绝密☆启封并使用完毕前
2022年高考全国卷-----数学押题卷（预测卷）
数 学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共12小题。
一、本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则中元素的个数为
A．1 B．5
C．6 D．无数个
2.设为虚数单位，复数满足，则共轭复数的虚部为
A． B．
C． D．
3.设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.在中，，，若，则
A． B．
C． D．
5．已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为
A． B． C． D．
6.已知函数的相邻对称轴之间的距离为，将函数图象向左平移个单位得到函数的图象，则
A． B．
C． D．
7.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是
A．158 B．162
C．182 D．324
8.执行如图所示的程序框图，则输出的值为
A． B．
C． D．
9.已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（a＞0，b＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为
A． B．
C． D．
10.安排，，，，，，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工不安排照顾老人甲，义工不安排照顾老人乙，则安排方法共有
A．30种 B．40种 C．42种 D．48种
11.已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满足，则a的取值范围是
A． B．
C． D．
12.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则为
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。
第Ⅱ卷共11小题。
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．
14.在数列中，，则的值为______．
15.在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．
16.已知函数若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin ＝b sin A.
(1)求B.
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
18.国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%.武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量(单位：吨)进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾量超过28吨/天的确定为“超标”社区：
垃圾 量X [12.5, 15.5) [15.5, 18.5) [18.5, 21.5) [21.5, 24.5) [24.5, 27.5) [27.5, 30.5) [30.5, 33.5]
频数 5 6 9 12 8 6 4
(1)通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值(精确到0.1)；
(2)若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为(1)中的样本平均值，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝5.2.请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数．
(3)通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设Y为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y的分布列与数学期望．
(参考数据：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3)
19.如图1，在等边△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的动点且满足DE∥BC，记＝λ.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．
(1)当EN∥平面MBD时，求λ的值；
(2)试探究：随着λ值的变化，二面角B MD E的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角B MD E的正弦值大小．
20.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆C与y轴交于点A，B(点B在x轴下方)，D(0，4)，直径为BD的圆过点E(－a，0).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过D点且不与y轴重合的直线与椭圆C交于点M，N，设直线AN与BM交于点T，证明：点T在直线y＝1上．
21．已知函数f(x)＝(x－1)2－x＋ln x(a>0).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若1
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
.在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）当时，写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）已知点，设直线l与曲线C交于A，B两点，试确定的取值范围．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）若的最小值为1，求实数的值；
（2）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围．绝密☆启封并使用完毕前
2022年高考全国卷-----数学押题卷（预测卷）
数 学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共12小题。
一、本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则中元素的个数为
A．1 B．5
C．6 D．无数个
【答案】C
【解析】由题得，
所以A中元素的个数为6.
故选C.
2.设为虚数单位，复数满足，则共轭复数的虚部为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据条件求出复数，然后再求出共轭复数，从而可得其虚部．
【解析】∵，
∴，
∴，∴复数的虚部为．故选C．
3.设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由可得，
由可得，
据此可知“”是“”的必要而不充分条件.
故选B．
4.在中，，，若，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以点是的中点，又因为，所以点是的中点，所以有：
，因此
，故题选D.
5．已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令1，得展开式的各项系数和为，
，，
，
所求展开式中常数项为的展开式的常数项与项的系数和，
展开式的通项为，
令得；令，无整数解，
∴展开式中常数项为，故选D．
6.已知函数的相邻对称轴之间的距离为，将函数图象向左平移个单位得到函数的图象，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由函数的相邻对称轴之间的距离为，得，即，所以，解得，
将函数的图象向左平移个单位，
得到的图象，故选C．
7.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是
A．158 B．162
C．182 D．324
【答案】B
【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为.
故选B.
8.执行如图所示的程序框图，则输出的值为
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据程序框图进行模拟运算得到的值具备周期性，利用周期性的性质进行求解即可．
【解析】∵，∴当时，；时，；
时，，时，，即的值周期性出现，周期数为4，
∵，则输出的值为，故选A．
9.已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（a＞0，b＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】依题意椭圆与双曲线即的焦点相同，可得：，即，
∴，可得，
∴双曲线的渐近线方程为：，
故选A．
10.安排，，，，，，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工不安排照顾老人甲，义工不安排照顾老人乙，则安排方法共有
A．30种 B．40种 C．42种 D．48种
【答案】C
【解析】名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：种安排方法，
其中照顾老人甲的情况有：种，
照顾老人乙的情况有：种，
照顾老人甲，同时照顾老人乙的情况有：种，
∴符合题意的安排方法有：种，故选C．
11.已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满足，则a的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数，
又由函数在区间上单调递增，
可得，则，
即，解得，
即a的取值范围为.
故选C．
12.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设准线与轴交于点，作垂直于准线，垂足为.
由，得：，
由抛物线定义可知：，设直线的倾斜角为，
由抛物线焦半径公式可得：，解得：，
，解得：，
本题正确选项为B.
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。
第Ⅱ卷共11小题。
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．
【答案】
【解析】由余弦定理得，所以，即，
解得（舍去），
所以，
14.在数列中，，则的值为______．
【答案】1
【解析】因为
所以，
,
,
各式相加，可得
，
，
所以，，故答案为1.
15.在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．
【答案】
【解析】如图，在等边三角形中，取的中点，设等边三角形的中心为，连接PF，CF，OP.
由，得，
是以为斜边的等腰角三角形，,
又平面平面，平面，
，，
则为棱锥的外接球球心，外接球半径，
该三棱锥外接球的表面积为，
故答案为.
16.已知函数若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是______．
【答案】
【解析】作出函数的图象如图所示，
由，可得， 即，
不妨设 ，则，
令，则，
，
令，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
当时，取得最大值，为.
故答案为.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin ＝b sin A.
(1)求B.
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
【解析】(1)由题设及正弦定理得
sin A sin ＝sin B sin A.因为sin A≠0，所以sin ＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin ＝cos ，
故cos ＝2sin cos .因为cos ≠0，故sin ＝，因此B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°因此，△ABC面积的取值范围是(，).
18.国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%.武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量(单位：吨)进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾量超过28吨/天的确定为“超标”社区：
垃圾 量X [12.5, 15.5) [15.5, 18.5) [18.5, 21.5) [21.5, 24.5) [24.5, 27.5) [27.5, 30.5) [30.5, 33.5]
频数 5 6 9 12 8 6 4
(1)通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值(精确到0.1)；
(2)若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为(1)中的样本平均值，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝5.2.请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数．
(3)通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设Y为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y的分布列与数学期望．
(参考数据：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3)
【解析】(1)由频数分布表得：＝
＝22.76≈22.8.
所以这50个社区这一天垃圾量的平均值为22.8吨．
(2)由(1)知μ＝22.8，因为s2＝5.2，所以σ＝s2＝5.2，所以P(X＞28)＝P(X＞μ＋σ)＝＝0.158 65，
因为320×0.158 65＝50.768≈51，所以这320个社区中“超标”社区的个数为51.
(3)由频数分布表知：8个“超标”社区中这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区有4个，
所以Y的可能取值为1，2，3，4，
P(Y＝1)＝＝，P(Y＝2)＝＝，
P(Y＝3)＝＝，P(Y＝4)＝＝，
所以Y的分布列为：
Y 1 2 3 4
P
所以E(Y)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
19.如图1，在等边△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的动点且满足DE∥BC，记＝λ.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．
(1)当EN∥平面MBD时，求λ的值；
(2)试探究：随着λ值的变化，二面角B MD E的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角B MD E的正弦值大小．
【解析】(1)取MB的中点为P，连接DP，PN，
因为MN＝CN，MP＝BP，所以NP∥BC，
又DE∥BC，所以NP∥DE，即N，E，D，P四点共面，
又EN∥平面BMD，EN 平面NEDP，
平面NEDP∩平面MBD＝DP，
所以EN∥PD，即NEDP为平行四边形，
所以NP＝DE，则DE＝BC，即λ＝.
(2)取DE的中点O，连接MO，则MO⊥DE，因为平面MDE⊥平面DECB，平面MDE∩平面DECB＝DE，且MO⊥DE，所以MO⊥平面DECB，如图建立空间直角坐标系，
不妨设BC＝2，则M(0，0，λ)，D(λ，0，0)，
B(1，(1－λ)，0)，
所以＝(λ，0，－λ)，＝(1－λ，(1－λ)，0).
设平面BMD的法向量为m＝(x，y，z)，则
，
即，令x＝，即m＝(，－1，1)，
又平面EMD的法向量n＝(0，1，0)，
所以cos 〈m，n〉＝＝＝－，即随着λ值的变化，二面角B MD E的大小不变．且sin 〈m，n〉＝＝，
所以二面角B MD E的正弦值为.
20.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆C与y轴交于点A，B(点B在x轴下方)，D(0，4)，直径为BD的圆过点E(－a，0).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过D点且不与y轴重合的直线与椭圆C交于点M，N，设直线AN与BM交于点T，证明：点T在直线y＝1上．
【解析】(1)由已知可得＝，又直径为BD的圆过点E(－a，0)，B(0，－b)，D(0，4)，
所以BE⊥DE，即·＝(a，－b)·(a，4)＝a2－4b＝0，
又a2＝b2＋c2，联立解得a2＝8，b2＝4，
所以椭圆的方程为＋＝1；
(2)由题意可知，直线MN的斜率存在，
设其方程为：y＝kx＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立方程，
消去y整理可得：(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0，
所以Δ＝256k2－96(1＋2k2)＞0，解得k2＞，
且x1＋x2＝，x1x2＝，
因为A(0，2)，B(0，－2)，所以直线AN的方程为y＝x＋2，
直线BM的方程为y＝x－2，联立方程，
消去x整理可得：(y－2)＝(y＋2)，解得y＝，所以y－1＝－1＝＝＝0，
所以y＝1，即点T在直线y＝1上．
21．已知函数f(x)＝(x－1)2－x＋ln x(a>0).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若1【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝a(x－1)－1＋＝，
令f′(x)＝0，则x1＝1，x2＝，
①若a＝1，则f′(x)≥0恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②若 01，
当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
③若a>1，则0<<1，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上所述，当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当0当a>1时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
(2)当1f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的极小值为f(1)＝－1<0，
f(x)的极大值为f＝－＋ln ＝－－ln a－1.
设g(a)＝－－ln a－1，其中a∈(1，e)，
则g′(a)＝＋－＝＝>0，
所以g(a)在(1，e)上单调递增，
所以g(a)因为f(4)＝(4－1)2－4＋ln 4>×9－4＋ln 4＝ln 4＋>0，
所以存在x0∈(1，4)，使f(x0)＝0，
所以当1请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
.在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）当时，写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）已知点，设直线l与曲线C交于A，B两点，试确定的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，直线的参数方程为
．
消去参数t得．
由曲线C的极坐标方程为，得，
将，及代入得，即；
（2）由直线的参数方程为（为参数，），
可知直线是过点P（–1，1）且倾斜角为的直线，
又由（1）知曲线C为椭圆，所以易知点P（–1，1）在椭圆C内，
将代入中，整理得
，
设A，B两点对应的参数分别为，
则，
所以，
因为，所以，
所以，
所以的取值范围为．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）若的最小值为1，求实数的值；
（2）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围．
【答案】（1）或4．（2）．
【解析】（1）当时，，
因为的最小值为3，所以，解得或4．
（2）当时，即，
当时，，即，
因为不等式的解集包含，所以且，
即，故实数的取值范围是．