2022高考 考前重点题型查漏补缺
---解答题篇04
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角A的大小；
（2）若，求的值；
（3）若，，求边c和△ABC的面积.
17.如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的大小；
(3)线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面所成角为，若存在，求线段PM的长；若不存在，说明理由.
18．设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.
19.已知等比数列是递减数列，的前项和为，且成等差数列，.数列的前项和为，满足
（1）求和的通项公式：
（2）若求
20.已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
P
E
C
G
A
B2022高考 考前重点题型查漏补缺
---解答题篇04
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角A的大小；
（2）若，求的值；
（3）若，，求边c和△ABC的面积.
【答案】（1）
（2）
（3），面积为
【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，由此求得的大小.
（2）先求得，由此求得.
（3）利用余弦定理求得，进而求得三角形的面积.
【解析】
（1）∵，
由正弦定理得.
∵，
∴，
∴.
又，
∴.
（2）由，，得.
∴，.
∴.
（3）由（1）知，又，
由余弦定理得，.
解得（负根舍去）.
∴△ABC的面积.
17.如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的大小；
(3)线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面所成角为，若存在，求线段PM的长；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】
（1）先证、，即可由线线垂直证线面垂直；
（2）以O点为原点分别以OA OG OP所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量，即可由法向量的夹角得出两平面的夹角；
（3）设，，求出，可得，整理得，由，方程无解，即可得不存在这样的点M
【解析】
(1)
证明：因为是正三角形，O是AD的中点，所以.
又因为平面，平面，所以.
，AD，平面，所以面.
(2)
如图，以O点为原点分别以OA OG OP所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，，，，，，
设平面的法向量为，
所以，即，
令，则，
又平面的法向量，
所以.
所以平面与平面所成角为.
(3)
假设线段PA上存在点M，使得直线GM与平面所成角为，则直线GM与平面法向量所成的夹角为，
设，，，，
所以，
所以，
整理得，，方程无解，所以，不存在这样的点M.
18．设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.
【分析】
(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；
(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.
【解析】
(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，b=2，c=1.
所以，椭圆方程为.
(Ⅱ)由题意，设.设直线的斜率为，
又，则直线的方程为，与椭圆方程联立，
整理得，可得，
代入得，
进而直线的斜率，
在中，令，得.
由题意得，所以直线的斜率为.
由，得，
化简得，从而.
所以，直线的斜率为或.
【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.
19.已知等比数列是递减数列，的前项和为，且成等差数列，.数列的前项和为，满足
（1）求和的通项公式：
（2）若求
【答案】（1），（2）
【分析】
（1）根据等差数列与等比数列的通项公式、求和公式列出方程求解即可；
（2）分为奇数、偶数时，求奇数项的和，偶数项的和，即可求解.
【解析】
(1)设数列的公比为，
依题意知
由是递减数列，解得，
所以.
对于数列，当n=1时，；
当时，，因此，且n= 1时同样适用.
故对于n∈都有.
所以的通项公式为， 的通项公式为.
（2）当n是奇数时，，
则 ①
②
①、②相减得：
，
得到.
当n是偶数时，
,
则
,
所以
【点睛】
关键点点睛：由求时，需要分为奇偶，分别求出偶数项的和与奇数项的和，属于中档题.
20.已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）最大值为，最小值为．
【解析】
（Ⅰ）因为，所以．
又因为，所以曲线在点处的切线方程为．
（Ⅱ）设，则
．
当时，，
所以在区间上单调递减．
所以对任意有，即．
所以函数在区间上单调递减．
因此在区间上的最大值为，最小值为．
