2022高考 考前重点题型查漏补缺
---解答题篇03
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.在中，内角所对的边分别为，已知的面积为．
(1) 求和的值；
(2) 求的值．
【答案】（1），（2）
【解析】
（1）△ABC中,由得由,得又由解得由,可得a=8.由,得.
（2）,
17. 如图，在正四棱柱中，，，E，F分别为，的中点.
（1）求直线与平面BDE所成角的正弦值；
（2）求平面与平面BDE的夹角的余弦值；
（3）求点F到平面BDE的距离.
【答案】（1） （2） （3）
【分析】（1）以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求得向量和向量的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；
（2）求得平面的法向量，结合（1）中平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解；
（3）由（1）知，平面BDE的一个法向量为和向量，结合距离公式，即可求解.
【解析】
（1）以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，
可得，，，
设平面BDE的法向量为，则，即，
取，可得，所以，
设直线与平面BDE所成的角为.
则，
即直线与平面BDE所成角的正弦值为.
（2）因，，
设平面的法向量为，
则，即，取，可得，所以，
设平面与平面BDE的夹角为，
则，
即平面与平面BDE的夹角的余弦值为.
（3）由（1）知，平面BDE的一个法向量为，
又由，所以点F到平面BDE的距离，
即点F到平面BDE的距离为.
18．已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或．
【分析】
（Ⅰ）根据题意，并借助，即可求出椭圆的方程；
（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点坐标，进而求出点坐标，再根据，求出直线的斜率，从而得解.
【解析】
（Ⅰ）椭圆的一个顶点为，
，
由，得，
又由，得，
所以，椭圆的方程为；
（Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以，
根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，
设直线的斜率为，则直线的方程为，即，
，消去，可得，解得或.
将代入，得，
所以，点的坐标为，
因为为线段的中点，点的坐标为，
所以点的坐标为，
由，得点的坐标为，
所以，直线的斜率为，
又因为，所以，
整理得，解得或.
所以，直线的方程为或.
【点睛】
本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.
19.已知数列是等差数列，设（）为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）若，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ），，，；
（Ⅱ），；（Ⅲ）.
【分析】
（Ⅰ）先根据题意设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，然后根据已知条件列出关于d和q的方程组，并进一步计算出d和q的值，即可得到数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）根据第（Ⅰ）题先计算出数列{an bn}的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出数列{an bn}的前n项和；
（Ⅲ）根据第（Ⅰ）题先计算出Sn的表达式，进一步计算出的表达式，即可计算出数列的通项公式，然后运用分组求和法，以及裂项相消法和等比数列的求和公式即可计算出数列的前2n项和．
【解析】
（Ⅰ）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），
则，得，
整理，得，解得（舍去），或，∴，
∴，，，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，令数列的前项和为，
则，
，
两式相减，可得
，
∴，．
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，，∴，
∴，
∴数列的前项和为：
.
【点睛】
数列求和的方法主要有：等差，等比数列的公式法，倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法等.
20. 已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）若，对任意的恒成立，求m的最大值.
【答案】（1）
（2）函数的递增区间为，递减区间为，
在时取极小值，极小值为，没有极大值
（3）3
【解析】
（1）∵ ，
∴ ，∴ ，
由导数的几何意义可得曲线在点处的切线斜率为2，又，
∴ 曲线在点处的切线方程为，即；
（2）函数的定义域为，
由(1) ，令可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
∴ 函数的递增区间为，递减区间为，
函数在时取极小值，极小值为，函数没有极大值
（3）当时，不等式可化为，
设，由已知可得，
又，
令，则，
∴ 在上为增函数，又，，
∴ 存在，使得，即
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
∴ ，
∴ ，
∴ m最大值为3.
【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；
(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.2022高考 考前重点题型查漏补缺
---解答题篇03
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.在中，内角所对的边分别为，已知的面积为．
(1) 求和的值；
(2) 求的值．
17. 如图，在正四棱柱中，，，E，F分别为，的中点.
（1）求直线与平面BDE所成角的正弦值；
（2）求平面与平面BDE的夹角的余弦值；
（3）求点F到平面BDE的距离.
18．已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．
19.已知数列是等差数列，设（）为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）若，求数列的前项和．
20. 已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）若，对任意的恒成立，求m的最大值.
D
C
A1
1
B
1
E
B
