a＝1，当a＝1时，l1与l3重合．
综上，当a＝1时，三条直线重合；当a＝－1时，l1∥l2；当a＝－2时，三条直线交于一点，
所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1且a≠－2.
13．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}?{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________.
答案　2
解析　解方程组得
代入直线y＝3x＋b，得b＝2.
14．已知A(－2,4)，B(4,2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则a的取值范围为________．
答案　(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析　如图所示，
直线l：ax－y－2＝0经过定点D(0，－2)，a表示直线l的斜率，
设线段AB与y轴交于点C，
由图形知，当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段CB上时，
a大于或等于DB的斜率，即a≥＝1，即a≥1.
当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率，
即a≤＝－3，即a≤－3.
综上，a的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
15．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在直线方程为(　　)
A．y＝2x＋4 B．y＝x－3
C．x－2y－1＝0 D．3x＋y＋1＝0
答案　C
解析　设B关于直线y＝x＋1的对称点B′(x，y)，
则
即
解得即B′(1,0)．又B′在直线AC上，
则直线AC的方程为＝，即x－2y－1＝0.
16．直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为P，求直线l的方程．
解　方法一　设A(x0，y0)，
由中点公式，有B(－x0，2－y0)，
∵A在l1上，B在l2上，
∴解得
∴kAP＝＝－，
故所求直线l的方程为y＝－x＋1，
即所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.
方法二　由题易知，直线l的斜率存在，
设所求直线l方程为y＝kx＋1，l与l1，l2分别交于A，B，
解方程组
解得
∴A；
解方程组解得
∴B，
∵A，B的中点为P(0,1)，则有＝0，
∴k＝－.
故所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.
方法三　设所求直线l与l1，l2分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
P(0,1)为AB的中点，则有可得
代入l2的方程得2(－x1)＋2－y1－8＝0，
即2x1＋y1＋6＝0，
解方程组解得
所以A(－4,2)，由两点式可得所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.