新河县中2021-2022学年高二下学期期中考试
答案
选择1，B2，A 3B 4B 5C 6A题意得，函数的定义域为，且，∵函数的图象上存在与直线x＋2y＝0垂直的切线，即有正数解，即在上有解，∵x>0，∴，∴．
7，A将6名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有种不同的方案，若每项比赛至少要安排一人时，则首先将6人分成3组，3组的人数为或或，这样无序分组的方法有种，然后将3个小组与3个比赛对应，又有种，则共有种不同的方案，所以，故选择A，注意无序分组中均匀分组与非均匀分组的计数区别，否则会犯错.
8C记骰子掷出的点数为i，，事件B: 取出的球全是白球，则,，
所以
所以若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为：.
故选：C.
二，9．10AB 11BCD由题， ，
事件表示“第1，2只出笼的猫都是黑猫”，则，故A错误；
事件表示“第1只或第2只出笼的猫是黑猫”，则，故B正确；则，故C正确；事件表示“第2，10只出笼的猫是黑猫”，则，则，故D正确，
故选：BCD 12【答案】AC ,
，因为，所以，
令，，可知在上单调递减，所以，即，，故选：AC
填空13，2880 14,2 15 16
由题意知：，由可得，即不等式恒成立，令，易得为斜率大于0的一条直线，；，当时，单增，
当时，单减，又，要使不等式恒成立，必有的零点与的零点重合
或者在的零点左侧，如图所示：
故有，解得，当且仅当恰为在处的切线时取等，此时的图像恒在图像的下方，即满足恒成立，即恒成立.又，故在处的切线方程为，即时，取得最小值.故答案为：.
解答
17，4分（1）； （2）6分 ,
18(1)记甲、乙、丙3校独自答对这道题分别为事件，，，分别设甲、乙、丙3校答对这道题的概率分别为，，，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此，，是相互独立事件.........................................1分
由题意可知，，，解得，.
所以，乙答对这道题的概率为，丙答对这道题的概率为........................3分
甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确为事件，则概率为，其反面是三所学校都回答错误，即..........5分
则三所学校中至少1所学校回答正确的概率为；..................6分
(2)若规定三所学校需要抢答这道题，
则这个问题回答正确设为事件，得到抢答机会分别是事件，，，则
，，，，，，8分
则
，这个问题回答正确的概率为...................12分
19,(1)
当时, ,则，以f(1)=e, ，
所以曲线在处的切线方程为y-e=3e(x-1),即y=3ex-2e.........................4分
(2)
.由得.
当a=0时,解得x=0.
故当x>0时, ,当x<0时, .
所以的单调递增区间为,单调递减区间为......................................6
当a<0时,解得x=0或.当x<0时, ；当时，；
当时, .
所以的单调递增区间为,单调递减2区间为和.........8
当a>0时,解得x=0或.当x>0时, ；当时，；
当时,
所以的单调递增区间为和,单调递减区间为...................10
综上所述：当a=0时,的单调递增区间为,单调递减区间为.
当a<0时,的单调递增区间为,单调递减区间为和.
当a>0时,的单调递增区间为和,单调递减区间为...............12
20，解：记一轮踢球，甲命中为事件，乙命中为事件，，相互独立．
由题意，，甲的得分的可能取值为，，1
，
．
，.......................2
的分布列为：
．.................................4
由，
．
经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲轮各得分；甲轮中有轮各得分，轮得分；甲轮中有轮得分，轮各得分；甲轮中有轮各得分，轮得分．
，...............8
规定，且有，
代入得：，
，数列是等比数列，
公比为，首项为，．
．.
12分
21.（1）；（2）直线l恒过定点(，0)．【详解】
（1）因为椭圆C：(a>b>0)的离心率e=，所以，即，
又椭圆的短轴长为2，所以b=1，a=2，所以椭圆C的方程为.
.................4分
（2）设直线l的方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组，消去y，得..........5
，即，，........6
因为QA所在的直线与QB所在的直线关于x轴对称，
所以，....8
即
得化简得，....10分
直线l的方程为，所以，直线l恒过定点(，0)．..............12分
22，【答案】(1)函数的极值点个数为1
(1)由题意得，，，
令，即，则，
令，则恒成立，
∴函数在上单调递增，而，
∴有1个解，即函数有且仅有1个极值点，记为，
则当时，单调递增，当时，单调递减，
∴是的极小值点，无极大值点，
即函数的极值点个数为1．....................5分
(2)
要证在上恒成立，即证．........6分
∵，∴，易得函数在上单调递增．
又，，
∴存在，使，即，即．..........8
当时，；当，，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，.............10
∴恒成立，..........11分
∴对任意恒成立．....................12分新河县中2021-2022学年高二下学期期中考试
数学试题
一. 选择题: 本题共8小题, 每小题5分, 共40分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1．已知函数，则（ ）
A．12 B．6 C．3 D．
2. 已知二项式 的所有二项式系数之和等于 , 那么其展开式中含 项的系数是( )
A. B. C. D.
3. 将 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰显 个项目进行培训,每名志愿者只分配到 个项目, 每个项目至少分配 名志愿者, 则不同的分配方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4. 已知随机变量 服从正态分布 , 若 , 则
A. B. C. D.
5. 围棋起源于中国, 据先秦典籍く世本〉〉记载: “尧造围棋, 丹朱善之”, 至今已有四千多年历史.围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智, 而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联, 蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际围棋比赛中, 甲、乙两人进入最后决赛.比赛采取五局三胜制, 即先胜三局的一方获得比赛冠军, 比赛结束. 假设每局比赛甲胜乙的概率都为 , 且各局比赛的胜负互不影响, 则在不超过 局的比赛中甲获得冠军的概率为( )
A. B. C. D.
6．若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．将6名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有种不同的方案，若每项比赛至少要安排一人时，则共有种不同的方案，其中的值为（ ）
A． B． C． D．
8.袋中有4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（ ）
A． B． C． D．
二, 选择题: 本题共 小题, 每小题 分, 共 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 分, 部分选对的得 分, 有选错的得 分.
9．某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选学科，另外需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中任选3门进行学习．现有甲、乙、丙三人，则下列结论正确的是
A．如果甲必选物理，则甲的不同选科方法种数为10
B．甲在选物理的条件下选化学的概率是
C．乙、丙两人至少一人选化学与这两人全选化学是对立事件
D．乙、丙两人都选物理的概率是
10．下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量的概率分布列为，则
B．若随机变量且，则
C．若随机变量，则
D．在含有件次品的件产品中，任取件，表示取到的次品数，则
11．一个笼子里关着10只猫，其中有4只黑猫 6只白猫，把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫，猫争先恐后地往外钻，如果10只猫都钻出了笼子，事件表示“第只出笼的猫是黑猫”，，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数的导数为，时，有，，则下列不等式成立的有（ ）
A． B． C． D．
三. 填空题: 本题共 小题, 每小题 分, 共 分.
13．排一张5个独唱和3个合唱的节目单，如果合唱节目不排两头，且任何两个合唱不相邻，符合条件的排法共有___________种.
14．已知随机变量的分布列如下表，表示的方差，则___________.
0 1 2
15.在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为__________．
16.当a＞0时，若不等式恒成立，则的最小值是__________．
四，解答题: 本题共 小题, 共 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知公差为正数的等差数列 和等比数列 中, ,
(1) 求数列 和数列 的通项公式;
(2) 若数列 的前 项和为 , 求数列 的前 项和.
18，今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.
(1)若规定三个学校都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确这道题的概率；
(2)若规定三所学校需要抢答这道题，已知甲校抢到答题机会的概率为，乙校抢到的概率为，丙校抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率.
19．己知函数
(1)若，求曲线在处的切线方程．
(2)讨论的单调区间．
20. 为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》, 完善学校体育 “健康知识+基本运动技能+专项运动技能” 教学模式, 建立 “校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛” 为一体的竞赛体系, 构建校、县(区)、地(市)、省、国家五级学校体育竞赛制度. 某校开展 “阳光体育节” 活动, 其中传统项目 “定点踢足球” 深受同学们喜爱. 其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛(每人各踢一次为一轮), 在相同的条件下,每轮甲、乙两人在同一位置, 甲先踢, 每人踢一次球, 两人有 人命中, 命中者得 分,末命中者得－1 分; 两人都命中或都末命中, 两人均得 分, 设甲每次踢球命中的概率为, 乙每次踢球命中的概率为 , 且各次踢球互不影响.
(1) 经过 轮踢球, 记甲的得分为 , 求 的数学期望;
(2)若经过 轮踢球, 用 表示经过第 轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率.
（i）求 ;
(ii)规定 , 且有 , 请根据(1)中 的值求出 , 并
求出数列 的通项公式.
21已知椭圆的方程为，且椭圆的短轴长为2，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，点，若所在的直线与所在的直线关于轴对称，直线是否恒过定点，若是，求出该定点的坐标．
22．已知函数．
(1)求函数的极值点个数；
(2)若，求证：对任意恒成立．
