第七章随机变量及其分布 检测题（Word版含解析）

《第七章 随机变量及其分布》检测题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知随机变量X服从二项分布，则P(X＝2)等于（　　）
A． B． C． D．
2. 已知随机变量ξ服从正态分布N(3，4)，若P(ξ＞2c＋1)＝P(ξ＜2c－1)，则c的值为（　　）
A． B．2 C．1 D．
3. 已知某离散型随机变量X服从的分布列如表，则随机变量X的方差D(X)等于（　　)
X 0 1
p m 2m
A． B． C． D．
4. 袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
5. 若随机变量X服从正态分布，且P(X＜4)＝0.8，则P(0＜X＜2)＝( )
A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2
6. 若随机变量X服从两点分布，其中，则E(3X＋2)和D(3X＋2)的值分别是( )
A. 4和2 B. 4和4 C. 2和4 D. 2和2
7. 记一次伯努利试验成功的概率为p(0＜p＜1)，独立地重复该伯努利试验，若事件“进行两次该伯努利试验，恰有一次成功”的概率大于“进行三次该伯努利试验，恰有两次成功”的概率，则p的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8. 已知某离散型随机变量X服从二项分布P（X＝k）＝＝0，1，2，3，4)，则X的方差D(X)＝（　　）
A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.80
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知随机变量，Y~B(10，0.6)，则（　　）
A．D(X)＝2 B．E(Y)＝6 C．P(X＜5)＝0.84135 D．D(Y)＝2.5
附：随机变量ξ服从正态分布，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545
10. 下列说法正确的是（　　）
A．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为则游戏者闯关成功的概率为
B．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
C．已知随机变量X的分布列为P（X＝i）＝＝1，2，3)，则P(X＝2)＝
D．若随机变量，且δ＝3η＋1，则P(η＜2)＝0.5，E(δ)＝6
11. 已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布N(70，16)，其中60分为及格线，则下列结论中正确的有（　　）
（附：随机变量ξ服从正态分布，则P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545)
A．该校学生成绩的均值为70 B．该校学生成绩的标准差为4
C．该校学生成绩的标准差为16 D．该校学生成绩及格率超过95%
12. 下列说法中正确的是（　　）
A．设随机变量X服从二项分布，则P(X＝2)＝
B．已知P(B|A)＝，P(AB)＝，则P(A)＝
C．某射击选手射击一次，击中目标的次数为随机变量X，则X服从两点分布
D．E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝2D(X)＋3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P（ξ＝4）＝________
14. 随机变量ξ的取值为0，1，2，若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________．
15. 若随机变量X的概率分布如表所示，则D(X)的最大值为__________．
X 0 1 2
P
16. 抽样表明，某地区新生儿体重X近似服从正态分布，假设随机抽取r个新生儿体检，记ξ表示抽取的r个新生儿体重在(μ－3σ，μ＋3σ)以外的个数．若ξ的数学期望E(ξ)＜0.05，则r的最大值是____________．（注：若随机变量，则P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝99.73%)
四、解答题：本题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步．
17. 在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大的汽油灌，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击相互独立，且命中概率都是求：
（1）油罐被引爆的概率；
（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X，求X的分布列，并求X的数学期望．
18. 移动支付在国内大规模推广之后，成功在10亿移动互联网用户中获得了九成的渗透率，这大约是中国自宽带和手机之后，普及率最高的一项产品，某调查小组针对第三方移动支付市场在某商场进行了顾客使用移动支付情况的调查，调查人员在年龄20岁到60岁的顾客中随机抽取了150人，得到如下数据
类型/人数/年龄段 [20，30） [30，40） [40，50） [50，60）
使用移动支付 40 30 20 10
不使用移动支付 0 10 15 25
（1）现从150人中随机依次抽取2人，已知第一次抽到的人不使用移动支付的情况下，求第二次抽到的人使用移动支付的概率．
（2）从随机抽取的150人中在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方法抽取10人进一步的问卷调查，现从这10人中随机选出3个人，设3个人中年龄段在[30，40）的人数为X，求X的分布列和期望．
《第七章 随机变量及其分布》检测题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知随机变量X服从二项分布，则P(X＝2)等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵随机变量X服从二项分布
∴P（X＝2）＝＝故选：D．
2. 已知随机变量ξ服从正态分布N(3，4)，若P(ξ＞2c＋1)＝P(ξ＜2c－1)，则c的值为（　　）
A． B．2 C．1 D．
【答案】A
【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N(3，4)，P(ξ＞2c＋1)＝P(ξ＜2c－1)，
∴由正态分布的对称性可得，(2c＋1)＋(2c－1)＝3×2，解得c＝．故选：A．
3. 已知某离散型随机变量X服从的分布列如表，则随机变量X的方差D(X)等于（　　)
X 0 1
p m 2m
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意可得：m＋2m＝1，所以m＝
所以E(X)＝＝
所以D(X)＝＝．故选：B．
4. 袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：先求出“第一次摸到红球”的概率为：＝
设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是
再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P＝＝
根据条件概率公式，得：＝＝，故选：C．
5. 若随机变量X服从正态分布，且P(X＜4)＝0.8，则P(0＜X＜2)＝( )
A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2
【答案】C
【解答】解：根据正态曲线的性质，由P(X＜4)＝0.8．得P(X≥4)＝0.2，
由题意知正态曲线的对称轴为直线x＝2．P(X≤0)＝P(X≥4)＝0.2．
∴P(0＜X＜4)＝1－P(X≤0)－P(X≥4)＝0.6，
∴，故选C
6. 若随机变量X服从两点分布，其中，则E(3X＋2)和D(3X＋2)的值分别是( )
A. 4和2 B. 4和4 C. 2和4 D. 2和2
【答案】A
【解答】解：∵X服从两点分布，，
E(X)＝0×＋＝，，
∴E(3X＋2)＝4，D(3X＋2)＝2，所以A选项是正确的．
7. 记一次伯努利试验成功的概率为p(0＜p＜1)，独立地重复该伯努利试验，若事件“进行两次该伯努利试验，恰有一次成功”的概率大于“进行三次该伯努利试验，恰有两次成功”的概率，则p的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解答】解：由题意，进行两次伯努利试验，恰有一次成功的概率为P＝Cp(1－p)，
进行三次该伯努利试验，恰有两次成功的概率为P'＝Cp2(1－p)，因为P＞P'，
所以 Cp(1－p)＞Cp2(1－p)，0＜p＜1，解得
则p的取值范围是．故选：B．
8. 已知某离散型随机变量X服从二项分布P（X＝k）＝＝0，1，2，3，4)，则X的方差D(X)＝（　　）
A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.80
【答案】B
【解答】解：由题意X~B(4，0.2)，
∴则X的方差D(X)＝4×0.2×(1－0.2)＝0.64．故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知随机变量，Y~B(10，0.6)，则（　　）
A．D(X)＝2 B．E(Y)＝6 C．P(X＜5)＝0.84135 D．D(Y)＝2.5
附：随机变量ξ服从正态分布，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545
【答案】BC
【解答】解：∵随机变量，∴D(X)＝4，故A错误，
∴P(X＜5)＝＝0.84135，故C正确，
∵随机变量Y~B(10，0.6)，
∴E(Y)＝10×0.6＝6，D(Y)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，故B正确，D错误．
故选：BC．
10. 下列说法正确的是（　　）
A．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为则游戏者闯关成功的概率为
B．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
C．已知随机变量X的分布列为P（X＝i）＝＝1，2，3)，则P(X＝2)＝
D．若随机变量，且δ＝3η＋1，则P(η＜2)＝0.5，E(δ)＝6
【答案】AC
【解答】解：对于A：某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，
只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，
已知每次投中的概率为则游戏者闯关成功的概率为＝故A正确；
对于B：从10名男生、5名女生中选取4人，
则其中至少有一名女生的概率为，故B错误；
对于C：已知随机变量X的分布列为P（X＝i）＝＝1，2，3)，
所以＝1，解得a＝，所以P（X＝2）＝＝故C正确；
对于D：随机变量，且δ＝3η＋1，
则P(η＜2)＝0.5，E(δ)＝E(3η＋1)＝3E(η)＋1＝7，故D错误；
故选：AC．
11. 已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布N(70，16)，其中60分为及格线，则下列结论中正确的有（　　）
（附：随机变量ξ服从正态分布，则P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545)
A．该校学生成绩的均值为70 B．该校学生成绩的标准差为4
C．该校学生成绩的标准差为16 D．该校学生成绩及格率超过95%
【答案】ABD
【解答】解：∵该校学生的成绩服从正态分布N(70，16)，∴μ＝＝16，
∴该校学生成绩的均值为70，标准差为4，故A正确，B正确，C错误，
∵P(62＜ξ＜78)＝P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545，
∴P(ξ≥60)＞P(62＜ξ＜78)＝0.9545＞95%，故D正确，
故选：ABD．
12. 下列说法中正确的是（　　）
A．设随机变量X服从二项分布，则P(X＝2)＝
B．已知P(B|A)＝，P(AB)＝，则P(A)＝
C．某射击选手射击一次，击中目标的次数为随机变量X，则X服从两点分布
D．E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝2D(X)＋3
【答案】BC
【解答】解：对于A，设随机变量 X 服从二项分布，
则 P(X＝2)＝＝，错误；
对于B，由条件概率的公式知，P(B|A)＝，得P(A)＝，正确，
对于C，某射击选手射击一次，击中目标的次数为随机变量X，则X服从两点分布，正确，
对于D，E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝4D(X)，故D不正确．
故选：BC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P（ξ＝4）＝________
【答案】
【解答】解：一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，
故．即有P（ξ＝k）＝，k＝0，1，2，3，4，5．
∴P（ξ＝4）＝＝．故答案为：
14. 随机变量ξ的取值为0，1，2，若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________．
【答案】
【解答】解：设P（ξ＝1）＝p，P(ξ＝2）＝q，
则由已知得p＋q＝＝1，解得p＝＝
所以D(ξ)＝＝．
故答案为：．
15. 若随机变量X的概率分布如表所示，则D(X)的最大值为__________．
X 0 1 2
P
【答案】
【解答】解：由分布列的性质得：，解得
∴E(X)＝＝p，∴E(X) 的最大值为．
D(X)＝
＝＝
∴当p＝时，D(X) 的最大值为．
故答案为：．
16. 抽样表明，某地区新生儿体重X近似服从正态分布，假设随机抽取r个新生儿体检，记ξ表示抽取的r个新生儿体重在(μ－3σ，μ＋3σ)以外的个数．若ξ的数学期望E(ξ)＜0.05，则r的最大值是____________．（注：若随机变量，则P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝99.73%)
【答案】18．
【解答】解：根据正态分布的3σ原则可知新生儿落在(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)内的概率为0.9973，
则落在(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)内的概率为0.0027，
所以ξ~B(r，0.0027)，
所以E(ξ)＝0.0027r＜0.05，即≈18.52
因为r为正整数，所以r的最大值为18．
故答案为：18．
四、解答题：本题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步．
17. 在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大的汽油灌，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击相互独立，且命中概率都是求：
（1）油罐被引爆的概率；
（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X，求X的分布列，并求X的数学期望．
【答案】（1） (2) E(X)＝．
【解答】解：（1）根据题意知只要命中2次就能引爆油罐，并且第2次命中时便停止射击；
方法1：设＝“射击i次引爆油罐”，i=2，3，4，5；
∴P（“油罐被引爆”）＝
＝
方法2：“油罐被引爆”的事件为事件，其对立事件为包括“只命中一次”和 “一次都没有命中” ，即，
∴
∴油罐被引爆的概率是.
(2) ，，
，
X的分布列为：
X 2 3 4 5
P
∴E(X)＝＝．
18. 移动支付在国内大规模推广之后，成功在10亿移动互联网用户中获得了九成的渗透率，这大约是中国自宽带和手机之后，普及率最高的一项产品，某调查小组针对第三方移动支付市场在某商场进行了顾客使用移动支付情况的调查，调查人员在年龄20岁到60岁的顾客中随机抽取了150人，得到如下数据
类型/人数/年龄段 [20，30） [30，40） [40，50） [50，60）
使用移动支付 40 30 20 10
不使用移动支付 0 10 15 25
（1）现从150人中随机依次抽取2人，已知第一次抽到的人不使用移动支付的情况下，求第二次抽到的人使用移动支付的概率．
（2）从随机抽取的150人中在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方法抽取10人进一步的问卷调查，现从这10人中随机选出3个人，设3个人中年龄段在[30，40）的人数为X，求X的分布列和期望．
【答案】（1）（2）E(X)＝
【解答】解：（1）由数据表和古典概型可得，从150人中随机依次抽取2人，
已知第一次抽到的人不使用移动支付的情况下，
第二次抽到的人使用移动支付的概率P＝
（2）从随机抽取的150人中在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方法抽取10人进一步的问卷调查，
现从这10人中随机选出3个人，设3个人中年龄段在[30，40）的人数为X，
则X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0）＝＝P(X＝1）＝＝
P(X＝2）＝＝P(X＝3）＝＝
分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝＝