2022高考 考前重点题型查漏补缺
---解答题篇06
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；（2）设，，
（i）求，
（ii）求的值.
【答案】（1）；（2）（i）；（ii）.
【解析】
（1）在中，由正弦定理，得，
又，得，即，
又，得.
（2）（i）在中，由余弦定理及，，，有，故.
（ii）由，可得.
∵，故，则，，
∴.
17.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，，四边形PACQ是矩形，，且平面平面ABCD．
(1)求直线BP与平面PACQ所成角的正弦值；
(2)求平面BPQ与平面DPQ的夹角的大小；
(3)求点C到平面BPQ的距离．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】
（1）连接，交于，连接，由平面平面，可推出平面，平面，故即为所求；在中，由可得解；
（2）取的中点，连接、，易证，，故即为所求，在中，利用余弦定理求出，即可得到两平面的夹角；
（3）由等体积法，即可得解．
【解析】
(1)连接交于，连接，
四边形是菱形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
即为与平面所成角．
四边形为矩形，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，，，
在中，，，
故与平面所成角的正弦值为．
(2)取的中点，连接、，
由（1）知，平面，
四边形是菱形，四边形为矩形，
，，
，，
即为二面角的平面角，
在中，，，
由余弦定理知，，
，
故二面角的大小为，则平面与平面的夹角为．
(3)设点到平面的距离为，
，
，
，
，
故点到平面的距离为．
18.已知椭圆：（）的离心率，点、之间的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和，则是否存在常数，使得与共线？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】
（1）根据两点间距离公式，结合椭圆离心率公式进行求解即可；
（2）设出直线的方程与椭圆的标准方程联立，根据一元二次方程根与系数关系、根的判别式，结合平面向量线性运算的坐标公式、平面共线向量的性质进行求解判断即可.
【解析】
(1)
因为点、之间的距离为，
所以，因为椭圆的离心率，所以有，而，
因此组成方程组为：；
(2)
设的方程为，与椭圆的标准联立为：
，
于是有，此时设，
于是有，
假设存在常数，使得与共线，
因为，，
所以有，
，因为，
所以，不满足，
因此不存在常数，使得与共线.
【点睛】
关键点睛：利用一元二次方程的判别式和根与系数的关系是解题的关键.
19．已知数列是公比大于的等比数列，为数列的前项和，，且，，成等差数列.数列的前项和为，满足，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前项和为；
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公比，可得；运用等差数列的定义和通项公式可得；
（2）求得，运用数列的裂项相消求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和.
【解析】
（1）由已知，得，
即，也即，解得，，
故；
，，可得是首项为1，公差为的等差数列，
，，
当时，，
经检验时也符合上式.
则，；
（2），
设，
所以，
两式相减得
=
所以，
所以.
【点睛】
方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）倒序相加法；（5）分组求和.要根据具体情况灵活选择合适的方法求解.
20．已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；
(ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；
（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.
【解析】
(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
(ii) 依题意，.
从而可得，
整理可得：，
令，解得.
当x变化时，的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；
g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.
（Ⅱ）证明：由，得.
对任意的，且，令，则
. ①
令.
当x>1时，，
由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即.
因为，，，
所以
. ②
由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即，
故 ③
由①②③可得.
所以，当时，任意的，且，有
.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．2022高考 考前重点题型查漏补缺
---解答题篇06
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；（2）设，，
（i）求，
（ii）求的值.
17.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，，四边形PACQ是矩形，，且平面平面ABCD．
(1)求直线BP与平面PACQ所成角的正弦值；
(2)求平面BPQ与平面DPQ的夹角的大小；
(3)求点C到平面BPQ的距离．
18.已知椭圆：（）的离心率，点、之间的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和，则是否存在常数，使得与共线？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.
19．已知数列是公比大于的等比数列，为数列的前项和，，且，，成等差数列.数列的前项和为，满足，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前项和为；
20．已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
P
D
B
C
