§3.1 椭 圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
学习目标 1.理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程.2.掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程.
知识点一 椭圆的定义
1.定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹.
2.焦点:两个定点F1,F2.
3.焦距:两焦点间的距离|F1F2|.
4.几何表示:|MF1|+|MF2|=2a(常数)且2a>|F1F2|.
知识点二 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
图形
焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c的关系 b2=a2-c2
思考 能否根据椭圆的标准方程,判定焦点位置?
答案 能.椭圆的焦点在x轴上 标准方程中含x2项的分母较大;椭圆的焦点在y轴上 标准方程中含y2项的分母较大.
1.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.( × )
2.到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.( × )
3.椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关,与位置无关.( × )
4.椭圆的两种标准形式中,虽然焦点位置不同,但都满足a2=b2+c2.( √ )
一、求椭圆的标准方程
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);
(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点;
(3)经过点P,Q.
解 (1)因为椭圆的焦点在y轴上,
所以设它的标准方程为+=1(a>b>0).
又椭圆经过点(0,2)和(1,0),
所以解得
所以所求的椭圆的标准方程为+x2=1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上,
所以设它的标准方程为+=1(a>b>0),
由椭圆的定义知,
2a=+=2,
即a=,
又c=2,所以b2=a2-c2=6,
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
(3)方法一 ①当椭圆焦点在x轴上时,可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
依题意,有解得
由a>b>0,知不合题意,故舍去;
②当椭圆焦点在y轴上时,可设椭圆的标准方程为
+=1(a>b>0).
依题意,有解得
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
方法二 设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
则解得
所以所求椭圆的方程为5x2+4y2=1,
故椭圆的标准方程为+=1.
反思感悟 确定椭圆标准方程的方法
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置,在中心为原点的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式.
(2)“定量”是指确定a2,b2的具体数值,常根据条件列方程求解.
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)经过两点(2,-),;
(2)过点(,-),且与椭圆+=1有相同的焦点.
解 (1)方法一 (分类讨论法)若焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
由已知条件得解得
则a2b>0矛盾,舍去.
综上,所求椭圆的标准方程为+=1.
方法二 (待定系数法)设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
将两点(2,-),代入,
得解得
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)因为所求椭圆与椭圆+=1的焦点相同,所以其焦点在y轴上,且c2=25-9=16.
设它的标准方程为
+=1(a>b>0).
因为c2=16,且c2=a2-b2,故a2-b2=16.①
又点(,-)在椭圆上,所以+=1,
即+=1.②
由①②得b2=4,a2=20,所以所求椭圆的标准方程为
+=1.
二、椭圆的定义及其应用
例2 已知P为椭圆+=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
解 由已知得a=2,b=,
所以c===3,
从而|F1F2|=2c=6,
在△PF1F2中,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°,
即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=4,
即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②
由①②得|PF1|·|PF2|=4.
所以=|PF1|·|PF2|·sin 60°=.
延伸探究
若将本例中“ ∠F1PF2=60°”变为“∠PF1F2=90°”,求△F1PF2的面积.
解 由已知得a=2,b=,
所以c===3.
从而|F1F2|=2c=6.
在△PF1F2中,由勾股定理可得
|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2,
即|PF2|2=|PF1|2+36,
又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2×2=4,
所以|PF2|=4-|PF1|.
从而有(4-|PF1|)2=|PF1|2+36,
解得|PF1|=.
所以△PF1F2的面积S=·|PF1|·|F1F2|=××6=,
即△PF1F2的面积是.
反思感悟 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化.
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2,称为焦点三角形,可以利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.
跟踪训练2 (1)已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=________.
答案 8
解析 由直线AB过椭圆的一个焦点F1,
知|AB|=|F1A|+|F1B|,
所以在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20,
又|F2A|+|F2B|=12,所以|AB|=8.
(2)椭圆方程为+=1,F1,F2为椭圆的焦点,P是椭圆上一点.若=,求∠F1PF2的大小.
解 由已知得a=2,b=,c=1,
设|PF1|=m,|PF2|=n,∠F1PF2=α,
则
①2-②得mn(1+cos α)=6,④
得=,
即=2,
∴tan =,
∴=30°,α=60°,
即∠F1PF2=60°.
三、与椭圆有关的轨迹问题
例3 (1)已知P是椭圆+=1上一动点,O为坐标原点,则线段OP中点Q的轨迹方程为__________.
答案 x2+=1
解析 设Q(x,y),P(x0,y0),由点Q是线段OP的中点知x0=2x,y0=2y,又+=1.
所以+=1,即点Q的轨迹方程为x2+=1.
(2)如图所示,已知动圆P过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其内切,求动圆圆心P的轨迹方程.
解 设动圆P和定圆B内切于点M,动圆圆心P到两定点A(-3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径,
即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,
所以动圆圆心P的轨迹是以A,B为左、右焦点的椭圆,
其中c=3,a=4,b2=a2-c2=42-32=7,
其轨迹方程为+=1.
反思感悟 求轨迹方程的常用方法
(1)直接法
设出曲线上动点的坐标为(x,y)后,可根据几何条件直接转换成x,y间的关系式;
(2)定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义,可用待定系数法求出轨迹方程;
(3)相关点法(代入法)
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的,只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去.
跟踪训练3 在Rt△ABC中,∠CAB=90°,|AB|=2,|AC|=,曲线E过C点,动点P在曲线E上运动,且|PA|+|PB|是定值.建立适当的平面直角坐标系,求曲线E的方程.
解 以AB的中点O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系.
由题意可知,曲线E是以A,B为焦点,且过点C的椭圆,设其方程为+=1(a>b>0).
因为|AB|=2,|AC|=,
所以|BC|==,
则2a=|AC|+|BC|=+=4,2c=|AB|=2,
所以a=2,c=1,
所以b2=a2-c2=3.
所以曲线E的方程为+=1.
1.椭圆+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 D
解析 设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,|PF1|=2,
结合椭圆定义|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8.
2.已知椭圆4x2+ky2=4的一个焦点坐标是(0,1),则实数k的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 椭圆方程可化为x2+=1,
由题意知解得k=2.
3.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是( )
A.(0,+∞) B.(0,2)
C.(1,+∞) D.(0,1)
答案 D
解析 ∵方程x2+ky2=2,即+=1表示焦点在y轴上的椭圆,
∴>2,故04.已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为________________.
答案 +x2=1
解析 由已知2a=8,2c=2,所以a=4,c=,
所以b2=a2-c2=16-15=1.
又椭圆的焦点在y轴上,
所以椭圆的标准方程为+x2=1.
5.椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,若△PF1F2的面积最大为12,则椭圆标准方程为__________.
答案 +=1
解析 如图,当P在y轴上时
△PF1F2的面积最大,
∴×8b=12,∴b=3.
又∵c=4,∴a2=b2+c2=25.
∴椭圆的标准方程为+=1.
1.知识清单:
(1)椭圆的定义.
(2)椭圆的标准方程.
2.方法归纳:待定系数法、定义法、相关点法.
3.常见误区:
(1)忽视椭圆定义中a,c的条件.
(2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程.
1.椭圆+=1的焦点坐标为( )
A.(5,0),(-5,0) B.(0,5),(0,-5)
C.(0,12),(0,-12) D.(12,0),(-12,0)
答案 C
解析 c2=169-25=144.c=12,故选C.
2.已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),点(0,-3)在椭圆上,则椭圆的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
答案 D
解析 由题意可得解得
故椭圆的方程为+=1.
3.“2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
答案 B
解析 若方程+=1表示椭圆,则解得2所以“24.设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2的面积等于( )
A.5 B.4 C.3 D.1
答案 B
解析 由椭圆方程,得a=3,b=2,c=,∴|PF1|+|PF2|=2a=6,又|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴|PF1|=4,|PF2|=2,由22+42=(2)2,可知△F1PF2是直角三角形,
故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|=×4×2=4,故选B.
5.已知椭圆+=1(a>b>0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线
答案 B
解析 设椭圆的右焦点为F2,
由题意,知|PO|=|MF2|,|PF1|=|MF1|,
又|MF1|+|MF2|=2a,
所以|PO|+|PF1|=a>|F1O|=c,
故由椭圆的定义,知点P的轨迹是椭圆.
6.已知椭圆的中心在坐标原点 ,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为________.
答案 +=1
解析 设所求椭圆的方程为+=1(a>b>0),半焦距为c,由题意可得∴故b2=a2-c2=3,∴椭圆的标准方程为+=1.
7.已知椭圆+=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是________.
答案 4
解析 设椭圆的另一个焦点为E,则|MF|+|ME|=10,
又∵|MF|=2,∴|ME|=8,
又ON为△MEF的中位线,∴|ON|=|ME|=4.
8.已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为________.
答案
解析 如图,由+=1,
知a2=9,b2=7,c2=2.
所以a=3,b=,c=.
所以|F1F2|=2.
设|AF1|=x,则|AF2|=6-x.
因为∠AF1F2=45°,
所以(6-x)2=x2+8-4x·.所以x=.
所以=×2××=.
9.点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离的比是1∶2,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.
解 设点M的坐标为(x,y),d是点M到直线x=8的距离,根据题意,得=.两边平方,并化简得3x2+4y2=48,即+=1.
所以,点M的轨迹是椭圆.
10.已知椭圆M与椭圆N:+=1有相同的焦点,且椭圆M过点.
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.
解 (1)由题意,知椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0),
设椭圆M的方程为+=1(a>b>0),
则化简并整理得5b4+11b2-16=0,
故b2=1或b2=-(舍),a2=5,
故椭圆M的标准方程为+y2=1.
(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),
设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1,
得y0=±.
又+y=1,所以x=,x0=±,
所以点P有4个,它们的坐标分别为,,,.
11.P是椭圆+=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若|PF1|·|PF2|=12,则∠F1PF2的大小为( )
A.60° B.30° C.120° D.150°
答案 A
解析 由椭圆的定义得
|PF1|+|PF2|=8,|F1F2|=2,
∴(|PF1|+|PF2|)2=64,
∵|PF1|·|PF2|=12,∴|PF1|2+|PF2|2=40,
在△F1PF2中,cos∠F1PF2==,
∵0°<∠F1PF2<180°,
∴∠F1PF2=60°.
12.椭圆+=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标为( )
A.± B.± C.± D.±
答案 D
解析 ∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点),
∴PF2⊥x轴,∴点P的横坐标是3,
∵点P在椭圆上,∴+=1,即y2=,∴y=±.
∴点M的纵坐标为±.
13.已知P为椭圆+=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为( )
A.5 B.7
C.13 D.15
答案 B
解析 由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,
从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.
14.已知椭圆C: +=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则 |AN|+|BN|=________.
答案 12
解析 取MN的中点G,G在椭圆C上,因为点M关于C的焦点F1,F2的对称点分别为A,B,故有|GF1|=|AN|,|GF2|=|BN|,所以|AN|+|BN|=2(|GF1|+|GF2|)=4a=12.
15.如图所示,F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2=________.
答案 2
解析 设正三角形POF2的边长为c,则c2=,
解得c=2,从而|OF2|=|PF2|=2,
连接PF1(图略),由|OF1|=|OF2|=|OP|知,PF1⊥PF2,
则|PF1|===2,
所以2a=|PF1|+|PF2|=2+2,即a=+1,
所以b2=a2-c2=(+1)2-4=2.
16.如图,点A是椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴位于x轴下方的端点,过A作斜率为1的直线l交椭圆于点B,若点P的坐标为(0,1),且满足BP∥x轴,·=9,求椭圆C的方程.
解 由题意得A(0,-b),
直线AB的方程为y=x-b,
由P(0,1)且BP∥x轴,得B(1+b,1),
所以=(1+b,1+b),=(0,1+b),
因为·=9,故0+(1+b)2=9,
因为b>0,于是b=2,所以B(3,1),
将B(3,1)代入椭圆+=1,
得+=1,解得a2=12,
综上所述,椭圆C的方程为+=1.