2022高考 考前重点题型查漏补缺
---解答题篇02
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
17. 如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
18．已知椭圆C：的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若直线与椭圆C相交于A，B两点，若的面积为（O为坐标原点），求椭圆C的标准方程.
19.已知数列的前n项和，是等差数列，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令.求数列的前n项和.
20.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
C
Bi
M
A
D
IC
B
42022高考 考前重点题型查漏补缺
---解答题篇02
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
【答案】（I）；（II）；（III）
【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；
（II）由余弦定理即可计算；
（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.
【解析】
（I）因为，由正弦定理可得，
，；
（II）由余弦定理可得；
（III），，
，，
所以.
17. 如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.
（Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；
（Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；
（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【解析】
依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得、、、、
、、、、.
（Ⅰ）依题意，，，
从而，所以；
（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，
，．
设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，可得．
，
．
所以，二面角的正弦值为；
（Ⅲ）依题意，．
由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.
18．已知椭圆C：的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若直线与椭圆C相交于A，B两点，若的面积为（O为坐标原点），求椭圆C的标准方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1)由条件可得，再根据, 求出可得答案；
(2)联立直线与椭圆方程可得，可得AB弦长，求出原点到直线的距离，代入面积公式即可求解.
【解析】
（1）椭圆上顶点的坐标为(0, b)，左右项点的坐标分别为( -a,0)， (a, 0),
所以，即.
则，又，
，
.
(2)设，
由得：，
，
又原点到直线的距离，
，
即，解得，满足，
，
故椭圆的方程为.
19.已知数列的前n项和，是等差数列，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令.求数列的前n项和.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
【解析】
（1）由题意知当时，，
当时，，所以．
设数列的公差为，
由，即，可解得，
所以．
（2）由（1）知，又，得， ，两式作差，得所以．
20.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）的定义域为，.
（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.
（ii）若，令得，或.
当时，；
当时，.所以在单调递减，在单调递增.
（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.
由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于
，
所以等价于.
设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.
所以，即.
