2022高考 考前重点题型查漏补缺
---解答题篇05
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，.
(1)求和的值；
(2)求的值.
17. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（I）求证：平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
（III）求二面角的正弦值．
18．已知椭圆的一个顶点为，右焦点为F，且，其中O为原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点P满足，点B在椭圆C上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以P为圆心的圆相切与点Q，且Q为线段AB的中点，求直线AB的方程．
19．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并完成解答.设是等差数列，公差为d，是等比数列，公比为q，已知，，___________.
(1)请写出你的选择，并求和的通项公式；
(2)设数列满足，求；
(3)设，求证：.
20．已知函数 ，．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 且 ，证明：，.
A
D
N八
B
C
D
B
E
C2022高考 考前重点题型查漏补缺
---解答题篇05
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，.
(1)求和的值；
(2)求的值.
【答案】 (1)，(2)
【分析】
（1）由余弦定理求得，从而得出，由正弦定理求得，代入已知等式可求得；
（2）由二倍角公式，两角和的余弦公式计算．
【解析】
(1)
因为，所以由余弦定理得，
是三角形内角，，
由正弦定理 得，所以，
由得，解得或（舍去）．
(2)
，，
．
17. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（I）求证：平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
（III）求二面角的正弦值．
【答案】（I）证明见解析；（II）；（III）.
【解析】
【分析】（I）建立空间直角坐标系，求出及平面的一个法向量，证明，即可得证；
（II）求出，由运算即可得解；
（III）求得平面的一个法向量，由结合同角三角函数的平方关系即可得解.
【解析】
（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则,,,,,,，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，，
所以,,,
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
因为，所以，
因为平面，所以平面；
（II）由（1）得，，
设直线与平面所成角为，
则；
（III）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，
则，
所以二面角的正弦值为.
18．已知椭圆的一个顶点为，右焦点为F，且，其中O为原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点P满足，点B在椭圆C上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以P为圆心的圆相切与点Q，且Q为线段AB的中点，求直线AB的方程．
【答案】(1)(2)，
【分析】
（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程并与椭圆的方程联立，求得的的坐标，进而求得点的坐标，结合列方程，化简求得直线的斜率，从而求得直线的方程.
【解析】
(1)
由已知可得，
又，得，
因为，所以，
椭圆；
(2)
因为，所以，
设直线AB的方程为，则，
可得，
解得，，则，
又Q为线段AB的中点，，则，
，且，
由，解得，，
直线AB的方程为，．
19．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并完成解答.设是等差数列，公差为d，是等比数列，公比为q，已知，，___________.
(1)请写出你的选择，并求和的通项公式；
(2)设数列满足，求；
(3)设，求证：.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
(3)证明见解析
【分析】
（1）根据等差与等比数列的通项公式进行基本运算求解即可；
（2）由（1）得，进而错位相减法求解即可；
（3）由（1）得，进而裂项求和即可.
【解析】
(1)选①，由题意有，，解得，故；
选②，由题意有，，解得，故；
选③，由题意有，，解得，故；
(2)由（1）得，，记，
，（1）
.（2）
（1）-（2）可得，
故.以.
(3)由（1）得，，
所以.
20．已知函数 ，．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 且 ，证明：，.
【答案】(1)单调递增区间为 ，，单调递减区间为
(2)证明见解析
【分析】
（1） 求导，，根据 ，由 求解；
（2）由 ，转化为证：，，令 ，利用导数法得到，转化为证 ，由 ，转化为证,令 ，，用导数证明.
【解析】
（1） ，，
因为 ，所以 ，
所以 或 ，，
所以 的单调递增区间为 ，，单调递减区间为 ．
(2)
令 ，则 ，，
故 在 单调递增，在 上单调递减，
故 ，即 ，
欲证：，，即证：，，
令 ，，则 ，
因为 ，故 ，
所以 ， 在 上单调递增，
所以 ，
故欲证 ，，只需证 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
因为 ，故 ，故等价于证明：，
令 ，，
则 ， 在 上单调递增，
故 ，即 ，从而结论得证．
【点睛】
关键点点睛：本题第二问关键是利用，，转化为证明而得证.
