(共19张PPT)
6.4.3.1 余弦定理
第六章 平面向量及其应用
创设情境
武广高铁的路线规划要经过一座小山丘，就需要挖隧道，从而涉及到一个问题，就是要测量出山脚的长度.而两山脚之间的距离是没有办法直接测量的，那要怎样才能知道山脚的长度呢？
A
B
C
500m
120°
实际问题转化为数学问题
在△ABC中，已知AC=500m，BC=300m，C=120°，求AB.
300m
b
a
c=？
从特殊到一般：已知三角形的两边及其夹角,求第三边.即：已知a、b及C,求c.
探究1：
如右图，在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
b
c
a
探究新知
分析：因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们可以考虑用向量的数量积来研究.
我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．
这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的．也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示．那么，
表示的公式是什么？
所以
①把几何元素用向量表示：
②进行恰当的向量运算：
③向量式化成几何式：
同理可得
探究新知
探究1：如右图，在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
那么
→
→
→
设 ，
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
c
a
b
→
→
→
→
→
→
→
余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即
你能用其他方法证明余弦定理吗？
探究新知
1、余弦定理
思考1：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？
已知两边和夹角，求第三边(SAS型)
余弦定理及其推论把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画.
探究新知
已知三边求任意一个角(SSS型)
2、余弦定理的推论
从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式.
余弦定理的推论
思考2：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系．你能说说这两个定理之间的关系吗？
由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例．
探究新知
3、余弦定理与勾股定理的关系
在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，这便是勾股定理.
A
a
B
C
b
c
A
c
b
A
b
c
>
<
=
由此可以猜想：余弦定理可以判断三角形的类型.
探究新知
探究2：当角C为直角时，有c2=a2+b2，当角C为锐角时，这三者的关系是什么？钝角呢？
推论：
当C为锐角时，c2 a2+b2
当C为钝角时，c2 a2+b2
当C为直角时，c2 a2+b2
探究新知
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
4、解三角形的定义
探究3：在三角形的三条边和三个角中，已知哪些元素，可以求出哪些元素？
思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1) 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形． ( )
(2) 在△ABC中，已知两边及其夹角时，△ABC不唯一． ( )
(3)在△ABC中，已知三个元素可求其余三个元素． ( )
(4)在△ABC中，若b2＋c2
(5) 在△ABC中，若a2小试牛刀
√
×
√
×
×
注意：已知三角求不出三边.
题型1 已知两边及其夹角解三角形
典例分析
例1 在△ABC中，已知b＝3，c＝ ，A＝30°，解这个三角形.
解：由余弦定理，得
由余弦定理的推论，得
所以C=180°－(A+B)=180°－(30°+60°)=90°．
a = b +c －2bccosA
= 3 +( ) －2×3× ×cos30°
= 3
所以 a=
所以B=60°．
解：由余弦定理，得
应用知识
c = a +b -2abcosC
=300 +500 －2×300×500×cos120°
=490000，
所以 c=700(m)．
回到情境中的问题：在△ABC中，已知a=300 m，b=500m，C=120°，求c．
A
B
C
500m
120°
300m
b
a
c=？
典例分析
题型2 已知三边解三角形
解：由余弦定理得
例2 在△ABC中，a= ，b=2，c= ，解这个三角形.
例3 在△ABC中，若c＝ ，b＝5，且cos C＝ ，求a.
典例分析
思考：已知两边及一边的对角时，想一想如何来解这个三角形？
题型3 已知两边及一边对角解三角形
方法总结：关键是利用含有已知角的余弦公式，得到一个一元二次方程.
总结提升
余弦定理及其推论可以解决三角形问题的类型：
(1)已知两边及其夹角，求第三边和另两角；
(2)已知三边，求三角；
(3)已知两边及一边的对角，求第三边和另两角.
巩固练习
B
C
巩固练习
3. 在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝ cm，A＝ ，解三角形.
课堂小结
这节课你的收获是什么 请填一填.
余弦定理 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于 减去这两边与它们的 的两倍.
公式表达 a2＝ ，
b2＝ ，
c2＝ .
变形
cos A＝ ；cos B＝ ；cos C＝ .
其他两边的平方的和
夹角的余弦的积
作业：教科书练习P44 1(2)、2、3
课后思考与作业
1.在△ABC中，a=7，b=5，c=3，判断△ABC的形状.
2.在△ABC中，若a＝2bcosC，△ABC的形状为 .
课后思考：(共18张PPT)
6.4.3. 2正弦定理
第六章 平面向量及其应用
余弦定理 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于 减去这两边与它们的 的两倍.
公式表达 a2＝ ，
b2＝ ，
c2＝ .
变形
cos A＝ ；cos B＝ ；cos C＝ .
其他两边的平方的和
夹角的余弦的积
复习引入
余弦定理及其推论可以解决三角形问题的类型：
(1)已知两边及其夹角，求第三边和另两角；
(2)已知三边，求三角；
(3)已知两边及一边的对角，求第三边和另两角.
复习引入
如图，设A，B两点在河的两岸，测量者为了得到 A，B两点之间的距离．测量者在B的同侧，在所在的河岸选定一个点C，测出BC的距离是24 m， ∠B=45°，∠C=60°，求A，B两点间的距离．
创设情境
余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式. 如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？
在 ABC中，设A的对边为a，B的对边为b，求A，B，a，b之间的定量关系.
为方便，不妨假设 ABC为直角三角形. 如图：
探究新知
对锐角三角形和钝角三角形，以上关系是否任然成立？
因为涉及三角形的边、角关系，所以任然采用向量的方法来研究.
思考：向量的数量积中出现的是角的余弦,而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？
cos(90°－α)=sinα
探究新知
锐角三角形情形
因为 ,
也即
所以
如图，在锐角 ABC中，过点A作 与垂直的单位向量 ，则
与 的夹角为 ， 与 的夹角为 .
探究新知
因此
过点C作 与垂直的单位向量m，可得
→
→
→
→
所以
→
→
得
→
→
→
→
即
→
→
→
→
钝角三角形情形
如图，在钝角 ABC中，过点A作 与垂直的单位向量 ，则
与 的夹角为 ， 与 的夹角为 .
仿照上述方法，同样可得
综上所述，可以得到如下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即
你能用其他方法证明正弦定理吗？
探究新知
→
→
→
→
思考：我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？
1．已知三角形的任意两个角与一边，解三角形．
2．已知三角形任意两边与其中一边的对角，解三角形．
定理解读
例1 在△ABC中，已知 A=15°，B=45°，c=3+ ，解这个三角形.
由正弦定理，得
由三角形内角和定理得C=120°.
典例分析
解：
回到情境中的问题：
如图，在△ABC中，BC=24，∠B=45°，∠C=60°，求AB．
应用知识
解：
由正弦定理，得
由三角形内角和定理得A=75°.
例2 在△ABC中，已知 B=30°，b= ，c=2 ，解这个三角形.
典例分析
A
C
b
A
C
b
A
C
b
B
或 有一个解
时无解
时有两个解
问题：为什么角C 有两个值？
探究问题
由三角函数的性质可知，在区间(0,π)内，余弦函数单调递减，所以利用余弦函数求角，只有一解；正弦函数在区间(0, )内单调递增，在区间( ,π)内单调递减，所以利用正弦函数求角，可能有两解.
4.已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c.
答案：
巩固练习
1．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于( )
A． B． C. D．
2．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于_____．
3．在△ABC中，若a＝3，b＝ ，A＝ ，则C＝________.
B
1.正弦定理：
2.正弦定理可解决哪几类解三角形的问题？
1.已知两角和一边，解三角形；
2.已知两边和其中一边的对角，解三角形
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即
课堂小结
1.证明：设三角形的外接圆的半径是R，则a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC.
探究问题
2.你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗？
正弦定理是边角互化的依据，作用是把边化成角，把角化成边.
应用知识
1．在△ABC中，sinA : sinB : sinC=5 : 7 : 8，则角B的大小是 .
2．在△ABC中，若sinA = 2sinBcosC，且sin2A=sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状.
等腰直角三角形
3．在△ABC中，若a=3，b=10，C=60°，求△ABC的面积.
5.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且acosC+ asinC－b－c=0.
(1)求A; (2)若a=2，则△ABC的面积为 ，求b,c.
解：
(1)由acosC+ asinC－b－c=0及正弦定理，得
sinAcosC+ sinAsinC－sinB－sinC=0
由于 sinB= sin(A+C)，所以
sinAcosC+ sinAsinC = sinAcosC+cosAsinC+sinC
整理，得 sinA－cosA=1，
即sin(A－ )=
又 0< A<π，故A=
(2)由于△ABC的面积S= bcsinA= ，故bc=4.
由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，故b2+c2=8.
所以b=c=2.(共23张PPT)
6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例
第六章 平面向量及其应用
1
课前自主复习
*
变形
余弦定理：
注意：在△ABC中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，要记熟并灵活地加以运用：
1.正弦定理：
（其中R为△ABC的外接圆半径）
2.正弦定理的变形：
3.三角形面积公式：
将等式中的边换成角，转化成三角恒等变换，注意2R约掉.
将等式中的角换成边，注意2R约掉.
1
课前自主复习
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？
今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离.
2
课程导入
几个概念
1
铅垂平面
【定义】与地面垂直的平面
坡角
【定义】坡面与水平面的夹角
坡度(坡比)
【定义】坡面铅垂高度与水平宽度之比
几个概念
1
仰角和俯角
【仰角】目标视线在水平线上方与水平线的夹角
【俯角】目标视线在水平线下方与水平线的夹角
方位角
【定义】从某点的正北方向起，按顺时针方向
旋转到目标方向线所成的最小正角
方向角
【定义】正北或正南方向线与目标方
向线所成的锐角
铅
垂
线
视线
视线
水平线
仰角
俯角
北
东
北
东
测量距离问题
1
题型1——不相通的两点间的距离
C
测量距离问题
1
题型2——可到达点与不可到达点之间的距离
测量距离问题
1
题型3——两个不可到达点之间的距离
典例分析
例1 如图，A, B两点都在河的对岸（不可到达）,设计一种测量A, B两点间的距离的方法，并求出A, B的距离.
分析：可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A，B两点间的距离.
解：测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD=a，
并且在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，
∠CDB=γ， ∠BDA=δ，在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得
于是，在△ABC中，由余弦定理可得A,B两点间的距离为
1
规律总结
在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式.
1
测量高度问题
2
题型1——底部可达
C
测量高度问题
2
【解法】测得CD及∠ADC，∠ACB的度数，先用正弦定理求出AC(或AD)，
再解直角三角形ABC(或RtΔABD)，求出AB的长度
题型2——底部不可达(B与C,D共线)
C
D
例2 设AB是一个底部不可到达的竖直建筑物，A为建筑物的最高点，如何测量和计算建筑物AB的高度．
解：选择一条水平基线HG，使H,G,B三点在同一条直线上.
在H,G两点用测角仪测得A的仰角分别是α, β，CD = a，测角仪器的高是h.
那么，在△ACD中，由正弦定理，得
所以，这座建筑物AB的高度为
典例分析
2
测量高度问题
2
【解法】：测得CD及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数，在ΔBCD中由
正弦定理求得BC，再解ΔABC求得AB的长度.
题型3——底部不可达(B与C,D不共线)
C
D
规律总结
测量顶部或底部不可到达的建筑物的高度问题，由于顶部或底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但可用正、余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题.
2
测量角度问题
3
测量角度问题主要指的是在海上或空中. 如：确定目标的方位，观察某一建筑的视角等问题，解题的关键是根据题意和图形及有关概念抽象出一个或几个三角形，确定所求角在哪个三角形中，分析三角形中有哪些是已知量，需要求哪些量，然后通过解三角形得到所求的量，进而得到实际问题的解. 解题时应认真审题，结合图形选择相关定理，这是最重要的一步.
考
什
么
①作为测量问题，重点考察长度，距离，高度，角度等问题
①正弦定理和余弦定理的实际测量问题的应用难度降低，命题形式一般为填空题
②作为平面几何问题，重点考察解三角形或者求三角形面积问题
怎
么
考
②三角形的面积公式成为高考考察的高频考点，试题会牵涉到三角函数的图像与性质，三角恒等变换及基本不等式等等.
例3 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是北偏东多少度(精确到1°) 需要航行的距离是多少海里(精确到1n mile)
解：根据题意，画岀示意图由余弦定理，得
于是BC ≈24 (n mile)
由正弦定理，得 ，
即
由于 0°因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东46° + 30° = 76°，大约需要航行24 n mile.
典例分析
3
规律总结
3
(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离.
(2)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解.
练习
－ － － － － － － － － － － － － －
1. 如图, 一艘船向正北航行, 航行速度的大小为32.2 n mile/h，在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向上. 30 min后，船航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向上，已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗
北
A
20°
S
B
65°
解：在△ABS中, AB=32.2×0.5 =16.1 (n mile), ∠ABS=115°.
∴S到直线AB的距离为
∴这艘船可以继续沿正北方向航行 .
练习
－ － － － － － － － － － － － － －
2. 如图示，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为γ. 求证:
练习
－ － － － － － － － － － － － － －
∴此船应该沿北偏东56°的方向航行，需要航行约为113.15海里.
3. 如图示，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67. 5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54 n mile后到达海岛C. 如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘船应该沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少
北
A
75°
C
B
32°
3
求解三角形应用题的一般步骤：
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；
(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.
3
课堂小结