3．3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
学习目标 1.掌握抛物线的几何性质.2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．
知识点一 抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点坐标 F F F F
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
顶点坐标 O(0,0)
离心率 e＝1
通径长 2p
知识点二 直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．
当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．
1．抛物线关于顶点对称．( × )
2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( √ )
3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( √ )
4．抛物线x2＝4y，y2＝4x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同．( √ )
5．“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．( √ )
一、抛物线的几何性质的应用
例1 (1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )
A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2
答案 B
解析 因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组
得或
不妨设A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p)．
所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.
(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，求抛物线方程．
解 由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上．
故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，
∴点A与B关于x轴对称，
∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2，
∴|y1|＝|y2|＝，代入圆x2＋y2＝4，
得x2＋3＝4，∴x＝±1，
∴A(±1，)或A(±1，－)，代入抛物线方程，
得()2＝±a，∴a＝±3.
∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.
反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
跟踪训练1 (1)边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
答案 C
解析 设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，
解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C.
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则抛物线的焦点坐标为( )
A．(2,0) B．(1,0)
C．(8,0) D．(4,0)
答案 B
解析 因为＝2，所以＝＝4，于是b2＝3a2，则＝，
故双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.
而抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，
不妨设A，B，
则|AB|＝p，又三角形的高为，
则S△AOB＝··p＝，
即p2＝4.因为p>0，所以p＝2，故抛物线焦点坐标为(1,0)．
二、直线与抛物线的位置关系
命题角度1 直线与抛物线位置关系的判断
例2 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．
解 联立消去y，
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，(*)式只有一个解x＝，∴y＝1，
∴直线l与C只有一个公共点，
此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点．
命题角度2 直线与抛物线的相交问题
例3 已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．
解 由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则|AB|＝2p≠p，不满足题意．
所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝k，k≠0.
由
消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.
由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－p2.
所以|AB|＝
＝·＝2p＝p，
解得k＝±2.
所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0
或2x＋y－p＝0.
延伸探究
本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离．
解 如图，过A，B，M分别作准线x＝－的垂线交准线于点C，D，E.
由定义知|AC|＋|BD|＝p，
则梯形ABDC的中位线|ME|＝p，
∴M点到y轴的距离为p－＝p.
反思感悟 直线与抛物线的位置关系
(1)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况．
(2)一般弦长：|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|.
(3)焦点弦长：设焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
跟踪训练2 (1)过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
答案 B
解析 如图，过P可作抛物线的两条切线，即y轴和l1均与抛物线只有一个公共点，过P可作一条与x轴平行的直线l2与抛物线只有一个公共点．
故过点P与抛物线只有一个公共点的直线共3条，故选B.
(2)设抛物线C：x2＝4y焦点为F，直线y＝kx＋2与C交于A，B两点，且·＝25，则k的值为( )
A．±2 B．－1 C．±1 D．－2
答案 A
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线y＝kx＋2代入x2＝4y，
消去x得y2－(4＋4k2)y＋4＝0，
所以y1·y2＝4，y1＋y2＝4＋4k2，
抛物线C：x2＝4y的准线方程为y＝－1，
因为＝y1＋1，＝y2＋1，
所以·＝y1·y2＋(y1＋y2)＋1＝4＋4＋4k2＋1＝25 k＝±2.
1．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－ B．－1 C．－ D．－
答案 C
解析 因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A(－2,3)在准线上，所以＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2,0)，故直线AF的斜率k＝＝－.
2．(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝8y D. x2＝－8y
答案 CD
解析 设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p>0)，
依题意得y＝，代入x2＝2py或x2＝－2py得|x|＝p，
∴2|x|＝2p＝8，p＝4.
∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.
3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是( )
A．(2，±2) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2)
答案 B
解析 由题意知F(1,0)，设A，则＝，＝.
由·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)，故选B.
4．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝4，则焦点F到直线AB的距离为________．
答案 2
解析 由抛物线的方程可知F(1,0)，由|AB|＝4且AB⊥x轴得y＝(2)2＝12，
∴xA＝＝3，
∴所求距离为3－1＝2.
5．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
答案 0或1
解析 当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，
当k≠0时，联立方程消去y，得
k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，
∴k＝1.
1．知识清单：
(1)抛物线的几何性质．
(2)直线与抛物线的位置关系．
2．方法归纳：待定系数法、数形结合法、代数法．
3．常见误区：四种形式的抛物线性质混淆；忽略直线的特殊情况．
1．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 A
解析 由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，
则P(3，±2)，
∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.
2．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无穷多条 D．不存在
答案 B
解析 当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意．
当斜率存在时，由焦点坐标为(1,0)，
可设直线方程为y＝k(x－1)，k≠0，
由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∴x1＋x2＝＝5，
∴k2＝，即k＝±.
因而这样的直线有且仅有两条．
3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于( )
A．4 B．8 C．8 D．16
答案 B
解析 由抛物线方程y2＝8x，可得准线l：x＝－2，焦点F(2,0)，设点A(－2，n)，
∴－＝，
∴n＝4.
∴P点纵坐标为4.
由(4)2＝8x，得x＝6，
∴P点坐标为(6,4)，
∴|PF|＝|PA|＝|6－(－2)|＝8，故选B.
4．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于( )
A．2 B．3 C．5 D．7
答案 D
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2.
由得x2－5x＋4＝0，
∴x1＋x2＝5，x1＋x2＋2＝7.
5．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为( )
A．18 B．24 C．36 D．48
答案 C
解析 不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
依题意，l⊥x轴，且焦点F，
∵当x＝时，|y|＝p，
∴|AB|＝2p＝12，∴p＝6，
又点P到直线AB的距离为＋＝p＝6，
故S△ABP＝|AB|·p＝×12×6＝36.
6．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为__________．
答案
解析 设抛物线上点的坐标为(x，±)，此点到准线的距离为x＋，到顶点的距离为，由题意有x＋＝，∴x＝，∴y＝±，∴此点坐标为.
7．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|＝________.
答案 6
解析 如图，过点M作MM′⊥y轴，垂足为M′，|OF|＝2，
∵M为FN的中点，|MM′|＝1，
∴M到准线距离d＝|MM′|＋＝3，
∴|MF|＝3，∴|FN|＝6
8．已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 设点(x，y)，依题意得点A在以y2＝4x.
过点P(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，
由得ky2－4y＋4k＝0，当k＝0时，显然不符合题意；
当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，化简得k2－1＞0，解得k＞1或k＜－1，
因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
解 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，
设A(x0，y0)，由题意知M，
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，
∵|AM|＝，∴x＋2＝17，
∴x＝8，代入方程x＝2py0得，
8＝2p，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
10．已知抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，O为坐标原点．
(1)求证：l与C必有两交点．
(2)设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．
(1)证明 联立抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，可得2x2－kx－1＝0，
所以Δ＝k2＋8>0，所以l与C必有两交点．
(2)解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，①
因为y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，代入①，
得2k＋＝1，②
由(1)可得x1＋x2＝k，x1x2＝－，代入②得k＝1.
11．若点M(1,1)是抛物线y2＝4x的弦AB的中点，则弦AB的长为________．
答案
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线y2＝4x，可得y＝4x1，y＝4x2，
两式相减，可得k＝＝＝2，
所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，
代入抛物线的方程得4x2－8x＋1＝0，则x1＋x2＝2，x1x2＝，
则＝·
＝＝，
即弦AB的长为.
12．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点．若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为________．
答案 x＝
解析 由抛物线的性质知A，B关于x轴对称．
设A(x，y)，则B(x，－y)，焦点为F.
由题意知AF⊥OB，则有·＝－1.
所以y2＝x，2px＝x.
因为x≠0.所以x＝.
所以直线AB的方程为x＝.
13．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
答案 6
解析 抛物线的焦点坐标F，准线方程为y＝－.代入－＝1得＝ .
要使△ABF为等边三角形，则tan ＝＝＝，解得p2＝36，p＝6.
14．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________．
答案 48
解析 由消去y得x2－10x＋9＝0，得x＝1或9，即或
所以|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，所以|PQ|＝8，
所以梯形APQB的面积S＝×8＝48.
15．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若·＝0，则k等于( )
A. B. C. D．2
答案 D
解析 由题意可知，抛物线的焦点为(2,0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝k(x－2)．
由得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝4.
y1＋y2＝k(x1－2)＋k(x2－2)＝k(x1＋x2－4)＝，
y1y2＝－＝－16.
∴·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)
＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋4
＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4－16－＋4＝0，
解得k＝2，故选D.
16．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
解 (1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝，
又F，所以直线l的方程为y＝.
联立
消去y得4x2－20x＋9＝0，
解得x1＝，x2＝，
故|AB|＝×＝2×4＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线定义，知|AB|＝|AF|＋|BF|
＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，
又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.第2课时 抛物线的方程及性质的应用
学习目标 1.会求一些与抛物线有关的轨迹方程问题.2.解决一些抛物线的综合问题．
知识点一 和抛物线有关的轨迹方程
根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程．
知识点二 直线和抛物线
1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.
2．抛物线的焦点弦
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①y1y2＝－p2，x1x2＝；
②＝x1＋x2＋p；
③＋＝.
1．若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线
答案 D
解析 方法一 设动点P的坐标为(x，y)．
则＝.
整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，
即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.
所以动点P的轨迹为直线．
方法二 显然定点F(1,1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线．
2．已知动圆M与直线y＝3相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x2＝－12y B．x2＝12y
C．y2＝12x D．y2＝－12x
答案 A
解析 设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等．
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.
3．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|等于( )
A．5 B．6 C．8 D．10
答案 C
解析 由抛物线的定义知|P1P2|＝y1＋y2＋p＝6＋2＝8.
4．P为抛物线y2＝2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有( )
A．|PP1|＝|AA1|＋|BB1|
B．|PP1|＝|AB|
C．|PP1|>|AB|
D．|PP1|<|AB|
答案 B
解析 如图所示，根据题意，PP1是梯形AA1B1B的中位线，
故|PP1|＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.
一、和抛物线有关的轨迹问题
例1 设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值．
解 (1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝，
∴＝y＋，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵|AB|＝·
＝·
＝2，
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
反思感悟 求轨迹问题的两种方法
(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．
(2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解的曲线方程．
跟踪训练1 若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．
解 设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1.
因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，
所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.
所以|MC|＝d＋1.
即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．
由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且＝2，p＝4，
故其方程为y2＝8x.
二、抛物线的综合问题
例2 如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N.
(1)求y1y2的值；
(2)连接MN，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值．
(1)解 依题意，设AB的方程为x＝my＋2，
代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8.
(2)证明 设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
＝×＝×＝，
设直线AM的方程为x＝ny＋1，
代入y2＝4x，消去x得y2－4ny－4＝0，
所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4，
＝＝＝，
由(1)知y1y2＝－8，所以＝2为定值．
反思感悟 解决抛物线综合问题的基本策略
对于抛物线的综合问题，可以从直线、抛物线的方程出发，结合解一元二次方程，经过逻辑推理和数学运算，从代数法的角度推证结论．
跟踪训练2 (1) 已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________．
答案
解析 设点B(x，y)，则x＝y2≥0，
所以|AB|＝＝＝＝.
所以当x＝时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝.
(2)已知动点P在y轴的右侧，且点P到y轴的距离比它到点F的距离小1.
①求动点P的轨迹C的方程；
②设斜率为－1且不过点M的直线交C于A，B两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2＝0.
①解 依题意动点P的轨迹是抛物线(除原点)，其焦点为F，准线为x＝－1，
设其方程为y2＝2px，则＝1，解得p＝2，
所以动点P的轨迹C的方程是y2＝4x.
②证明 设直线AB：y＝－x＋b，A，B，
由得y＝－＋b，即y2＋4y－4b＝0，
Δ＝16＋16b>0，所以b>－1，y1＋y2＝－4，因为x1＝，x2＝，
所以k1＋k2＝＋＝＋
＝＋＝＝0.
因此k1＋k2＝0.
与抛物线有关的最值问题
典例 求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离．
解 方法一 设A(t，－t2)为抛物线上的点，
则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离
d＝＝
＝
＝＝2＋.
所以当t＝时，d取得最小值.
方法二 如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，
由
消去y得3x2－4x－m＝0，
∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－.
故最小距离为＝＝.
[素养提升] 求距离的最值，常见的解题思路：
一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决，体现了数学计算的核心素养；
二是利用数形结合转化两平行线间距离求得，体现了逻辑推理素养，提升直观想象能力．
1．动点P(x，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
答案 D
解析 依题意可知动点P(x，y)在直线x＋2＝0的右侧，设P到直线x＋2＝0的距离为d，则|PF|＝d＋1，所以动点P到F(3,0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线.
2．已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝12y D．x2＝12y
答案 A
解析 设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，
则|MA|＝|MN|，
即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，
∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，
以直线l：x＝－3为准线，
∴＝3，∴p＝6，
故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
3．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 D
解析 由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，
设A，B，a>0.
S△AOB＝×2a×＝16，解得a＝4，
∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°.
4．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________．
答案 (4,2)
解析 由得x2－8x＋4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，
故线段AB的中点坐标为(4,2)．
5．已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且·＝0，延长MP到点N，使得||＝||，则点N的轨迹方程是________．
答案 y2＝4x
解析 由于||＝||，则P为MN的中点．设N(x，y)，则M(－x，0)，P，
由·＝0，得·＝0，所以(－x)·1＋·＝0，则y2＝4x，
即点N的轨迹方程是y2＝4x.
1．知识清单：
(1)和抛物线有关的轨迹问题．
(2) 抛物线的综合问题．
2．方法归纳：直接法、定义法、代数法．
3．常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误．
1．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
答案 A
解析 设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r，由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，所以点C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹是抛物线．
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2
答案 B
解析 抛物线的焦点为F，
所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，
即x＝y＋，代入y2＝2px消去x，
得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，
由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，
所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
3．已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．0
答案 B
解析 因为点(x，y)在抛物线y2＝4x上，所以x≥0，
因为z＝x2＋y2＋3＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
所以当x＝0时，z最小，最小值为3.
4．(多选)已知抛物线C：y＝的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，则x0等于( )
A．2 B．－2 C．－4 D．4
答案 CD
解析 ∵抛物线C：y＝，∴x2＝8y，
∴焦点F(0,2)，准线方程为y＝－2.
∵A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，
由抛物线的定义，得y0＋2＝2y0，
∴y0＝2，∴x＝16，
∴x0＝±4.
5．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，·＝16，则p的值为( )
A．2 B．4 C．2 D．8
答案 C
解析 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，
准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)
∴直线AB的方程为y＝x－，
代入y2＝2px可得x2－3px＋＝0，
∴x1＋x2＝3p，x1x2＝，
由抛物线的定义可知，＝x1＋，＝x2＋，
∴·＝
＝x1x2＋(x1＋x2)＋
＝＋p2＋
＝2p2＝16，
解得p＝2.
6．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.
答案 2
解析 双曲线x2－y2＝1的左焦点为(－，0)，
所以－＝－，故p＝2.
7．已知A，B为抛物线y2＝2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为________．
答案
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴y1＋y2＝4，
∵A，B在抛物线上，
∴相减得
y－y＝2(x1－x2)，
即＝＝＝.
8．已知抛物线C：y2＝2x，直线l的斜率为k，过定点M(x0，0)，直线l交抛物线C于A，B两点，且A，B位于x轴两侧，·＝3(O为坐标原点)，则x0＝________.
答案 3
解析 设直线l的方程为y＝k(x－x0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
与抛物线方程联立可得消y并整理可得，k2x2－(2k2x0＋2)x＋k2x＝0，
由根与系数的关系可得，x1x2＝x，则y1y2＝－＝－2x0，
∵·＝3，∴x1x2＋y1y2＝3，即x－2x0＝3，
解得x0＝3.
9．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．求曲线C1的方程．
解 方法一 设点M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝－3.
易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2＞0，所以＝x＋5.
化简得曲线C1的方程为y2＝20x.
方法二 由题设知，条件“对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值”等价于“曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离”．所以，曲线C1是以点(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线，所以曲线C1的方程为y2＝20x.
10．已知抛物线y2＝－8x的顶点为O，点A，B在抛物线上，且OA⊥OB，求证：直线AB经过一个定点．
证明 设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为－，则直线OA的方程为y＝kx，
由得A，
同理可得B(－8k2,8k)，
于是直线AB的方程为y－8k＝(x＋8k2)，整理可得y＝(x＋8)，
因此直线AB经过定点(－8,0)．
11．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意可知，直线AB的方程为
y＝，
代入抛物线的方程可得4y2－12y－9＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝3，y1y2＝－，
故所求三角形的面积为××＝.
12．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A. B．2 C．2 D．3
答案 C
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1)．
联立方程组
解得或
∵点M在x轴的上方，
∴M(3,2)．
∵MN⊥l，
∴N(－1,2)．
∴|NF|＝＝4，
|MF|＝|MN|＝3＋1＝4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形．
∴点M到直线NF的距离为2.
13．已知点A，B在抛物线y2＝4x上且位于x轴的两侧，·＝5(其中O为坐标原点)，则直线AB在x轴上的截距是( )
A．5 B. C. D．4
答案 A
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在抛物线上，所以y＝4x1，y＝4x2，
·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝5，因为y1y2<0，所以y1y2＝－20.
设直线AB在x轴上的截距为m，
若AB斜率不存在，则y1＝－y2，所以y1＝2，从而x1＝5，m＝5，
若AB斜率存在，设直线AB方程为y＝k(x－m)，
由
得ky2－4y－4km＝0，
y1y2＝－4m＝－20，m＝5.
综上，直线AB在x轴上的截距是5.
14．过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则|FA|·|FB|的值为________．
答案 8
解析 过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为的直线方程为y＝x－1，
联立得x2－6x＋1＝0，
Δ＝36－4＝32>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>0，x2>0，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，F(1,0)，
|FA|·|FB|＝·
＝·
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝8.
15．已知直线l与抛物线y2＝6x交于不同的两点A，B，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1·k2＝，则直线l恒过定点( )
A．(－6，0) B．(－3，0)
C．(－2，0) D．(－，0)
答案 C
解析 设直线l为x＝my＋n，联立消去x可得y2－6my－6n＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y2＝－6n，
因为k1·k2＝，即·＝，所以＝＝＝，
所以n＝－2，
所以x＝my－2，
所以直线l一定过点
16．已知动圆E经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值．
(1)解 由已知，动点E到定点D(1，0)的距离等于E到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义知E点的轨迹是以D(1，0)为焦点，以x＝－1为准线的抛物线，故曲线C的方程为y2＝4x.
(2)证明 由题意可知直线l1，l2的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l1的方程为y＝k(x－1)＋2，k≠0.
直线l2的方程为y＝－k(x－1)＋2，
由
得k2x2－(2k2－4k＋4)x＋(k－2)2＝0，
已知此方程一个根为1，
∴x1×1＝＝，
即x1＝，
同理x2＝＝，
∴x1＋x2＝，x1－x2＝＝，
∴y1－y2＝[k(x1－1)＋2]－[－k(x2－1)＋2]
＝k(x1＋x2)－2k＝k·－2k＝，
∴kAB＝＝＝－1，
所以，直线AB的斜率为定值－1.
