辽宁省凤城市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版含答案）

凤城市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试
数学试题
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
一.单选题（共8道题，每题5分，共40分）
在各项都为正数的等比数列中，a1=3，前三项和为21，则a3 + a4 + a5 =（ ）
A．33 B．72 C．84 D．189
2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划”)，明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式。如果甲、乙两人通过强基计划的概率分别为，，那么两人中恰有一人通过的概率为 （　　）
A. B. C. D.
3．如图是相关变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程＝x+，相关系数为r1；方案二：剔除点（10，21），根据剩下数据得到线性回归直线方程＝x+，相关系数为r2．则（　　）
A.0＜r1＜r2＜1 B.0＜r2＜r1＜1 C.﹣1＜r1＜r2＜0 D.﹣1＜r2＜r1＜0
4．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为（　　）
A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0
5．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1＞0，S10＝S20，则不成立是（　　）
A．d＜0 B．a16＜0
C．Sn的最大值是S15 D．当且仅当Sn＜0时，n＝32
6．定义：在数列中，若满足 为常数），称为“等差比数列”,已知在“等差比数列”中，,则（　　）
A. B. C. D.
7．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二.多选题（共4道题，每题5分，共20分，部分选对得2分，有错误得0分）
9、设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
A. B.，
C. D.，
10. “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的（ ）
A. 该地水稻的平均株高为100cm
B. 该地水稻株高的方差为10
C. 随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大
D. 随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大
11．已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则下列选项中正确的是（ ）
A. B. C.数列是递增数列 D.数列是递减数列
12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足2f（x）+xf′（x）＝，f（1）＝0，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）在x＝处取得极小值，极小值为
B．f（x）只有一个零点
C．若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，则k＞
D．f（1）＜f（）＜f（）
三.填空题（每题5分，共20分）
13. 随机变量，若，，则__________.
14．已知函数在上不是单调函数，则的取值范围是________．
15. 已知数列满足，则数列的通项公式为________．
16．若关于x不等式x＞kex（x+1）的解集中的正整数有且只有一个，则k的取值范围是 　 ．
四.解答题（共6道题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17．在等差数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，已知a2＝4，S4＝20．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若 ______，求数列{bn}的前n项和Tn．
（在①bn＝；②bn＝（﹣1）n an两个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解，如果多写按第一个计分）
18．盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶，由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”，某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A、B、C三种样式，且每个盲盒只装一个．
（1）某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回，经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占；而在未购买者当中，男生女生各占50%，请根据以上信息填写下表，并判断是否有95%的把握认为购买该款盲盒与性别有关？
女生 男生 总计
购买
未购买
总计
附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（2）该销售网点已经售卖该款盲盒6周，并记录了销售情况，如表：
周数x 1 2 3 4 5 6
盒数y 16 23 25 26 30
由于电脑故障，第二周数据现已丢失，该销售网点负责人决定用第4、5、6周的数据求线性回归方程，再用第1，3周数据进行检验．
①请用4，5，6周的数据求出少关于x的线性回归方程＝x+；
（注：＝＝，＝﹣）
②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2盒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠？
19．已知函数f（x）＝有极小值﹣6．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求m的值；
（3）求f（x）在[﹣3，4]上的最大值和最小值．
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝3﹣2an．
（1）求证：{an}是等比数列；
（2）求数列{nan}的前n项和Tn．
21．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选种，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为．
（1）证明：为等比数列；
（ⅱ）证明：当时，．
22．已知函数f（x）＝axalnx（a＞0）．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝e处的切线方程；
（2）若f（x）≤xex对于任意的x＞1都成立，求a的最大值．
凤城市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试
答案
CCDA DABB ACD AC AB BCD．
13. 90 14. 15. 16. ．
17（1）等差数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，已知a2＝4，S4＝20．
设首项为a1，公差为d，
所以，解得，故an＝2n．--------------5分
（2）由（1）得：
选条件①时，bn＝＝，
故＝1﹣；---------------10分
选条件②时，bn＝（﹣1）n an＝（﹣1）n 2n，
当n为偶数时，；
当n为奇数时，Tn＝（﹣2+4）+（﹣6+8）+...+[﹣2（n﹣2）+2（n﹣1）]﹣2n＝（n﹣1）﹣2n＝﹣n﹣1，
所以．-----------------------------10分
18（1）2×2列联表：
女生 男生 总计
购买 40 20 60
未购买 70 70 140
总计 110 90 200
K2＝≈4.714．
因为4.714＞3.841，
故有95%把握认为“购买该款盲盒与性别有关”；------------------------------6分
（2）①由数据，求得＝5，＝27．
＝＝，
＝27 ×5＝14.5．
所以y关于x的线性回归方程为＝2.5x+14.5．
②当x＝1时，＝2.5×1+14.5＝17，|17﹣16|＝1＜2；
当x＝3时，＝2.5×3+14.5＝22，|22﹣23|＝1＜2．
所以，所得到的线性回归方程是可靠的．
19（1）f′（x）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），
令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞3，
令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜3，
所以f（x）单调递减区间为（﹣1，3），单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）． ---------------------------------------------4分
（2）由（1）知，f（x）极小值＝f（3）＝×33﹣33﹣3×2+m＝﹣6，
解得m＝3． ---------------------------------------------8分
（3）由（1）知，f（x）在（﹣3，﹣1）单调递增，在（﹣1，3）上单调递减，在（3，4）上单调递增，
f（﹣3）＝×（﹣3）3﹣（﹣3）2﹣3×（﹣3）+3＝-6，
f（﹣1）＝×（﹣1）3﹣（﹣1）2﹣3×（﹣1）+3＝14/3，
f（3）＝×（3）3﹣（3）2﹣3×（3）+3＝-6，
f（4）＝×（4）3﹣42﹣3×4+18＝-11/3
所以f（x）在[﹣3，4]上的最大值为14/3，最小值为-6．-------------12分
20（1）证明：数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝3﹣2an，①，
当n＝1时，整理得：a1＝1；
当n≥2时，Sn﹣1＝3﹣2an﹣1，②，
①﹣②得：an＝﹣2an+2an﹣1，
整理得：（常数），
故数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列；----------------6分
（2）由（1）得：．
所以，
所以①，
②，
①﹣②得：，
所以：，
整理得：．
当n＝1时，满足上式，
故：．-------------------------------------12分
21.解：（1）设“第天选择米饭套餐”，“第天选择米饭套餐”，
则“第天不选择米饭套餐”．
根据题意，，，．
由全概率公式，得．
---------------------------------------------------4分
（2）（i）设“第天选择米饭套餐”，则，，
根据题意，．
由全概率公式，得．
因此．
因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列．--------------------8分
（ii）由（i）可得．
当为大于的奇数时，．
当为正偶数时，．
因此当时，． ----------------------------------------------12分
22.（1）当a＝1时，f（x）＝xlnx，得f′（x）＝lnx+1，
则f（e）＝e，f′（e）＝2，
所以y＝f（x）在x＝e处的切线方程为y＝2x﹣e．---------------------4分
（2）当a＞0且x＞1时，
由于f（x）≤xex axalnx≤xex xalnxa≤xex xalnxa≤ex lnex，
构造函数g（x）＝xlnx，
得g′（x）＝lnx+1＞0（x＞1），所以g（x）＝xlnx在（1，+∞）上单调递增，
f（x）≤xex xalnxa≤ex lnex g（xa）≤g（ex），
f（x）≤xex对于任意的x＞1都成立，又xa＞1，ex＞1，再结合g（x）的单调性可知，
xa≤ex对于任意的x＞1都成立，即a≤对于任意的x＞1都成立，
令h（x）＝，则h′（x）＝，
h′（x）＞0 x＞e，h′（x）＜0 1＜x＜e，
则h（x）在（1，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
故h（x）min＝h（e）＝e，故a≤e，
所以a的最大值为e． --------------------------------------------12分