第六章 立体几何初步（答案与解析）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能
解析：垂直于同一条直线的两条直线有可能平行，也有可能相交于一点，也有可能异面，故选D。
2、如图所示的直观图表示的四边形的平面图形是（ ）
A、任意梯形 B、直角梯形
C、任意四边形 D、平行四边形
解析：因为，故。又，所以为直角梯形，选B。
3、半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( )
A、 B、 C、 D、
解析：设圆锥的底面半径为，高为.依题意，所以，则，所以圆锥的体积V＝=，故选A。
4、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
解析：平行于同一直线的两个平面不一定平行；平行于同一平面的两个平面一定平行；垂直于同一直线的两直线可能平行、相交或异面；垂直于同一平面的两直线一定平行；故只有（2）和（4）正确，所以选C。
5、正方体的表面积是,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
解析：因为正方体的表面积是，则正方体的棱长为，所以外接球半径为=
，所以表面积为，选B。
6、如图，在三棱锥中，⊥底面，，则直线与平面所成角的大小为
A、 B、 C、 D、
解析：由题意可知，⊥底面，所以为直线与平面所成角，，所以三角形为等腰直角三角形，所以，故选C。
7、如图:直三棱柱的体积为，点分别在侧棱和
上，，则四棱锥的体积为
A、 B、 C、 D、
解析：设三棱柱为正三棱柱且所有的棱长都为1，则，认为分别是侧棱和的中点，所以=，所以的体积为。
8、把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角A BD C，若AB＝1，AD＝，AC＝，则平面ABD与平面BCD的夹角为( )
A、30° B、60° C、120° D、90°
解析：设二面角A﹣BD﹣C的大小为θ，过A、C作BD的垂线，交点为E、F，
∵AB=1，AD=，∴根据勾股定理BD=2，∴∠ADB=30°（对边是斜边的一半），
∴AE=CF=，CE=，EF=1
∴AC===，
则cosθ=，则θ=60°，故答案为：B。
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
9、表示直线，表示平面，则下列四个命题不正确的有（ ）
A、若，则 B、若，则
C、若，则 D、若，则
解析：对于A，平行于同一平面的两直线有可能平行，也有可能相交或异面，故A错误；对于B，若，则或，故B错误；对于C为垂直于同一直线的两直线除了平行还有相交或异面，故C错误；D中为垂直于同一平面的两直线平行为正确的；故选ABC。
10、一个圆柱和一个圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，下列结论正确的有（ ）
A、圆柱的侧面积为 B、圆锥的侧面积为
C、圆柱的侧面积和球的表面积相等 D、圆柱、圆锥、球的体积之比为
解析：圆柱的侧面积=，则A错误；圆锥的侧面积为=
=，故B错误；圆柱的侧面积=与球的表面积相等，C正确；圆柱的体积==，圆锥的体积==，球的体积=所以它们的体积之比为，D正确；故选CD。
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11、一个直角三角形的两条直角边的长分别为和, 将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周,所得旋转体的体积是________。
解析：由题意可知：所得旋转体为两个同底的圆锥，底面半径为，则它的体积为
。
12、已知一个正四棱锥的底面正方形边长为2，侧棱长为2，则该棱锥的侧棱与底面所成角的大小为________。
解析：如图，，，因为底面为正方形，故，故，因为锐角，故，填。
13、如图60°的二面角的棱上有两点，直线分别在二面角两个半平面内，且垂直于，则__________。
解析：由题意得，过点作，且，如图所示，则，又，所以为等边三角形，且四边形为矩形，即且平面，而平面，所以，由勾股定理得， 。
14、如图所示的是正方体的平面展开图．有下列四个命题：
①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF．
其中，正确命题的序号是________。
解析：展开图可以折成如图（1）所示的正方体．
在正方体中，连接，如图（2）所示，因为，且，所以四边形是平行四边形．所以．因为平面，平面，所以平面。同理可证平面，所以①②正确；如图（3）所示，可以证明平面，平面，进而得到平面平面，同理可证平面平面，所以③④正确．
故答案为：①②③④
四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）
15、已知中，面，，求证：面。
证明：因为，所以；
又因为面，面，所以；
面且，所以面。
面，所以，又因为，
，所以面。
16、如图，直三棱柱的所有棱长都是2，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积。
（1）证明：∵，D是AC的中点，∴，
∵直三棱柱中平面ABC，∴平面平面ABC，
∴平面，∴。
又∵在正方形中，D，E分别是AC，的中点，∴
又，∴平面。
（2）解：连结交于，
∵为的中点，∴点到平面的距离等于点A到平面的距离．
∴。
17、已知正方体，是底对角线的交点.
求证：（1）面；
（2）面
证明：（1）连结，设
连结， 是正方体 是平行四边形
且
又分别是的中点，且
是平行四边形 面，面
面
（2）面 又，
同理可证，又面
18、已知中，=90°，，⊥平面，
60°，分别是上的动点，且
（Ⅰ）求证：不论为何值，总有平面⊥平面；
（Ⅱ）当为何值时，平面⊥平面。
证明：（Ⅰ）∵⊥平面， ∴⊥，
∵⊥且，
∴⊥平面。又
∴不论为何值，恒有，∴⊥平面，平面，
∴不论为何值恒有平面⊥平面。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，⊥，又平面⊥平面，
∴⊥平面，∴⊥
∵，=90°，60°，
∴
由得，
故当时，平面⊥平面。第六章 立体几何初步
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能
2、如图所示的直观图表示的四边形的平面图形是（ ）
A、任意梯形 B、直角梯形
C、任意四边形 D、平行四边形
3、半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( )
A、 B、 C、 D、
4、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
5、正方体的表面积是,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、如图，在三棱锥中，⊥底面，，则直线与平面所成角的大小为
A、 B、 C、 D、
7、如图:直三棱柱的体积为，点分别在侧棱和
上，，则四棱锥的体积为
A、 B、 C、 D、
8、把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角A BD C，若AB＝1，AD＝，AC＝，则平面ABD与平面BCD的夹角为( )
A、30° B、60° C、120° D、90°
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
9、表示直线，表示平面，则下列四个命题不正确的有（ ）
A、若，则 B、若，则
C、若，则 D、若，则
10、一个圆柱和一个圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，下列结论正确的有（ ）
A、圆柱的侧面积为 B、圆锥的侧面积为
C、圆柱的侧面积和球的表面积相等 D、圆柱、圆锥、球的体积之比为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11、一个直角三角形的两条直角边的长分别为和, 将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周,所得旋转体的体积是________。
12、已知一个正四棱锥的底面正方形边长为2，侧棱长为2，则该棱锥的侧棱与底面所成角的大小为________。
13、如图60°的二面角的棱上有两点，直线分别在二面角两个半平面内，且垂直于，则__________。
14、如图所示的是正方体的平面展开图．有下列四个命题：
①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF．
其中，正确命题的序号是________。
四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）
15、已知中，面，，求证：面。
16、如图，直三棱柱的所有棱长都是2，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积。
17、已知正方体，是底对角线的交点.
求证：（1）面；
（2）面
18、已知中，=90°，，⊥平面，
60°，分别是上的动点，且
（Ⅰ）求证：不论为何值，总有平面⊥平面；
（Ⅱ）当为何值时，平面⊥平面。
