【慧学智评】北师大版九上数学 1-5 矩形的判定 同步授课课件

(共15张PPT)
第一章
特殊平行四边形
第5课
矩形的判定
元素 矩形的性质 几何语言
边
角
对角线
矩形的对边平行且相等．
如：矩形的四个角都是直角．
如：矩形的对角线相等．
四边形 是矩形,
.
四边形 是矩形,
.
四边形 是矩形,
.
【探究1】矩形的判定
【问题1】矩形的定义：有一个角是%// //%的平行四边形是%// //%．除此之外，还有什么条件可以判断一个平行四边形是矩形呢？
四边形
平行四边形
矩形
问题1图
矩形
直角
【问题2】矩形的对角线相等，那么对角线相等的平行四边形是矩形吗？如果是，请证明，如果不是，请说明理由．
解：是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC ．
又∵BC＝CB，AC＝DB ，
∴△ABC≌△DCB ．
∴∠ABC=∠DCB ．
∵AB∥DC，∴∠ABC＋∠DCB＝180°．
∴∠ABC＝∠DCB＝×180°＝90°．
∴平行四边形ABCD是矩形(矩形的定义)．
C
A
D
B
O
问题2答图
定理：%// //%
对角线相等的平行四边形是矩形
【问题3】矩形的四个角都是直角，那么四个角都是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角的四边形呢？
解：
至少三个角是直角的四边形是矩形．
定理：%// //%
有三个角是直角的四边形是矩形
元素 矩形的性质 几何语言
角
对角线
有一个角是直角的
平行四边形是矩形．
有三个角是直角的
四边形是矩形．
对角线相等的平行
四边形是矩形．
小结：矩形的判定
如图, 四边形 为平行四边形, ,
四边形 为矩形.
在四边形 中, ,
四边形 为矩形.
如图, 在平行四边形 中, ,
四边形 为矩形.
【例题 1 】如图, 在 中, 对角线 与 相交于点 是等边三角形, .
(1)求证: 是矩形.
(2)求矩形 的面积.
例题1图
(1) 证明: ∵△ABO 是等边三角形,
∴OA=OB=AB,
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∴OA=OC=OB=OD,
∴AC=BD,
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
(2) 解: 由 (1) 知, 四边形 是矩形,
是等边三角形, ,
由勾股定理得 ,
矩形 的面积 .
【例题2】（问题解决）你有什么想法检查你家(或教室)刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性．
解：
检查的方法是：
先用绳子测量门框的对边是否相等，
若相等，则可判定其为平行四边形；
然后再用绳子测量门框的对角线是否相等，
若相等，则可肯定门框是矩形．
道理是：对角线相等的平行四边形是矩形．
1.对于 , 添加下列条件后, 仍不能使它成为矩形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
D
2.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，CE．

(1)试判断四边形ABEC的形状；

(2)当△ABC满足什么条件时，
四边形ABEC是矩形？
C
E
A
D
B
第二题图
解：(1)四边形ABEC是平行四边形；理由如下：
∵AD为BC边上的中线，∴BD＝CD，
∵DE＝AD，
∴四边形ABEC是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)；
(2)当∠BAC＝90°，四边形ABEC是矩形；理由如下：
∵四边形ABEC是平行四边形，∠BAC＝90°，
∴四边形ABEC是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
3.(☆) 如图, 已知菱形 , 画个矩形, 使得 四点分别在矩形的四条 边上, 且矩形的面积为菱形 面积的 2 倍. 请说明原理.
解: 如答图所示,
连接 AC,BD, 交于点 O, 再分别过 A,B,C,D 作对角线的平行线,
四条线围成的 四边形 EFGH 即为所求.
理由如下: ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴AC⊥BD,
∵EH//BD//FG,EF//AC//GH,
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形, 且 EF⊥EH,
∴ 四边形 EFGH 是矩形.
易知四边形 AEBO 是矩形,
∴ 四边形 AEBO 的面积是 △ABO 面积的 2 倍,
同理, 四边形 AODH 的面积是 △AOD 面积的 2 倍,
四边形 BOCF 的面积是 △BOC 面积的 2 倍,
四边形 OCGD 的面积是 △OCD 面积的 2 倍,
∴ 四个小矩形面积的和是四个小三角形面积和的 2 倍,
∴ 四边形 EFGH 的面积是菱形 ABCD 面积的 2 倍.
第三题答图