黑龙江省尚志市高级中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题（Word版含答案）

尚志市高级中学2021-2022学年高二下学期期中考试
数学
第I卷（选择题）
一、单选题(共60分)
1．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．某城市的汽车牌照号码由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同的牌照号码共有（ ）个
A． B． C． D．
4．已知随机变量服从二项分布且，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计．哈九中落实讲话内容，组织研究性学习．在研究性学习成果报告会上，有A、B、C、D、E、F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A、C、D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（ ）
A．100 B．120 C．300 D．600
6．已知随机变量，且，则的展开式中常数项为（ ）
A． B． C．240 D．60
7．举世瞩目的第届冬奥会于年月日至月日在北京举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊位大学生志愿者前往、、、四个场馆服务，每个场馆至少分配一位志愿者.由于工作需要甲同学不能去场馆，则所有不同的安排方法种数为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．给出下列四个命题:
①命题“，有”的否定为:“”；
②已知向量与的夹角是钝角，则实数k的取值范围是；
③函数的单调递增区间是；
其中错误命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
11．某校为落实“双减”政策.在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲 乙 丙 丁四名同学拟参加篮球 足球 乒乓球 羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足x－f(x)<0，其中是函数f(x)的导函数.若2f(m－2019)>(m－2019)f（2），则实数m的取值范围为（ ）
A．(0，2019) B．(2019，＋∞)
C．(2021，＋∞) D．(2019，2021)
第II卷（非选择题）
二、填空题(共20分)
13．若的展开式中各项的二项式系数之和为32，且展开式中的系数是80，则实数_____.
14．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是______．
15．命题“”为假命题，则实数a的取值范围为___________.
16．已知函数f(x)＝，当x∈(－∞，m]时，f(x)∈，则实数m的取值范围是________.
三、解答题(共70分)
17．(本题10分)已知为全集，集合，集合.
(1)求.
(2)若，求实数的取值范围.
18．(本题12分)在东京奥运会中，甲，乙、丙三名跳水远动员参加小组赛，已知甲晋级的概率为，乙、丙晋级的概率均为，且三人是否晋级相互对立.
(1)若甲晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，与乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率也相等，求，；
(2)若，记三个人中晋级的人数为，若时的概率和时的概率相等，求.
19．(本题12分)新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召，开展了网课学习.为了检查网课学习的效果，某机构对2000名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有.将这2000名学生网课学习后通过考试分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如下表所示：
成绩上升 成绩没有上升 合计
有家长督促的学生 500 300 800
没有家长督促的学生 700 500 1200
合计 1200 800 2000
（1）是否有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联？
（2）从有家长督促的800名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出8人，再从这8人中随机抽取3人做进一步调查，记抽到一名成绩上升的学生得1分，抽到一名成绩没有上升的学生得分，抽取3名学生的总得分用表示，求的分布列和数学期望.
附：，其中.
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
20．(本题12分)大力开展体育运动，增强学生体质，是学校教育的重要目标之一．某校组织全校学生进行立定跳远训练，为了解训练的效果，从该校男生中随机抽出100人进行立定跳远达标测试，测试结果（单位：米）均在内，整理数据得到如下频率分布直方图．学校规定男生立定跳远2.05米及以上为达标，否则为不达标．
(1)若男生立定跳远的达标率低于60%，该校男生还需加强立定跳远训练．请你通过计算，判断该校男学生是否还需加强立定跳远训练；
(2)为提高学生的达标率，该校决定加强训练，经过一段时间训练后，该校男生立定跳远的距离（单位：米）近似服从正态分布，且．再从该校任选3名男生进行测试，X表示这3人中立定跳远达标的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．
21．(本题12分)2022年春节前，受疫情影响，各地鼓励市民接种第三针新冠疫苗.某市统计了该市4个地区的疫苗接种人数与第三针接种人数（单位：万），得到如下表格：
A区 B区 C区 D区
疫苗接种人数x/万 6 8 10 12
第三针接种人数y/万 2 3 5 6
(1)请用相关系数说明y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，并求y关于x的线性回归方程（若，则线性相关程度很高，可用直线拟合）.
(2)若A区市民甲 乙均在某日接种疫苗，根据以往经验，上午和下午接种疫苗分别需等待20分钟和30分钟，已知甲 乙在上午接种疫苗的概率分别为p ，且甲 乙两人需要等待时间的总和的期望不超过50分钟，求实数p的取值范围.
参考公式和数据：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，.
22．(本题12分)已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上是减函数，求实数的最小值.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
2．B
3．D
4．A
5．A
6．D
7．C
8．B
9．A
10．D
11．C
12．D
13．
【详解】
因为该二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32，所以，
该二项式的通项公式为：，
令，因为的系数是80，
所以有，
故答案为：
14．##0.5
【详解】
如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，
B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B Ω，
由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，
且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.
由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝，
即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为.
故答案为：
15．
【详解】
若命题“”为假命题，则命题“”为真命题，即在上恒成立，
则，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以，
故答案为：
16．
【详解】
当时，，
令，则或；，则，
函数在上单调递减，在单调递增，
函数在处取得极大值为，
在出的极小值为.
当时，，
综上所述，的取值范围为
故答案为：
17．(1)或
(2)
(1)
解：集合，化简得 ，
所以或；
(2)
解：∵，∴ ，
当时，即，得，符合题意，
当时，即解得，
综上所述实数a的取值范围：.
所述实数a的取值范围：.
18．(1)，
(2)
(1)
乙、丙两人均没有晋级的概率为，
乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率为，
故解得，
(2)
的所有可能取值为0，1，2，3.
，，
由题知，解得，
所以，
所以 .
19．（1）有；（2）答案见解析.
【详解】
解：（1），
因为，所以有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联.
（2）由题意知，从有家长督促的800名学生中按分层抽样法抽出8人，其中成绩上升的有5人，成绩没有上升的有3人，再从这8人中随机抽取3人，随机变量所有可能取的值为，，1，3，
则，
，
，
.
所以的分布列为
1 3
所以.
20．(1)该校男生还需加强立定跳远训练
(2)分布列见解析，
(1)
由频率分布直方图可知，男生立定跳远的达标率为
因为，所以该校男生还需加强立定跳远训练．
(2)
因为近似服从正态分布，且，
所以，
由题意可知，
，．
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
则．
21．(1)说明答案见解析，；
(2).
(1)
由题：，，
，，，
所以相关系数
，
说明y与x之间的性相关程度很高，所以可用线性回归模型拟合y与x之间的关系.
，
故y关于x的线性回归方程为.
(2)
设甲 乙两人排队总时间为X，则X的所有可能取值为40，50，60，
，
，
.
所以，
由，得，
又，所以，
故p的取值范围为.
22．（1）函数的增区间是，函数的单调减区间是;（2）
（1）由函数g′（x）=，得当时，；当时，且，从而得单调性；
（2）由在上恒成立，得，从而，故当，即时，，即可求解.
【详解】
（1）由已知得函数的定义域为,
函数,
当时,， 所以函数的增区间是;
当且时,，所以函数的单调减区间是, .....6分
（2）因f(x)在上为减函数，且.
故在上恒成立． 所以当时，．
又，
故当，即时，．
所以于是，故a的最小值为．
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